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高中数学教学案



高中数学教案
题目 第一章集合与简易逻辑 集合的概念与运算 高考要求 1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解属于、包含、相等关系的意义. 2.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 3.理解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条 件的意义. 4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题

,形成良好的 思维品质 知识点归纳 定义:一组对象的全体形成一个集合. 特征:确定性、互异性、无序性. 表示法:列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P}.韦恩图 分类:有限集、无限集.
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数集:自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、正整数集 N * 、空集φ . 关系:属于∈、不属于 ? 、包含于 ? (或 ? )、真包含于 、集合相等=. 运算:交运算 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}; 并运算 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}; 补运算 CU A ={x|x ? A 且 x∈U},U 为全集 性质:A ? A; φ ? A; 若 A ? B,B ? C,则 A ? C; A∩A=A∪A=A; A∩φ =φ ;A∪φ =A; A∩B=A ? A∪B=B ? A ? B; A∩C U A=φ ; A∪C U A=I;C U ( C U A)=A; C U (A ? B)=(C U A)∩(C U B). 方法:韦恩示意图, 数轴分析. 注意:① 区别∈与 、 与 ? 、a 与{a}、φ 与{φ }、{(1,2)}与{1,2}; ② A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ . ③若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有真
n

子集的个数是 2 -1, 所有非空真子集的个数是 2 ? 2 。
n

n

④ 区 分 集 合 中 元 素 的 形 式 : 如 A ? {x | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; B ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;

C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1} ;E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z} ;

y F ? {( x, y' ) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; G ? {z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ? } 。 x
⑤空集是指不含任何元素的集合。{0} 、? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系。空集是任 何集合的子集, 是任何非空集合的真子集。 条件为 A ? B , 在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。 ⑥符号“ ?, ? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的 关系 ;符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的
1

关系 。 题型讲解 例 1 已知 A={x|x3+3x2+2x>0}, B={x|x2+ax+b≤0}且 A∩B={x|0<x≤2}, A∪B= {x| x>-2} ,求 a、b 的值. 解:A={x|-2<x<-1 或 x>0}, 设 B=[x1,x2] ,由 A∩B=(0,2]知 x2=2, 且-1≤x1≤0, ① 由 A∪B=(-2,+∞)知-2≤x1≤-1. ② 由①②知 x1=-1,x2=2, ∴a=-(x1+x2)=-1,b=x1x2=-2. 评述:本题应熟悉集合的交与并的涵义,熟练掌握在数轴上表示区间(集合)的交与 并的方法. 例 2 设集合 P={m|-1<m≤0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立},则 下列关系中成立的是 A.P Q B.Q P C.P=Q D.P∩Q=Q 2 剖析:Q={m∈R|mx +4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立}, 对 m 分类:①m=0 时,-4<0 恒成立; ②m<0 时,需Δ =(4m)2-4?m?(-4)<0,解得-1<m<0. 综合①②知-1<m≤0,∴Q={m∈R|-1<m≤0}. 答案:C 评述:本题容易忽略对 m=0 的讨论,应引起大家足够的重视. 例 3 已知集合 A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},如果 A∩B≠ ? ,求实数 m 的取值范围. 剖析:如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内,此题的思维方法是很难找到 的.事实上, 集合符号在本题中只起了一种 “化妆品” 的作用, 它的实际背景是 “抛物线 x2+mx -y+2=0 与线段 x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数 m 的取值范围”.这种数学符号与 数学语言的互译,是考生必须具备的一种数学素质.
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? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0, 解:由 ? 得 ? x ? y ? 1 ? 0(0 ? x ? 2),
x2+(m-1)x+1=0. ① ∵A∩B≠ ? ,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由Δ =(m-1)2-4≥0,得 m≥3 或 m≤-1. 当 m≥3 时,由 x1+x2=-(m-1)<0 及 x1x2=1 知,方程①只有负根,不符合要求; 当 m≤-1 时,由 x1+x2=-(m-1)>0 及 x1x2=1>0 知,方程①有两个互为倒数的正 根.故必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 综上所述,所求 m 的取值范围是(-∞,-1]. 评述:上述解法应用了数形结合的思想 . 如果注意到抛物线 x 2 + mx - y +2=0 与线 段 x - y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上,本题也可以利用公共点内分线段的比λ 的取 值范围建立关于 m 的不等式来解. 例 4 设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0}, 若B ? A ,求实数 a 的取值
2 2 2

范围。 分析:若满足 B ? A ,则集合 B 需分两种情况求解。
2

①集合 A 中的元素 x 是集合 B 中的元素;②集合 B 为空集。
2 解:由 A ? {x x ? 4 x ? 0} ? {x x ? 0或x ? ?4} ? {0, ?4} .

∵ B ? A ,∴ B ? ?或B ? {0}或B ? {?4}或B ? {0, ?4} 当 B ? ?时 ,即 x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 无实根,由 ? ? 0 , 即 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0 ,解得 a ? ?1 ; 当 B ? {0} 时,由根与系数的关系: 0 ? 0=-2(a ? 1), 0 ? 0=a2 ?1 ? a ? ?1 当 B ? {?4} 时,由根与系数的关系: ?4 ? 4=-2(a ?1),(-4)? (?4)=a2 ?1 ? a ?? 当 B ? {0, ?4} 时,由根与系数的关系: 0 ? 4=-2(a ? 1), 0 ? (?4)=a2 ?1 ? a ? 1 综上所得 a ? 1或a ? ?1 。 例 5 求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数, 又不是 3 的倍数, 也不是 5 的倍数的 自然数共有多少个? 分析:分析 200 个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不 满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。 解:如图先画出文氏图,不难看出不符合条件 的数共有 5的倍数 (200÷2)+(200÷3)+(200÷5) 2的倍数 -(200÷10)-(200÷6)-(200÷15) 3的倍数 +(200÷30)=146 所以,符合条件的数共有 200-146=54(个) 例 6 已知全集 S ? {1,3, x ? x ? 2 x} ,A={1, 2 x ?1 }如果 CS A ? {0} ,则这样的实
3 2

数 x 是否存在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由。 分析:此题的关键是理解符号 CS A ? {0} 是两层含义: 0 ? S且0 ? A 解:∵ CS A ? {0} ∴ 0 ? S且0 ? A ,即 x ? x ? 2 x =0,
3 2

解得 x1 ? 0, x2 ? ?1, x3 ? 2 当 x ? 0 时, 2x ? 1 ? 1 ,为 A 中元素 当 x ? ?1 时, 2 x ? 1 ? 3 ? S 当 x ? 2 时, 2x ?1 ? 3 ? S ∴这样的实数 x 存在,是 x ? ?1 或 x ? 2 。 另法:∵ CS A ? {0} ∴ 0 ? S且0 ? A , 3 ? A

3

∴ x ? x ? 2 x =0 且 2x ?1 ? 3
3 2

∴ x ? ?1 或 x ? 2 。 变式思考题: 同时满足条件:① M ? {1,2,3,4,5}; ②若 a ? M , 则6-a ? M ,这样的集合 M 有多少 个,举出这些集合来。 答案:这样的集合 M 有 8 个:

?,{3},{1,5},{2, 4},{1,3,5},{2,3, 4},{1, 2, 4, 5}{1, 2,3, 4,5} .
例 7 某学校艺术班有 100 名学生,其中学舞蹈的学生 67 人,学唱歌的学生 45 人,而 学乐器的学生既不能学舞蹈,又不能学唱歌,人数是 21 人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有 多少人? 解:设学舞蹈的学生有 x 人,学唱歌的人有 y 人, 100 既学舞蹈又学唱歌的人又 z 人, 舞蹈 歌唱 z 由题意可列方程: y x

? x ? z ? 67 ? ? y ? z ? 45 ? x ? y ? z ? 79 ?

? x ? 34 ? 解得 ? y ? 22 ? z ? 33 ?
2 2

所以,同时学舞蹈和唱歌的有 33 人。
2 例 8 对于集合 A ? { x x ? 4 ax ? 4 a ? 3 ? 0}, B ? {x x ? 2 2 x ? a ? a ? 2 ? 0} 是否存在实数

a, 使A B ? ? ?若存在,求出 a 的取值,若不存在,试说明理由。
解:

A

B??

∴ A ? B ? ? , 即二次方程:

x 2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0与x 2 ? 2 2x ? a 2 ? a ? 2 ? 0均无实数解,
2 ? ?? 1=4a ? 4(4a ? 3) ? 0 ?? ,解之得 1 ? a ? 2 2 ? ? ? 8 a ? 4 ( a ? a ? 2 ) ? 0 2 ? 2

故存在实数 a且a ?{a 1 ? a ? 2}, 使A

B ? ?.
2

例 9 已知集合 A ? {m, m ? d , m ? 2d}, B ? {m, mq, mq } , 其中m ? 0 ,

且A ? B ,求 q 的值。
解:由 A ? B 可知, (1) ?

?m ? d ? mq

?m ? 2d ? mq

,或(2) ? 2

?m ? d ? m q2 ?m ? 2d ? m q

解(1)得 q ? 1 ,

4

解(2)得 q ? 1, 或q ? ?

1 2

又因为当 q ? 1 时, m ? mq ? mq2 与题意不符 所以, q ? ?

1 . 2
5 ? 1}, 求CR A B . x?2

例 10 已知 R 为全集, A ? {x | log 1 (3 ? x) ? ?2}, B ? {x |
2

解:由 log 1 (3 ? x) ? ?2可解得- 1? x ? 3
2

所以 A ? {x | ?1 ? x ? 3}, 故CR A ? {x | x ? ?1 ,或x ? 3} 由

5 ? 1,可解得 ? 2 ? x ? 3, 故B ? {x | ?2 ? x ? 3} x?2

?CR A B ? {x x ? ?1, 或x ? 3} {x | ?2 ? x ? 3} ? {x | ?2 ? x ? ?1, 或x ? 3}
例 11 已知集合 A ? {?1,1}, B ? {x | x2 ? 2ax ? b ? 0}, 若B ? ?且A B ? A ,求 a , b 的值. 解:

A B ? A, B ? ?? B ? A且B ? ?, 故B有两种存在情况:

(1)当 B 含有两个元素时: B ? A ? {?1,1}, 此时a ? 0, b ? ?1 ; (2)当 B 含有一个元素时: ? ? 4a ? 4b ? 0 ? a ? b
2 2

若 B ? {1 }时,有a ? 2a ? 1 ? 0,? a ? 1, b ? 1
2

若 B ? {?1 }时,有a ? 2a ? 1 ? 0,? a ? ?1, b ? 1
2

综上可知: ?

