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椭圆的几何性质(1)11



复习:
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的 动点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程是: 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时

3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 a =b +c

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a 2 b 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

二、椭圆
x 1、范围: 2 ? 1, a -a≤x≤a,
2

简单的几何性质
y2 ? 1得: 2 b -b≤y≤b 知

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2 A1

b F1

a F2

o c
B1

A2

椭圆的对称性

Y P1(-x,y)

P(x,y)

O P2(-x,-y)

X

2、对称性:
从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看: (1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称; (2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称; (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图象关于原点成中 y 心对称。
B2

A1

b F1

a F2

o c
B1

A2

3、椭圆的顶点 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点? 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? *顶点:椭圆与它的对称轴 的四个交点,叫做椭圆的 顶点。
B2 (0,b) A1

y

b

a F2

*长轴、短轴:线段A1A2、 (-a,0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。

o c
B1 (0,-b)

A2 (a,0)

根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 (1 ) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e ? 叫做椭圆的离心率。 a [1]离心率的取值范围:0<e<1

4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)

[2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭 圆就越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 圆就越圆

思考:当e=0时,曲线是什么?当e=1时曲 线又是 什么? c a ?b b [3]e与a,b的关系: e ? ? ? 1? a a a
2 2 2 2 2

问:对于椭圆C1 : 9 x ? y ? 36与椭圆C : ?
2 2

C2 。 更接近于圆的是?????????

x2 2 16

y2 12

? 2,

标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

同前

例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是:

10 。短轴长是:

焦距是:

8



焦点坐标是: (0, ?4)

4 离心率等于: 5

6





。顶点坐标是:

(?3, 0) 。

外切矩形的面积等于:

60



解题的关键:2 1、将椭圆方程转化为标 2 x y 准方程 ? ? 1 明确a、b
25 9

2、确定焦点的位置和长轴的位置

练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离 心率。
(1)x2+9y2=81

(2) 25x2+9y2=225 (4) 4x2+5y2=1

(3) 16x2+y2=25

练习:已知椭圆 x2 ? (m ? 3) y 2 ? m(m ? 0) 的离心率
3 e? , 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 2

标、顶点坐标。

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成2:1的两部分,且经过点 P ? ?3 2, 4 ?
解: ⑴方法一:设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),将点的 坐标方程,求出m=1/9,n=1/4。
方法二:利用椭圆的几何性质,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是 椭圆的顶点,于是焦点在