1 ?a ? 0 ?a= ?a ? ?1 。 , 或? ,或? 1 ?b ? ?1 ?b= ?b ? 1

小结: 1.正确理解集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性; 2.用列举法或描述法给出集合,考察元素与集合之间的元素;或不给出集合中的元素, 但只给出若干个抽象的集合及某些关系,运用文氏图解决有关问题。 3.熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算。 4.注意符号的理解,相互之间的转化:例如 A ? B ? A ? A ? B ? A ? B ? B 等等. 学生练习 题组一: 1.已知集合 M={x|x2< 4}, N={x|x2- 2x- 3< 0},则集合 M∩ N 等于 A.{x|x<-2} B.{x|x>3} C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3} 解析:M={x|x2<4}={x|-2<x<2}, N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},结合数轴,
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5

-2 -1 o 1 2 3

x

∴M∩N={x|-1<x<2}. 答案:C 2.已知集合 A={x∈R|x<5- 2 },B={1,2,3,4},则( CR A)∩B 等于 A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{4}

解析: CR A={x∈R|x≥5- 2 },而 5- 2 ∈(3,4) , ∴( CR A)∩B={4}. 答案:D 3.设集合 P={1,2,3,4,5,6},Q={x∈R|2≤x≤6},那么下列结论正确的是 A.P∩Q=P B.P∩Q Q C.P∪Q=Q D.P∩Q P 解析:P∩Q={2,3,4,5,6},∴P∩Q P. 答案:D 4.设 U 是全集,非空集合 P、Q 满足 P Q U,若求含 P、Q 的一个集合运算表达式, 使运算结果为空集 ? ,则这个运算表达式可以是______. 解析:构造满足条件的集合,实例论证. U = { 1 , 2 , 3} , P= { 1} , Q = { 1, 2 } , 则( CU Q) ={ 3} , ( CU P) ={2, 3},易见( CU Q)∩P= ? . 答案: ( CU Q)∩P 5.已知集合 A={0,1} ,B={x|x∈A,x∈N*} ,C={x|x ? A} ,则 A、B、C 之间 的关系是________. 解析:用列举法表示出 B={1} ,C={ ? , {1} , {0} ,A} ,易见其关系.这里 A、B、 C 是不同层次的集合,C 以 A 的子集为元素,同一层次的集合可有包含关系,不同层次的 集合之间只能是从属关系. 答案:B A,A∈C,B∈C 题组二: 2 1.设全集为实数集 R, 集合 M={x|x ?1999x?2000>0},P={x||x?1999|<a}(a 为常数) ,且?1?P, 则 M 与 P 满足 ( ) (A) CR M (C) CR M

P?R CR P ? R

(B) M

CR P ? R

(D) M ? P ? R

2.若非空集合 A={x|2a+1?x?3a?5},B={x|3?x?22},则能使 A?B 成立的所有 a 的集合是( ) (A){a|1?a?9} (B){a|6?a?9} (C){a|a?9} (D)? 2 3.设集合 A={x|x <a} ,B={x|x<2},若 A∩ B=A,则实数 a 的取值范围是( ) (A)a<4 (B)a?4 (C)0<a?4 (D)0<a<4 4.若{1,2} A?{1,2,3,4,5}, 则满足这一关系的集合 A 的个数为 。 2 5.设集合 A={x|x +x?1=0},B={x|ax+1=0},若 B A,则实数 a 的不同取值个数为 2 2 6.设全集 I=R,集合 A={x|x ?x?2= ?y ,y? R,y≠0},B={y|y=x+1,x?A},则



6

CI ( A B) =

.
2

7.若集合 A={3?2x,1,3} ,B={1,x },且 A? B=A,求实数 x. 8.设全集 I=R,A={x| x ? 1 ?0},B={x|lg(x ?2)=lgx},求 A∩ CI B .
2

9.已知集合 A={y|y ?(a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y=x /2?x+5/2,0?x?3},若 A∩ B=?,求实 数 a 的取值范围。 10.已知集合 A={x|6/(x+1)?1},B={x|x2?2x+2m<0,x?R},若 A?B=A,求实数 m 的取值范围。
2 2 2 2

11. 已知 A={x|x2?ax+a2?19=0},B={x|log3(x2+x?3)=1},C={x| 3 x 求实数 a 的值。 参考答案: 1. D 2. B. 3. B. 4. 7 5. 3

2

?7 x ?10

=1},且? A∩B,A∩C=?,

6. (??,0]?[2,+?). 7. x= ?3 或 x= ? 3 . 10. m??3/2 11. a= ?5

8. {?1}. 9. a? ? 3 或 3 ?a?2 课前后备注 题目 第二章函数 高考要求
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函数的综合应用

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1 在全面复习函数有关知识的基础上,进一步深刻理解函数的有关概念,全面把握各 类函数的特征,提高运用基础知识解决问题的能力
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2 掌握初等数学研究函数的方法,提高研究函数的能力,重视数形结合数学思想方法 的运用和推理论证能力的培养
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3 初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系,提高综合运用知识 解决问题的能力
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4 树立函数思想,使学生善于用运动变化的观点分析问题 知识点归纳 函数的综合问题主要有如下几个方面: 1 函数的概念、性质和方法的综合问题; 2 函数与其它知识,如方程、不等式、数列的综合问题; 3 函数与解析几何的综合问题; 4 联系生活实际和生产实际的应用问题
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函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用: 在应用中深化基础知识 在复习中基础知识经历一个由分散到系统,由单一到综合的发 展过程 这个过程不是一次完成的,而是螺旋式上升的 因此要在应用深化基础知识的同时, 使基础知识向深度和广度发展
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以数学知识为载体突出数学思想方法 数学思想方法是观念性的东西,是解决数学问题 的灵魂,同时它又离不开具体的数学知识 函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结 合的思想 此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法 解较综合的数学问题要 进行一系列等价转化或非等价转化 因此本课题也十分重视转化的数学思想
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重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养 函数是数学复习 的开始,还不可能在大范围内综合运用知识 但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决 问题的意识是十分重要的 推理论证能力是学生的薄弱环节,近几年高考命题中加强对这方 面的考查,尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的
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重点是通过对问题的讲解与分析,使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题,并 在解决问题中深化对基础知识的理解,深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用
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难点是函数思想的理解与运用,推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与 提高 题型讲解
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例 1 已知函数 f(x),x∈F,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素

的个数是 (
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) B1
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A0
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C0 或 1
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D1 或 2
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分析:这里首先要识别集合语言,并能正确把集合语言转化成熟悉的语言 从函数观点
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看,问题是求函数 y=f(x),x∈F 的图象与直线 x=1 的交点个数(这是一次数到形的转化), 不少学生常误认为交点是 1 个,并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的,这 是不正确的,因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的 这里给出了函数 y=f(x) 的定义域是 F,但未明确给出 1 与 F 的关系,当 1∈F 时有 1 个交点,当 1 ? F 时没有交点, 所以选 C
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例 2 方程 lgx+x=3 的解所在区间为(
A (0,1)
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3 2 1

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B (1,2)
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y

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C (2,3)
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D (3,+∞)
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分析:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=lgx 与

图象(如图 2) 它们的交点横坐标 x0 ,显然在区间 (1,3)
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o

1

2 x0 3

x

y=-x+3 的 内,由此 单凭直观 lgx=lg2,

可排除 A,D 至于选 B 还是选 C,由于画图精确性的限制, 就比较困难了 实际上这是要比较 x0 与 2 的大小 当 x=2 时,
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3-x=1 由于 lg2<1,因此 x0 >2,从而判定 x0 ∈(2,3),故本题应选 C
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说明:本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间 数形结合,要 在结合方面下功夫 不仅要通过图象直观估计,而且还要计算 x0 的邻近两个函数值,通过比 较其大小进行判断
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例 3 (1)一次函数 f(x)=kx+h(k≠0),若 m<n 有 f(m)>0,f(n)>0,则对于任意 x∈ (m,n)都有 f(x)>0,试证明之;
(2)试用上面结论证明下面的命题: 若 a,b,c∈R 且|a|<1,|b|<1,|c|<1,则 ab+bc+ca>-1
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分析:问题(1)实质上是要证明,一次函数 f(x)=kx+h(k≠0), x∈(m, n) 若区间两 个端点的函数值均为正,则对于任意 x∈(m,n)都有 f(x)>0 之所以具有上述性质是由于一 次函数是单调的 因此本问题的证明要从函数单调性入手
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(1)证明: 当 k>0 时,函数 f(x)=kx+h 在 x∈R 上是增函数,m<x<n,f(x)>f(m)>0; 当 k<0 时,函数 f(x)=kx+h 在 x∈R 上是减函数,m<x<n,f(x)>f(n)>0 所以对于任意 x∈(m,n)都有 f(x)>0 成立 f(a)=(b+c)a+bc+1
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(2)将 ab+bc+ca+1 写成(b+c)a+bc+1,构造函数 f(x)=(b+c)x+bc+1 则
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当 b+c=0 时,即 b=-c,

f(a)=bc+1=-c2+1
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因为|c|<1,所以 f(a)=-c2+1>0 因为|b|<1,|c|<1,

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当 b+c≠0 时,f(x)=(b+c)x+bc+1 为 x 的一次函数

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f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0, f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0

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由问题(1)对于|a|<1 的一切值 f(a)>0,即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1>0
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说明: 问题(2)的关键在于 “转化” “构造” 把证明 ab+bc+ca>-1 转化为证明 ab+bc+ca+1 >0, 由于式子 ab+bc+ca+1 中, a,b,c 是对称的,构造函数 f(x)=(b+c)x+bc+1,则 f(a)=(b+c)a+bc+1,问题转化为在|a|<1,|b|<1,|c|<1 的条件下证明 f(a)>0 (也可构 造 f(x)=(a+c)x+ac+1,证明 f(b)>0)
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例 4 假设国家收购某种农产品的价格是 1.2 元/ kg ,其中征税标准为每 100 元征 8 元 (叫做税率为 8 个百分点,即 8% ) ,计划可收购 mkg 为了减轻农民负担,决定税率降低 x
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个百分点,预计收购可增加 2 x 个百分点 (1)写出税收 y (元)与 x 的函数关系; (2)要
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使此项税收在税率调节后不低于原计划的 78% ,确定 x 的取值范围

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解: ( 1 ) 由 题 知 , 调 节 后 税 率 为 (8 ? x)% , 预 计 可 收 购 m(1 ? 2 x%)kg , 总 金 额 为

1.2m(1 ? 2 x%) 元
∴ y ? 1.2m(1 ? 2 x%)(8 ? x)% ?

3m (400 ? 42 x ? x 2 )(0 ? x ? 8) 12500

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(2)∵元计划税收 1.2m ? 8% 元, ∴ 1.2m(1 ? 2 x%)(8 ? x)% ? 1.2m ? 8% ? 78% ,
2 得 x ? 42 x ? 88 ? 0 , ?44 ? x ? 2 ,又∵ 0 ? x ? 8 ,

∴ x 的取值范围为 0 ? x ? 2 例 5 某航天有限公司试制一种仅由金属 A 和金属 B 合成的合金,现已试制出这种合金 400 克,它的体积 50 立方厘米,已知金属 A 的比重 d 小于每立方厘米 9 克,大于每立方厘 米 8.8 克;金属 B 的比重约为每立方厘米 7.2 克 (1)试用 d 分别表示出此合金中金属 A 、金属 B 克数的函数关系式; (2)求已试制的合金中金属 A 、金属 B 克数的取值范围
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? x ? y ? 400 ? 解: (1)此合金中含 A 金属 x 克、 B 金属 y 克, 则 ? x , y ? ? 50 ? ? d 7.2
40d 360(d ? 8) (8.8 ? d ? 9) , y ? (8.8 ? d ? 9) d ? 7.2 d ? 7.2 40d 7.2 ? 40(1 ? ) 在 (8.8,9) 上是减函数,∴ 200 ? x ? 220 (2)∵ x ? d ? 7.2 d ? 7.2 360(d ? 8) 0.8 y? ? 360(1 ? ) 在 (8.8,9) 上是增函数, 180 ? y ? 200 d ? 7.2 d ? 7.2
解得 x ?
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例 6 已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? lg | a ? 2 | (a ?R,且 a ? ?2)
2

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(I) 若 f ( x) 能表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x) 的和, 求 g ( x)和h( x) 的解析式;
2 (II)命题 P:函数 f ( x) 在区间 [(a ? 1) ,??) 上是增函数;

9

命题 Q:函数 g ( x) 是减函数

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如果命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,求 a 的取值范围; (III)在(II)的条件下,比较 f (2)与3 ? lg 2 的大小
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解: (1)? f ( x) ? g ( x) ? h( x), g (? x) ? ? g ( x), h(? x) ? h( x),

? f (? x) ? ? g ( x) ? h( x). ? ? ?

? g ( x) ? h( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? lg | a ? 2 |,
2 ? ?? g ( x) ? h( x) ? x ? (a ? 1) x ? lg | a ? 2 | .

解得 g ( x) ? (a ? 1) x, h( x) ? x 2 ? lg | a ? 2 | . (2)?函数f ( x) ? ( x ?

a ? 1 2 (a ? 1) 2 2 ) ? ? lg | a ? 2 | 在区间 [(a ? 1) ,??) 上是增函数, 2 4

? ( a ? 1) 2 ? ?

a ?1 3 , 解得 a ? ?1或a ? ? 且a ? ?2. 2 2

又由函数 g ( x) ? (a ? 1) x 是减函数,得 a ? 1 ? 0,? a ? ?1且a ? ?2. ∴命题 P 为真的条件是: a ? ?1或a ? ? 命题 Q 为真的条件是: a ? ?1且a ? ?2
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3 且a ? ?2. 2
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又∵命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,? a ? ? . (2)由(1)得 f (2) ? 2a ? lg | a ? 2 | ?6.

3 2



3 a ? ? ,? f (2) ? 2a ? lg(a ? 2) ? 6 2
1 ln 10 ? 0 a?2
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设函数 v(a ) ? 2a ? lg( a ? 2) ? 6,? v ?(a ) ? 2 ? ∴函数 v(a) 在区间 [ ?
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3 ,?? ) 上为增函数 2 3 3 3 又? v(? ) ? 3 ? lg 2,?当a ? ? 时, v(a ) ? v(? ), 即f (2) ? 3 ? lg 2. 2 2 2
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例7若( f x) 在定义域 (-1, 1) 内可导, 且 f ?( x) ? 0; 又当a 、b ? (?1,1)且a ? b ? 0
2 时, f (a) ? f (b) ? 0. 解 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0

, 且f ?( x) ? 0 解:? f ( x)在(?1,1)内可导 ? f ( x)在(?1,1) 上为减函数
又当 a , b ? (?1,1), a ? b ? 0时, f (a) ? f (b) ? 0

10

? f (b) ? ? f (a),即f (?a) ? ? f (a) ? f ( x)在(?1,1) 上为奇函数

? f (1 ? m) ? f (1 ? m 2 ) ? 0 ? f (1 ? m) ? ? f (1 ? m 2 )
?? 1 ? 1 ? m ? 1 ? ? f (1 ? m) ? f (m ? 1) ? ?? 1 ? m 2 ? 1 ? 1 ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?
2

?1 ? m ? 2

∴原不等式的解集为 (1, 2 ) 例 8 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 D : {x | x ? 0} 且 满 足 对 于 任 意 x1 , x2 ? D , 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ). (Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)判断 f ( x) 的奇偶性并证明; (Ⅲ)如果 f (4) ? 1, f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3, 且f ( x)在(0,??) 上是增函数,求 x 的 取值范围
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(Ⅰ)解:令 x1 ? x2 ? 1, 有f (1?1) ? f (1) ? f (1), 解得f (1) ? 0. (Ⅱ)证明:令 x1 ? x2 ? ?1,

有f [(?1) ? (?1)] ? f (?1) ? f (?1), 解得f (?1) ? 0
令 x1 ? ?1, x2 ? x有f (? x) ? f (?1) ? f ( x),? f (? x) ? f ( x). ∴ f ( x) 为偶函数
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(Ⅲ) f (4 ? 4) ? f (4) ? f (4) ? 2, f (16 ? 4) ? f (16) ? f (4) ? 3. ∴ f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3即f [(3x ? 1)(2 x ? 6)] ? f (64) (1) ∵ f ( x)在(0,??) 上是增函数, ∴(1)等价于不等式组:

?(3x ? 1)(2 x ? 6) ? 0, ?(3x ? 1)(2 ? 6) ? 0, 或? ? ?(3x ? 1)(2 x ? 6) ? 64, ?? (3x ? 1)(2 x ? 6) ? 64.

11

1 ? x ? 3或x ? ? , ? 1 ? ? 3 ?? ? x ? 3, 或? 3 ? ?? 7 ? x ? 5, ? ?x ? R ? 3 ?
7 1 1 ? x ? ? 或 ? ? x ? 3. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为 {x | ? ? x ? ? 或 ? ? x ? 3或3 ? x ? 5}. 3 3 3 2 ? x ?x?4 , (x ? 0), ? ? x 例 9 已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ? x ? x ? 4 , (x ? 0). ? x ? (1) 求证: 函数 f ( x ) 是偶函数; (2) 判断函数 f ( x ) 分别在区间 (0, 2] 、 [2, ? ?) 上的单调性, 并加以证明; (3) 若 1 ?| x1 |? 4,1 ?| x2 |? 4 , 求证: | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 1 解: (1) 当 x ? 0 时, ? x ? 0 , x2 ? x ? 4 ( ? x) 2 ? ( ? x) ? 4 x 2 ? x ? 4 ? 则 f ( x) ? , f ( ? x) ? ? x x ( ? x) ∴ f ( x) ? f ( ? x) 当 x ? 0 时, ? x ? 0 , x2 ? x ? 4 x2 ? x ? 4 ( ? x) 2 ? ( ? x) ? 4 ?? 则 f ( x) ? ? , , f ( ? x) ? ? x x ( ? x) ∴ f ( x) ? f ( ? x) 综上所述, 对于 x ? 0 , 都有 f ( x) ? f ( ?x) , ∴函数 f ( x ) 是偶函数
∴ 3 ? x ? 5或 ?
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x2 ? x ? 4 4 ? x ? ? 1, x x x ? x1 设 x2 ? x1 ? 0 , 则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 2 ( x1 ? x2 ? 4) x1 ? x2 当 x2 ? x1 ? 2 时, f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ;
(2) 当 x ? 0 时, f ( x) ? 当 2 ? x2 ? x1 ? 0 时, f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , ∴函数 f ( x ) 在 (0, 2] 上是减函数, 函数 f ( x ) 在 [2, ??) 上是增函数 (3)由(2)知, 当 1 ? x ? 4 时, 5 ? f ( x) ? 6 , 又由(1)知, 函数 f ( x ) 是偶函数, ∴当 1 ? | x | ? 4 时, 5 ? f ( x ) ? 6 , ∴若 1 ? | x1 | ? 4 , 1 ? | x2 | ? 4 , 则 5 ? f ( x1 ) ? 6 , 5 ? f ( x2 ) ? 6 , ∴ ?1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1, 即 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 1
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例 10 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1), g ( x) ? 2 lg(2 x ? t ) (t 为参数)

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12

(1)写出函数 f ( x) 的定义域和值域; (2)当 x ? [0,1] 时,求函数 g ( x) 解析式中参数 t 的取值范围; (3)当 x ? [0,1] 时,如果 f ( x) ? g ( x) ,求参数 t 的取值范围 解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 (?1,??) ,值域为 R (2)? 2 x ? t ? 0, x ? [0,1]
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? t ? 0.

(3)当 0 ? x ? 1时, f ( x) ? g ( x) ? ?

?2 x ? t ? 0 ? x ? 1 ? 2x ? t

?

t ? x ? 1 ? 2x(0 ? x ? 1) ? t ? ( x ? 1 ? 2x) max .
设U ?

x ? 1 ? 2x, m ? x ? 1, 则 1 ? m ? 2, x ? m2 ? 1,

1 1 ?U ? m ? 2(m 2 ? 1) ? ?2m 2 ? m ? 2 ? ?2(m ? ) 2 ? ? 2. 4 8
当 m ? 1( x ? 0)时,U max ? 1. 所以 t ? 1 学生练习
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1 对函数 f ( x) ? 3x ? ax ? b 作代换 x=g(t),则总不改变 f(x)值域的代换是 (
2
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)

A g (t ) ? log1 t
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B g (t ) ? ( )
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2
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1 2

t

C g(t)=(t-1)2 D g(t)=cost 2 方程 f(x,y)=0 的曲线如图所示,那么方程 f(2-x,y)=0 的曲线是 ( )
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y
-2 -1 o 1 2
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y

y
x
2

y
x
-1 o 1 2 C

y

x

-1 o 1 2 A

-2 -1 o 1 B

x

-2 -1 o 1 D

x
x

3 已知命题 p:函数 y ? log0.5 ( x ? 2 x ? a) 的值域为 R,命题 q:函数 y ? ?(5 ? 2a) 是减
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函数 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 A a≤1 B a<2 C 1<a<2 D a≤1 或 a≥2 4 方程 lgx+x=3 的解所在的区间为( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,+∞)
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5 如果函数 f(x)=x +bx+c 对于任意实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t),那么( A f(2)<f(1)<f(4) B f(1)<f(2)<f(4) C f(2)<f(4)<f(1) D f(4)<f(2)<f(1) 6 已知函数 y=f(x)有反函数,则方程 f(x)=a (a 是常数)( ) A 有且仅有一个实根 B 至多一个实根 C 至少一个实根 D 不同于以上结论
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13

π 1 ,θ ∈( ,π ),则 tanθ 的值是( 5 2 4 3 4 3 A - B - C D 3 4 3 4 8 已知等差数列的前 n 项和为 S n ,且 S p ? Sq ,则 S p?q =____
7 已知 sinθ +cosθ =
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9 关于 x 的方程 sin x+cosx+a=0 有实根,则实数 a 的取值范围是____ 10 正六棱锥的体积为 48,侧面与底面所成的角为 45°,则此棱锥的侧面积为_________
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11 建造一个容积为 8m ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分 别为 120 元和 80 元,则水池的最低造价为_________ 12 已知函数 f ( x ) 满足: f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) , f (1) ? 2 ,则
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f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)
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? c ? 0 的 两 实 根 为 x1 , x2 ( x1 13 已 知 a , b, c 为 正 整 数 , 方 程 a x ? b x ?
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x2), 且

| x1 |? 1,| x2 |? 1 ,则 a ? b ? c 的最小值为_____________
14 设函数 f(x)=lg(ax +2x+1)
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(1)若 f(x)的定义域是 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域是 R,求实数 a 的取值范围
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15 设不等式 2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立 求 x 的取值范围 16 设等差数列{a n }的前 n 项的和为 S n ,已知 a 3 =12,S 12 >0,S 13 <0 ① 求公差 d 的取值范围; ② 指出 S 1 、S 2 、?、S 12 中哪一个值最大,并说明理由 (1992 年全国高考) 17 如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在平面,C 是圆 周上任 P 一点,设∠BAC=θ ,PA=AB=2r,求异面直线 PB 和 AC 的距离 18 已知△ABC 三内角 A、 B、 C 的大小成等差数列, 且 tanA? tanC = 2 +
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3, 又知顶点 C 的对边 c 上的高等于 4
c 及三内角
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3 ,求△ABC 的三
A
O

边 a、b、
B C

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1 ? 2x ? 4 x a 19 设 f(x)=lg ,如果当 x∈(-∞,1]时 f(x)有 3
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意义, 求

实数 a 的取值范围 20 已知偶函数 f(x)=cos?sinx-sin(x-?)+(tan?-2)sinx-sin?的最小值是 0,求 f(x)的最大值 及此时 x 的集合
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21 已知 x ? R ,奇函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 [1, ??) 上单调
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(Ⅰ)求字母 a , b, c 应满足的条件; (Ⅱ)设 x0 ? 1, f ( x0 ) ? 1,且满足 f [ f ( x0 )] ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0
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参考答案 1 不改变 f(x)值域,即不能缩小原函数定义域 选项 B,C,D 均缩小了 f ( x ) 的定义域,故选 A 2 先作出 f(x,y)=0 关于 y 轴对称的函数的图象,即为函数 f(-x,y)=0 的图象,又 f(2-x,y)=0 即
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为 f (?( x ? 2), y ) ? 0 ,即由 f(-x,y)=0 向右平移 2 个单位 故选 C
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3 命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数 x ? 2 x ? a 的判别 式 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,从而 a ? 1 ;命题 q 为真时, 5 ? 2a ? 1 ? a ? 2 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p 和 q 中只有一个是真命题,一个是假命题 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2, 故选 C
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4 图像法解方程,也可代入各区间的一个数(特值法或代入法) ,选 C; 5 函数 f(x)的对称轴为 2,结合其单调性,选 A; 6 从反面考虑,注意应用特例,选 B;
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? 2x 1? x2 1 =x (x>0) ,则 + = ,解出 x=2,再用万能公式,选 A; 5 2 1? x2 1? x2 S p? q Sn m m 8 利用 是关于 n 的一次函数,设 S p =S q =m, =x,则( ,p) 、( ,q)、(x, n p q p?q
7 设 tan
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p+q)在同一直线上,由两点斜率相等解得 x=0,则 答案:0; 9 设 cosx=t,t∈[-1,1],则 a=t -t-1∈[-
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5 ,1], 4

所以答案:[-
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5 ,1]; 4 4 16 ,造价 y=4?120+4x?80+ ?80≥1760, x x

10 设高 h,由体积解出 h=2 3 ,答案:24 6 ;
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11 设长 x,则宽
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答案:1760
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12 运用条件知:
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f (n ? 1) ? f (1) =2,且 f ( n)

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7) 2 f (2) 2 f (4) 2 f (6) 2 f (8) ? ? ? = =16 f (1) f (3) f (5) f (7)
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 13 依题意可知 ? ,从而可知 x1 , x2 ? (?1,0) ,所以有 b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ?
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? ?b 2 ? 4ac ? 0 ?b 2 ? 4ac ? ? ? f ( ?1) ? a ? b ? c ? 0 ? ?b ? a ? c ,又 a, b, c 为正整数,取 c ? 1 , ? ?c ? a c ? ? x1 x2 ? ? 1 a ? 2 2 则 a ? 1 ? b ? a ? b ,所以 a ? b ? 4ac ? 4a ? a ? 4 , 2 从而 a ? 5 ,所以 b ? 4ac ? 20 ,又 b ? 5 ? 1 ? 6 ,所以 b ? 5 , 因此 a ? b ? c 有最小值为 11 2 下面可证 c ? 2 时, a ? 3 ,从而 b ? 4ac ? 24 ,所以 b ? 5 , 又 a ? c ? b ? 5 , 所以 a ? c ? 6 ,所以 a ? b ? c ? 11 , 综上可得: a ? b ? c 的最小值为 11
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14 分析:这是有关函数定义域、 值域的问题, 题目是逆向给出的, 解好本题要运用复合函数,
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把 f(x)分解为 u=ax +2x+1 和 y=lgu 并结合其图象性质求解
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解:(1) f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) 的定义域是 R ? u ? ax ? 2 x ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立

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因为 a=0 或 a<0 不合题意,所以 ?

?a ? 0 ,解得 a>1 ?? ? 0
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(2) f ( x) ? lg(ax2 ? 2 x ? 1) 的值域是 R ? u ? ax ? 2 x ? 1 能取遍一切正实数 当 a<0 时不合题意; 当 a=0 时,u=2x+1,u 能取遍一切正实数; 当 a>0 时,其判别式Δ =22-4?a?1≥0,解得 0<a≤1
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所以当 0≤a≤1 时 f(x)的值域是 R 15 分析:此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于 x 的不等式讨论 然而,若变换一个
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角度以 m 为变量, 即关于 m 的一次不等式(x -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2]上恒成立的问题 对
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此的研究,设 f(m)=(x -1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m) 的值在[-2,2]内恒为负值时参数 x 应该满足的条件 ?
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2

? f ( 2) ? 0 ? f ( ?2) ? 0

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解: 问题可变成关于 m 的一次不等式: (x -1)m-(2x-1)<0 在[-2,2] 恒成立, 设 f(m)

? f ( 2) ? 2( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0 ? =(x -1)m-(2x-1), 则 ? 2 ? ? f ( ?2) ? ?2( x ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0
2

解得 x∈(

7 ?1 3 ?1 , ) 2 2
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说明 本题的关键是变换角度,以参数 m 作为自变量而构造函数式,不等式问题变成函 数在闭区间上的值域问题 本题有别于关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)的解集是[-2,2]时求
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m 的值、关于 x 的不等式 2x-1>m(x -1)在[-2,2]上恒成立时求 m 的范围 一般地,在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关 系,使问题更明朗化 或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数, 更具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题 16 分析: ①问利用公式 a n 与 S n 建立不等式,容易求解 d 的范围;②问利用 S n 是 n 的二
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次函数,将 S n 中哪一个值最大,变成求二次函数中 n 为何值时 S n 取最大值的函数最值问 题 解:① 由 a 3 =a 1 +2d=12,得到 a 1 =12-2d,所以
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S 12 =12a 1 +66d=12(12-2d)+66d=144+42d>0, S 13 =13a 1 +78d=13(12-2d)+78d=156+52d<0 解得:-
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24 <d<-3 7 1 1 ② S n =na 1 + n(n1-1)d=n(12-2d)+ n(n-1)d 2 2 d 1 24 2 d 1 24 2 = [n- (5- )] - [ (5- )] 2 2 d 2 2 d 1 24 2 因为 d<0,故[n- (5- )] 最小时,S n 最大 2 d 24 1 24 由- <d<-3 得 6< (5- )<6 5, 7 2 d 1 24 2 故正整数 n=6 时[n- (5- )] 最小,所以 S 6 最大 2 d
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说明: 数列的通项公式及前 n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利 用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题 也可以利用方程的思想,设出未知的量,
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建立等式关系即方程,将问题进行算式化,从而简洁明快 由次可见,利用函数与方程的思 想来解决问题,要求灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、独创性 本题的另一种思路是寻求 a n >0、 a n?1 <0 , 即: 由 d<0 知道 a 1 >a 2 >?>a 13 , 由 S 13 =13a 7 <0
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得 a 7 <0,由 S 12 =6(a 6 +a 7 )>0 得 a 6 >0 所以,在 S 1 、S 2 、?、S 12 中,S 6 的值最大 17 分析:异面直线 PB 和 AC 的距离可看成求直线 PB 上任意一点到 AC 的距离的最小值,从 而设定变量,建立目标函数而求函数最小值 解:在 PB 上任取一点 M,作 MD⊥AC 于 D,MH⊥AB 于 H, 设 MH=x,则 MH⊥平面 ABC,AC⊥HD
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∴MD =x +[(2r-x)sinθ ]
2 2 2

2

2

2 2 2

P M

=(sin +1)x -4rsin θ x+4r sin θ

2r sin 2 θ 2 4r 2 sin 2 θ 2 =(sin θ +1)[x- ] + 1 ? sin 2 θ 1 ? sin 2 θ 2r sin θ 2r sin 2 θ 即当 x= 时, MD 取最小值 为 2 1 ? sin θ 1 ? sin 2 θ
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A D

H

O

B C

两异面

直线的距离 说明:本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的 最小值” ,并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题” 一般地,对于求最大值、最 小值的实际问题,先将文字说明转化成数学语言后,再建立数学模型和函数关系式,然后 利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答 比如再现性题组第 8 题就是典型的例子 18 分析:已知了一个积式,考虑能否由其它已知得到一个和式,再用方程思想求解 解: 由 A、B、C 成等差数列,可得 B=60°; 由△ABC 中 tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC,得
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tanA+tanC=tanB(tanA?tanC-1)= 3 (1+ 3 ) 设 tanA、tanC 是方程 x -( 3 +3)x+2+ 3 =0 的两根, 解得 x 1 =1,x 2 =2+ 3 设 A<C,则 tanA=1,tanC=2+ 3 , ∴A=
2

π 5π ,C= 4 12
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由此容易得到 a=8,b=4 6 ,c=4 3 +4 说明:本题的解答关键是利用“△ABC 中 tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC”这一 条性质得到 tanA+tanC,从而设立方程求出 tanA 和 tanC 的值,使问题得到解决
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19 分析:当 x∈(-∞,1]时 f(x)=lg
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1? 2 ? 4 a x 有意义的函数问题,转化为 1+2 + 3
x x
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4 a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题
x x

x

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解:由题设可知,不等式 1+2 +4 a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,

1 2x 1 x ) +( ) +a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立 2 2 1 x 1 设 t=( ) , 则 t≥ , 2 2 1 2 又设 g(t)=t +t+a,其对称轴为 t=- 2 1 2 ∴ t +t+a=0 在[ ,+∞)上无实根, 2 1 1 2 1 3 即 g( )=( ) + +a>0,得 a>- 2 2 2 4
即:(
17

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所以 a 的取值范围是 a>-

3 4

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说明:对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图 像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想 一般地, 我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问 题进行相互转化
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1 2x 1 x ) +( ) +a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立的问题时,也可使用“分 2 2 1 x 1 3 2 离参数法” : 设 t=( ) , t≥ ,则有 a=-t -t∈(-∞,- ],所以 a 的取值范 2 2 4 3 围是 a>- 其中最后得到 a 的范围,是利用了二次函数在某区间上值域的研究,也可属应 4
在解决不等式(
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用“函数思想” 20 解:f(x)=cos?sinx-(sinxcos?-cosxsin?)+(tan?-2)sinx-sin? =sin?cosx+(tan?-2)sinx-sin? 因为 f(x)是偶函数, 所以对任意 x?R,都有 f(-x)=f(x), 即 sin?cos(-x)+(tan?-2)sin(-x)-sin?=sin?cosx+(tan?-2)sinx-sin?, 即(tan?-2)sinx=0, 所以 tan?=2
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? ? 2 5 2 5 ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, , ?sin ? ? ? , ?sin ? ? ? ? ? 5 5 由 ? sin ? 解得 ? 或? ? 2, 5 5 ? ?cos? ? ; ? cos? ? ? . ? cos ? ? ? 5 5 ? ?
此时,f(x)=sin?(cosx-1) 当 sin?=
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2 5 2 5 时,f(x)= (cosx-1)最大值为 0,不合题意最小值为 0,舍去; 5 5 2 5 2 5 当 sin?= ? 时,f(x)= ? (cosx-1)最小值为 0, 5 5 4 5 当 cosx=-1 时,f(x)有最大值为 , 5
自变量 x 的集合为{x|x=2k?+?,k?Z}
21 解: (1)
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f (0) ? 0 ? c ? 0 ; f ( x) ? f (? x) ? 0 ? a ? 0
2

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f '( x) ? 3x ? b , 2 若 f ( x ) x ? [1, ??) 上是增函数,则 f '( x) ? 0 恒成立,即 b ? (3x )min ? 3 若 f ( x ) x ? [1, ??) 上是减函数,则 f '( x) ? 0 恒成立,这样的 b 不存在 综上可得: a ? c ? 0, b ? 3 (2) (证法一)设 f ( x0 ) ? m ,由 f [ f ( x0 )] ? x0 得 f (m) ? x0 ,
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3 ? ? x0 ? bx0 ? m (1) 于是有 ? , 3 ? ?m ? bm ? x0 (2)

(1)-(2)得: ( x0
2

3

? m3 ) ? b( x0 ? m) ? m ? x0 ,化简可得
2

( x0 ? m)( x0 ? mx0 ? m2 ? 1 ? b) ? 0 ,
x0 ? 1, f ( x0 ) ? m ? 1 ,? x0 ? mx0 ? m2 ? 1 ? b ? 4 ? b ? 1 ? 0 ,
18

? m ? 0 ,即有 f ( x0 ) ? x0 (证法二)假设 f ( x0 ) ? x0 ,不妨设 f ( x0 ) ? a ? x0 ? 1 , 由(1)可知 f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递增,故 f [ f ( x0 )] ? f (a) ? f ( x0 ) ? x0 , 这与已知 f [ f ( x0 )] ? x0 矛盾,故原假设不成立,即有 f ( x0 ) ? x0
故 x0
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题目 第八章圆锥曲线 双曲线 高考要求 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 知识点归纳 1 双曲线定义: ① 到 两 个 定 点 F1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 ( < |F1F2| ) 的 点 的 轨 迹
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( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数) ) 这两个定点叫双曲线的焦点.
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②动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)时,这个动点 的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线 2 双曲线图像中线段的几何特征:
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⑴实轴长 A 1 A2 ? 2a ,虚轴长 2b,焦距 F 1F 2 ? 2c ⑵顶点到焦点的距离:

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M1

M2

P

A1F1 ? A2 F2 ? c ? a , A1F2 ? A2 F1 ? a ? c
⑶顶点到准线的距离:

F1 A1 K1

o

K2 A2 F2

a2 a2 A1K1 ? A2 K 2 ? a ? ; A1K 2 ? A2 K1 ? a ? c c
⑷焦点到准线的距离:

F1K1 ? F2 K 2 ? c ?

a2 a2 或 F1K 2 ? F2 K1 ? c ? c c 2a 2 c

⑸两准线间的距离: K1 K 2 ?

⑹ ?PF 1 F2 中结合定义 PF1 ? PF2 ? 2 a 与余弦定理 cos?F 1 PF2 ,将有关线段 PF 1 、

PF2 、 F1 F2 和角结合起来, S ?PF1F2 ? b 2 cot
⑺离心率: e ?

?F1 PF2 2

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PF1 PF2 AF AF c b2 ? ? 1 1 ? 2 2 ? ? 1 ? 2 ∈(1,+∞) PM 1 PM 2 A1 K1 A2 K 2 a a
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⑻焦点到渐近线的距离:虚半轴长 b ⑼通径的长是

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2b 2 b2 b2 ,焦准距 ,焦参数 (通径长的一半) a c a

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19

其中 c ? a ? b
2 2
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2

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PF1 ? PF2 ? 2a

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3 双曲线标准方程的两种形式:
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y2 x2 - =1,c= a 2 ? b 2 ,焦点是 F1(-c,0) ,F2(c,0) a2 b2 y2 x2 - =1,c= a 2 ? b 2 ,焦点是 F1(0,-c) 、F2(0,c) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2
y
M1 M2



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4 双曲线的性质:
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P

⑴范围:|x|≥a,y∈R ⑵对称性:关于 x、y 轴均对称,关于原点中心对称 ⑶顶点:轴端点 A1(-a,0) ,A2(a,0) ⑷渐近线: ①若双曲线方程为

F1 A1 K1

o

K2 A2 F2

x

x2 y2 ? ?1 ? 渐 近 线 方 程 a2 b2

x2 y2 b ? 2 ?0? y?? x 2 a a b
②若渐近线方程为 y ? ?

x y x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? a b a a b

2

2

③若双曲线与

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, 有公共渐近线,可设为 a2 b2 a2 b2

? ? 0 ,焦点在 y 轴上)
④特别地当 a ? b时 ? 离心率 e ?
2 2

2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ,此时双曲线
b b x,y=- x a a
2

为等轴双曲线,可设为 x ? y ? ? ;y=

⑸准线:l1:x=-

a a2 a2 ,l2:x= ,两准线之距为 K1 K 2 ? 2 ? c c c

⑹焦半径: PF1 ? e( x ?

a2 ) ? ex ? a , (点 P 在双曲线的右支上 x ? a ) ; c

a2 PF2 ? e( ? x) ? ex ? a , (点 P 在双曲线的右支上 x ? a ) ; c
当焦点在 y 轴上时,标准方程及相应性质(略)
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20

⑺与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? ( ? ? 0) 共渐近线的双曲线系方程是 a2 b2 a2 b2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 共焦点的双曲线系方程是 a2 b2 a2 ? k b2 ? k
根据下列条件,求双曲线方程:

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⑻与双曲线 题型讲解 例1
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x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3 ) (1)与双曲线 ; 9 16
(2)与双曲线

y2 x2 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2) 16 4

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分析:设双曲线方程为

y2 x2 - =1,求双曲线方程,即求 a、b,为此需要关于 a、b a2 b2
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的两个方程,由题意易得关于 a、b 的两个方程 解法一: (1)设双曲线的方程为

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y2 x2 - =1, a2 b2

由题意,得

?b 4 ? ? ?a 3 ? 2 2 ? (?3) ? (2 3) ? 1 ? 16 ? 9
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解得 a2=

9 ,b2=4 4

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所以双曲线的方程为

y2 x2 - =1 9 4 4

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(2)设双曲线方程为

y2 x2 - =1 a2 b2

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由题意易求 c=2 5

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又双曲线过点(3 2 ,2) ,



4 (3 2 ) 2 - 2 =1 2 b a

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又∵a2+b2=(2 5 )2, ∴a2=12,b2=8
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y2 x2 - =1 12 8 y2 x2 解法二: (1)设所求双曲线方程为 - =λ (λ ≠0) , 9 16 1 将点(-3,2 3 )代入得λ = , 4 2 2 y x 1 所以双曲线方程为 - = 9 16 4 2 y2 x (2)设双曲线方程为 - =1, 16 ? k 4?k y2 x2 将点(3 2 ,2)代入得 k=4,所以双曲线方程为 - =1 12 8 点评:求双曲线的方程,关键是求 a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e 及 准线)之间的关系,并注意方程思想的应用 若已知双曲线的渐近线方程 ax±by=0,可设双 曲线方程为 a2x2-b2y2=λ (λ ≠0) 例 2 设点 P 到点 M(-1,0) 、N(1,0)距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴距离之比为 2,求 m 的取值范围 分析:由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m| 知点 P 的轨迹是双曲线,由点 P 到 x 轴、 y 轴距离之比为 2,知点 P 的轨迹是直线,由交轨法求得点 P 的坐标,进而可求得 m 的取 值范围 | y| 解:设点 P 的坐标为(x,y) ,依题意得 =2, |x|
故所求双曲线的方程为
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即 y=±2x(x≠0) ① 因此,点 P(x,y) 、M(-1,0) 、N(1,0)三点不共线, 从而得 ||PM|-|PN||<|MN|=2 ∵||PM|-|PN||=2|m|>0, ∴0<|m|<1 因此,点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长为 2|m|的双曲线上
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y2 x2 - =1 m2 1 ? m2

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将①代入②,并解得 x2= ∵1-m2>0,∴1-5m2>0 解得 0<|m|<
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m 2 (1 ? m 2 ) , 1 ? 5m 2
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5 , 5
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5 5 ,0)∪(0, ) 5 5 评述:本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识,考查了逻辑思维能力及分析 问题、解决问题的能力 解决此题的关键是用好双曲线的定义 例 3 已知?∈[0,π], 设讨论随?值的变化,方程 x2sin?+y2cos?=1 表示的曲线形状 解:(1)?=0 时,两直线 y=1 和 y= ─1; (2)?=π/2 时,两直线 x=1 和 x=─1;
即 m 的取值范围为(-
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22

(3)0<?<π/2 时,焦点在 x 轴上的椭圆; (4)?=π/4 时,半径为 4 2 的圆; (5)π/4<?<π/2 时,焦点在 y 轴上的椭圆; (6)π/2<?<π 时,焦点在 x 轴上的椭圆 点评:本题主要考查椭圆双曲线方程的形式和分类讨论思想 例 4 一双曲线以 y 轴为其右准线,它的右支过点 M(1,2), 且它的虚半轴、实半轴、半 焦距长依次构成一等差数列 试求: (1)双曲线的离心率; (2)双曲线的右焦点 F 的轨迹方程; (3)过点 M,F 的弦的另一端点 Q 的轨迹方程 解:(1)依题意,2a=b+c, ∴b2=(2a─c)2 = c2─a2, 5a2─4ac=0,
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两边同除以 a2, 得 e ?

5 ; 4

(2)设双曲线的右焦点 F(x,y), 由双曲线的定义,点 M 到右焦点的距离与点 M 到准线 的距离之比为 e=

5 , 4



( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 5 = , 4 1? 0
25 16
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∴F 的轨迹方程为(x─1)2+(y─2)2=

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(3)设 Q(x,y), 点 Q 到右焦点的距离与点 Q 到准线的距离之比为 5/4, ∴|QF|=

5x , 4

QF 5 x 5 = : =x, FM 4 4 x ? x ?1 2x y ? x ? 2 2x ? y ∴x1= = , y1= = , 1? x 1? x 1? x 1? x 25 代入(x1─1)2+(y1─2)2= 整理得: 16
又设点 F(x1,y1), 则点 F 分线段 QA 的比为 点 Q 的轨迹方程为 9x2─16y2+82x+64y─55=0
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例 5 已知双曲线的方程为

x2 ? y 2 ? 1 , 直线 l 通过其右焦点 F2,且与双曲线的右支交 4
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于 A、B 两点,将 A、B 与双曲线的左焦点 F1 连结起来,求|F1A|?|F1B|的最小值 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),

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a2 4 4 4 A 到双曲线的左准线 x= ─ =─ 的距离 d=|x1+ |=x1+ , c 5 5 5
由双曲线的定义,

| AF1 | 5 =e= , d 2

23

∴|AF1|=

4 5 5 (x1+ )= x1+2, 2 2 5

同理,|BF1|=

5 x2+2, 2
5 5 5 x1+2)( x2+2)= x1x2+ 5 (x1+x2)+4 4 2 2
(1)

∴|F1A|?|F1B|=(

双曲线的右焦点为 F2( 5 ,0), (1)当直线的斜率存在时设直线 AB 的方程为:y=k(x─ 5 ),

? y ? k(x ? 5) ? 由 ? x2 消去 y 得 (1─4k2)x2+8 5 k2x─20k2─4=0, 2 ? ? y ?1 ?4
∴x1+x2=

20k 2 ? 4 8 5k 2 , x x = ─ , 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

代入(1)整理得 |F1A|?|F1B|=

40k 2 25k 2 ? 5 65k 2 ? 5 ? +4= +4 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

1 85 65(k 2 ? ) ? 85 4 4 +4= 81 + = 2 4 4(4k 2 ? 1) 4k ? 1
∴|F1A|?|F1B|>

81 ; 4 1 , 2

(2)当直线 AB 垂直于 x 轴时,容易算出|AF2|=|BF2|= ∴|AF1|=|BF1|=2a+

1 9 81 = (双曲线的第一定义), ∴|F1A|?|F1B|= 2 2 4 81 由(1), (2)得:当直线 AB 垂直于 x 轴时|F1A|?|F1B| 取最大值 4
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例 6 24 已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144 (1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|?|PF2|=32,求∠F1PF2 的大小
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解: (1)由 16x2-9y2=144 得
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y2 x2 - =1, 9 16

∴a=3,b=4,c=5 焦点坐标 F1(-5,0) ,F2(5,0) ,离心率 e=
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5 4 ,渐近线方程为 y=± x 3 3

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24

(2)||PF1|-|PF2||=6,cos∠F1PF2=

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 2 | PF1 | | PF2 |

=

(| PF1 | ? | PF2 | )2 ? 2 | PF1 | | PF2 | ? | F1 F2 | 2 36 ? 64 ? 100 = =0 2 | PF1 | | PF2 | 64
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∴∠F1PF2=90° 例 7 已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆 上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是
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与点 P 位置无关的定值 试对双曲线 C′:
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y2 x2 - =1 写出具有类似特性的性质,并加以 a2 b2

证明

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解:类似的性质为若 MN 是双曲线

y2 x2 - =1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双 a2 b2

曲线上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之 积是与点 P 位置无关的定值 设点 M 的坐标为(m,n) , 则点 N 的坐标为(-m,-n) ,
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其中

m2 n2 - =1 a2 b2

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又设点 P 的坐标为(x,y) , 由 kPM=

y?n y?n ,kPN= , x?m x?m

得 kPM?kPN=

y?n y ? n y2 ? n2 ? = , x ? m x ? m x2 ? m2

将 y2=

b2 2 2 2 b2 2 2 b2 x - b , n = m - b ,代入得 k ? k = PM PN a2 a2 a2

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点评:本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质,考查类比、归纳、探索问题的能力 它 是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目,对思维能力有较高的要求 小结: 1 由给定条件求双曲线的方程,常用待定系数法 首先是根据焦点位置设出方程的形式 (含有参数) ,再由题设条件确定参数值,应特别注意: (1)当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,应防止遗漏; (2) 已知渐近线的方程 bx±ay=0, 求双曲线方程, 可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=λ (λ ≠0) ,根据其他条件确定λ 的值 若求得λ >0,则焦点在 x 轴上,若求得λ <0,则焦点在 y 轴上 2 由已知双曲线的方程求基本量,注意首先应将方程化为标准形式,再计算,并要特别 注意焦点位置,防止将焦点坐标和准线方程写错 3 解题中,应重视双曲线两种定义的灵活应用,以减少运算量
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4 对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互 转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导 数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯 学生练习
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1 动圆与两圆 x 2 ? y 2 ? 1 和 x 2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心轨迹是 (
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)

A 圆
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B
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椭圆

C

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双曲线

D

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双曲线的一支

答案: D 解析: 外切条件: d ? r1 ? r2
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x2 y2 2 已知 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的左、 右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与 a b
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双曲线的左支交于 A、B 两点,若 ?ABF2 是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( A
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)

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2

B

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3

C 2
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D 3
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答案: B 3 过点(2
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-2)且与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 有公共渐进线的双曲线是 ( 2

)

A

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y2 x2 ? ?1 2 4

B

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x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ?1 C ? ?1 D ? ?1 4 2 4 2 2 4
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答案: A 解析: 设
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x2 ? y 2 ? ? ,代入求 ? 2

4 如果双曲线
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x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到它的右焦点距离是 8,那么点 P 到它的右准线的距离 64 36

是( A 10
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) B
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32 7 7
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C 2 7
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D

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32 5

答案: D 解析: 点 P 右支上
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5 已知 F1 , F2 是双曲线
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x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,P、Q 为右支上的两点,直线 PQ 过 F2 ,且 2
) D 随 ? 的大小变化
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倾斜角为 ? ,则 PF 1 ? QF 1 ? PQ 的值为 ( A 4 2
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B 8
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C 2 2
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答案: A 解析: 用双曲线定义列方程可解
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6 过双曲线 2x ? y ? 2 ? 0 的右焦点作直线 l 交曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4 则这样的
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2

2

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直线存在 ( ) A 0条 B 1条 C 2条 D 3条 答案: D 解析: l ? x 轴时的焦点弦长 AB=4 最短为通径,故交右半支弦长为 4 的直线恰有一 条;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条
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7 直线 y ? ?
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x x y2 1 x ? 5 与曲线 ? ? 1 的交点个数是 3 9 25
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(
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)

A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案: D 解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故 y=5 为其切线,当直线斜率不为 0 时, 直线必与每个曲线交于两点
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8 P 为双曲线
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x2 y2 ? 2 ? 1 上一点, F1 为一个焦点,以 PF1 为直径的圆与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的 2 a b
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位置关系为 ( ) A 内切 B 外切 C 内切或外切 答案: C 解析: 用两圆内切或外切的条件判断
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D

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无公共点或相交

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9 设 ? ? (0,
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?
4

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) ,则二次曲线 x 2 cot? ? y 2 tan? ? 1 的离心率的取值范围是 (

)

A (0,
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1 ) 2

B ( ,
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1 2

2 ) 2

C ( 2 , ? ?)
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D

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(

2 , 2

2)

答案: C 解析:
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e?

tan? ? cot? tan?

? 1 ? cot2 ?

10 设 F1 , F2 是双曲线
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x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90? ,则 4
( )

?PF1 F2 的面积为
A 1
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B
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5 2

C

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5
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答案: A 解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组 h 或面积公式
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11 设 F1 , F2 是双曲线
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x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,P 在双曲线上,当 ?F1 PF2 的面积为 1 4
) C
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时, PF 1 ? PF 2 的值为( A
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0

B

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1 2

D

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2

答案: A 解析: 不妨设 x p , y p ? 0, 由
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1 1 ? 2c ? y p ? 1? y p ? , 2 5
27

P(

2 30 5 2 30 5 2 30 5 , ) ? PF1 ? (? 5 ? ,? ) , PF2 ? ( 5 ? ,? ) ,? PF1 ? PF2 ? 0 5 5 5 5 5 5

y2 x2 - =1 的渐近线方程是 4 9 3 2 9 A y=± x B y=± x C y=± x 2 3 4
12 双曲线
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D y=±
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4 x 9 b 3 x=± x 2 a
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答案: A 解析: 由双曲线方程可得焦点在 x 轴上, a=2, b=3 ∴渐近线方程为 y=±
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x2 -y2=1 有公共渐近线的双曲线方程是 2 2 2 2 2 y y y2 y2 x x x2 x2 A - =1 B - =1 C - =1 D - =1 2 4 4 2 4 2 2 4 x2 答案:A 解析:可设所求双曲线方程为 -y2=λ ,把(2,-2)点坐标代入方程得λ = 2 -2
13 过点(2,-2)且与双曲线
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14 如果双曲线
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y2 x2 - =1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么 P 到它的右准线距离 64 36
B

是 A 10
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32 7 7

C2 7
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D

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32 5

答案:D 解析:利用双曲线的第二定义知 P 到右准线的距离为

8 8 32 =8? = e 10 5

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15 (设 P 是双曲线
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y2 x2 - =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 分 9 a2
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别是双曲线的左、右焦点 若|PF1|=3,则|PF2|等于 A1 或 5 B6 C7 D9 答案:C
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解析:由渐近线方程 y=
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3 x,且 a=2,∴b=3 据定义有|PF2|-|PF1|=4,∴|PF2|=7 2
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16 “ab<0”是“曲线 ax2+by2=1 为双曲线”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 答案:C 解析:由 ab<0,得 a>0,b<0 或 a<0,b>0 由此可知 a 与 b 符号相反,则方程表示 双曲线,反之亦然
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17 若椭圆
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x2 y2 x2 y2 3 ? ? 1 的离心率为? ? 1 , ( a ? b ? 0 ) 的离心率为 , 则双曲线 2 a2 b2 a2 b2

_______ 答案:

5 解析: a ? 2b 2
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28

18 双曲线的渐进线方程 y ? ?
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3 x ,则双曲线的离心率为________ 4

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答案:
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5 5 , 4 3

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19 等轴双曲线的离心率为_________
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2 解析: 渐进线垂直,开口开阔与否的分界值
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y2 x2 - =1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心 9 16 到双曲线中心的距离是____________ 16 答案: 解析:由双曲线的几何性质易知圆 C 过双曲线同一支上的顶点和焦点,所以圆 C 3 4 7 16 的圆心的横坐标为 4 故圆心坐标为(4,± ) 易求它到中心的距离为 3 3 2 2 2 2 21 求与圆 A: (x+5) +y =49 和圆 B: (x-5) +y =1 都外切的圆的圆心 P 的轨迹方程为 ________________
20 已知圆 C 过双曲线
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y x - =1(x>0) 解析:利用双曲线的定义 9 16 y2 x2 22 给出问题:F1、F2 是双曲线 - =1 的焦点,点 P 在双曲线上 若点 P 到焦点 F1 的距 16 20 离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离 某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由||PF1|- |PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将 正确结果填在下面横线上 ______________________________________________________ 答案:|PF2|=17 解析:易知 P 与 F1 在 y 轴的同侧,|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=17
答案:
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2

2

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23 过点 A(0,2)可以作___条直线与双曲线 x2-
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y =1 有且只有一个公共点 4

2

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答案:4
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解析:数形结合,两切线、两交线
2

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24 已知双曲线 x2-
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y =1 与点 P(1,2) ,过 P 点作直线 l 与双曲线交于 A、B 两点,若 P 2

为 AB 中点 (1)求直线 AB 的方程; (2)若 Q(1,1) ,证明不存在以 Q 为中点的弦 (1)解:设过 P(1,2)点的直线 AB 方程为 y-2=k(x-1) , 2 2 2 4 代入双曲线方程得(2-k )x +(2k -4k)x-(k -4k+6)=0
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设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则有 x1+x2=-

2k 2 ? 4k , 2? k2

由已知

x1 ? x 2 2k 2 ? 4k =xp=1,∴ 2 =2 解得 k=1 2 k ?2
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29

又 k=1 时,Δ =16>0,从而直线 AB 方程为 x-y+1=0 (2)证明:按同样方法求得 k=2,而当 k=2 时,Δ <0,所以这样的直线不存在 25 双曲线 kx2-y2=1,右焦点为 F,斜率大于 0 的渐近线为 l,l 与右准线交于 A,FA 与左 准线交于 B,与双曲线左支交于 C,若 B 为 AC 的中点,求双曲线方程
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解:由题意 k>0,c= 1 ?

1 ,渐近线方程 l 为 y= k x, k

准线方程为 x=±

k 1 1 ,于是 A( , ) , kc kc kc

直线 FA 的方程为 y=

k ( x ? c) 1 ? kc 2 1 ,于是 B (- , ) kc 1 ? kc 2 k c(kc 2 ? 1)

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由 B 是 AC 中点,则 xC=2xB-xA=-

3 ? kc 2 3 ,yC=2yB-yA= kc k c(kc 2 ? 1)
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将 xC、yC 代入方程 kx2-y2=1,得 k2c4-10kc2+25=0 解得 k(1+
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1 2 2 )=5,则 k=4 所以双曲线方程为 4x -y =1. k
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课前后备注 题目 第八章圆锥曲线 圆锥曲线的应用 高考要求 1 阅读理解 数学应用题给出的方式是材料的陈述,而不是客体的展示 也就是说,所考 的应用题通常已进行过初步加工,并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前,要求考 生读懂题意,理解实际背景,领悟其数学实质 2 数学建模, 即将应用题的材料陈述转化成数学问题 这就要抽象、 归纳其中的数量关系, 并把这种关系用数学式子表示出来 3 数学求解 根据所建立数学关系的知识系统,解出结果,从而得到实际问题的解答 通过圆锥曲线在现实生活中的应用,培养学生解决应用问题的能力 知识点归纳 解析几何在日常生活中应用广泛,如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关 键,而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法 本节主要通过圆锥曲线在 实际问题中的应用,说明数学建模的方法,理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学 思想 题型讲解 例 1 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此
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彗星离地球相距 m 万千米和 为

4 m 万千米时,经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别 3
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π π 和 ,求该彗星与地球的最近距离 2 3

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分析:本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离,一般的思路:由直线与椭圆的 关系,列方程组解之;或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解 同时,还要注意结合椭圆的 几何意义进行思考 仔细分析题意,由椭圆的几何意义可知:只有当该彗星运行到椭圆的较 近顶点处时,彗星与地球的距离才达到最小值即为 a-c,这样把问题就转化为求 a,c 或 a -c
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30

解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于

焦点 F

x2 y2 (-c,0)处,椭圆的方程为 2 + 2 =1, a b
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

A''
π 3

P A
? 3

y o x

F

B A'

时,由 ∠

π 椭圆的几何意义可知, 彗星 A 只能满足∠xFA= (或 3 π xFA′= ) 3 1 2 作 AB⊥Ox 于 B,则|FB|= |FA|= m, 2 3
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故由椭圆的第二定义可得

a2 a2 c 4 c 2 ( -c)① 且 m= ( -c+ m)② c c 3 3 a a 1 c 2 两式相减得 m= ? m,∴a=2c 3 3 a 1 3 代入①,得 m= (4c-c)= c, 2 2 2 2 ∴c= m ∴a-c=c= m 3 3 2 答:彗星与地球的最近距离为 m 万千米 3
m=
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点评: (1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的 一个焦点,该椭圆的两个端点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离 一个是 a-c,另一个是 a+c (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分 体现了数形结合的思想 另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题, 善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质 例 2 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路 AP、BP 运到 P 处(如图所示) 已知 PA=100 m,PB=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土最省工 分析:首先抽象为数学问题,半圆中的点可分为三类: y (1)沿 AP 到 P 较近; (2)沿 BP 到 P 较近; (3)沿 AP、 BP 到 P 同样远 M 显然,第三类点是第一、二类的分界点,设 M 是分界线 o A 上的任意一点 则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB| B x 于是 P |MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50 从而发现第三类点 M 满足性质:点 M 到点 A 与点 B 的距离之差等于常数 50,由双曲 线定义知,点 M 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上,故问题转化为求此双曲线的方程 解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系 xOy,设 M(x,y) 是沿 AP、BP 运土同样远的点,则 |MA|+|PA|=|MB|+|PB|, ∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50
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在△PAB 中,由余弦定理得 | AB| 2=| PA| 2+| PB| 2- 2| PA|| PB| cos60°=17500, 且 50<| AB| 由双曲线定义知 M 点在以 A、 B 为焦点的双曲线右支上,
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设此双曲线方程为

y2 x2 - =1( a> 0, b> 0) a2 b2

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∵2a=50,4c2=17500,c2=a2+b2, 解之得 a2=625,b2=3750
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y x - =1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧 625 3750 于是运土时将双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土沿 BP 运到 P 处最省工 点评: (1)本题是不等量与等量关系问题,涉及到分类思想,通过建立直角坐标系, 利用点的集合性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)从而确定出最优化区域 (2)应用分类思想解题的一般步骤:①确定分类的对象;②进行合理的分类;③逐类 逐级讨论;④归纳各类结果 例 3 根据我国汽车制造的现实情况,一般卡车高 3 m,宽 1 6 m 现要设计横断面为抛 物线型的双向二车道的公路隧道,为保障双向行驶安全,交通管理规定汽车进入隧道后必 须保持距中线 0 4 m 的距离行驶 已知拱口 AB 宽恰好是拱高 OC 的 4 倍,若拱宽为 a m,求 能使卡车安全通过的 a 的最小整数值 分析: 根据问题的实际意义,卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线 0 4 m 到 2 m 间 的道路行驶为最佳路线,因此,卡车能否安全通过,取决于距隧道中线 2 m(即在横断面上 距拱口中点 2 m)处隧道的高度是否够 3 m,据此可通过建立坐标系,确定出抛物线的方程 后求得 解:如图,以拱口 AB 所在直线为 x 轴,以拱高 OC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系, a 由题意可得抛物线的方程为 x2=-2p(y- ) , 4 a ∵点 A(- ,0)在抛物线上, 2 y a a a ∴(- )2=-2p(0- ) ,得 p= C 2 4 2 a ∴抛物线方程为 x2=-a(y- ) 4 取 x=1 6+0 4=2,代入抛物线方程,得 o x A
∴M 点轨迹是
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2

2

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a 2 ? 16 a 2 =-a(y- ) ,y= 4a 4 2 a ? 16 由题意,令 y>3,得 >3, 4a
2
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B

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∵a>0,∴a2-12a-16>0 ∴a>6+2 13
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又∵a∈Z,∴a 应取 14,15,16,? 答:满足本题条件使卡车安全通过的 a 的最小正整数为 14 m 点评: 本题的解题过程可归纳为两步:一是根据实际问题的意义,确定解题途径,得
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32

到距拱口中点 2 m 处 y 的值;二是由 y>3 通过解不等式,结合问题的实际意义和要求得到 a 的值,值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的 例 4 如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 m,要求通行车辆限高 4 5 m,隧 道全长 2 5 km,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状 (1)若最大拱高 h 为 6 m,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2) 若最大拱高 h 不小于 6 m, 则应如 何设计 拱高 h 和拱宽 l,才能使半个椭圆形隧道的 土方工 h 4.5 程量最小?
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(半个椭圆的面积公式为 S=
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π lh, 柱体 4
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22 d

体积为

底面积乘以高 本题结果均精确到 0 1 m) (1)解:如下图建立直角坐标系,则点 P(11,4 5) ,
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椭圆方程为

x2 y2 + =1 a2 b2

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y
P 4.5 h

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将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程,得

44 7 88 7 ,此时 l=2a= ≈33 3 7 7 因此隧道的拱宽约为 33 3 m
a=
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o
d

22

x

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(2)解法一:由椭圆方程

x2 y2 11 2 4.5 2 + =1 ,得 + 2 =1 a2 b2 a2 b

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因为

11 2 4.5 2 2 ? 11 ? 4.5 + 2 ≥ , 2 ab a b

即 ab≥99,且 l=2a,h=b,所以 S=

π π ab 99π lh= ≥ 4 2 2

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当 S 取最小值时,有

11 2 4.5 2 1 = 2 = , 2 a2 b
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得 a=11 2 ,b=

9 2 2

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此时 l=2a=22 2 ≈31 1,h=b≈6 4
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故当拱高约为 6 4 m、拱宽约为 31 1 m 时,土方工程量最小
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解法二:由椭圆方程

x2 y2 11 2 4.5 2 + =1 ,得 + 2 =1 a2 b2 a2 b

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于是 b2=

a2 81 ? 2 4 a ? 121

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a2b2=

1212 81 81 (a2-121+ 2 +242)≥ (2 1212 +242)=81?121, 4 4 a ? 121

33

即 ab≥99,当 S 取最小值时, 有 a2-121=

1212 a 2 ? 121

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9 2 ,以下同解法一 2 例 5 一摩托车手欲飞跃黄河, 设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是 12°,飞跃的水平距离是 35 m,为了安全,摩托车在最高点与落地点的垂直落差约 10 m, 那么,骑手沿跑道飞出时的速度应为多少?(单位是 km/h,精确到个位) (参考数据:sin12°=0 2079,cos12°=0 9781,tan12°=0 2125) 分析:本题的背景是物理中的运动学规律,摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线, 它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的,它们运行的位移都是时 间 t 的函数,故应引入时间 t,通过速度 v 的矢量分解来寻找解决问题的途径 解: 摩托车飞离跑道后,不考虑空气阻力,其运动轨迹是抛物线,轨迹方程是 1 x=vtcos12°,y=vtsin12°- ?9 8t2 2 其中 v 是摩托车飞离跑道时的速度,t 是飞行时间,x 是水平飞行距离,y 是相对于起 始点的垂直高度,将轨迹方程改写为
得 a=11 2 ,b=
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y=-

1 1 ?9 8x2+tan12°?x, 2 (cos 12? ? v) 2
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即 y=-5 1219
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x2 +0 2125x v2
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当 x≈0 0207v2 时,取得 ymax≈0 0022v2 1 当 x=35 时,y 落=-6274 3275 2 +7 4375 v ∵ymax-y 落=10, 1 0 0022v2+6274 3275 2 -17 4375=0, v 解得 v≈19 44 m/s 或 v≈86 88 m/s 若 v≈86 88 m/s,则 x=156 246 m,与题目不符, 而 v≈19 44 m/s,符合题意,为所求解 故 v≈19 44 m/s=69 984 km/h≈70 km/h 答:骑手沿跑道飞出时的速度应为 70 km/h 点评:本题直接构造 y 是 x 的函数解析式很困难,应引入适当的参数(时间 t)作媒介, 再研究 x 与 y 是怎样随参数变化而变化的,问题往往就容易解决了 这种辅助变量的引入要 具体问题具体分析,以解题的简捷为原则 例 6 A、B、C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 正东 6 km,C 在 B 正北偏西 30°,相 距 4 km,P 为敌炮阵地,某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于 B、C 两地比 A 距 P 地远,因此 4 s 后,B、C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为 1 km/s,A 若炮击 P 地,求炮击的方位角 解:如下图,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中 垂线为 y 轴 y 建立坐标系,则
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34

C D B o A

P x

B(-3,0) 、A(3,0) 、C(-5,2 3 ) 因为|PB|=|PC|, 所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上

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因为 kBC=- 3 ,BC 中点 D(-4, 3 ) , 所以直线 PD 的方程为 y- 3 =

1 3

(x+4)

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又|PB|-|PA|=4,故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上 设 P(x,y) ,则双曲线方程为 联立①②,得 x=8,y=5 3 ,

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y2 x2 - =1(x≥0) 4 5

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5 3 = 3 8?3 故炮击的方位角为北偏东 30° 小结: 解决圆锥曲线应用问题时,要善于抓住问题的实质,通过建立数学模型,实现应用性 问题向数学问题的顺利转化;要注意认真分析数量间的关系,紧扣圆锥曲线概念,充分利 用曲线的几何性质,确定正确的问题解决途径,灵活运用解析几何的常用数学方法,求得 最终完整的解答 学生练习 1 一抛物线型拱桥,当水面离桥顶 2 m 时,水面宽 4 m,若水面下降 1 m 时,则水 面宽为
所以 P(8,5 3 ) 因此 kPA=
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A

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6m

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C45 m
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D9 m
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解析:建立


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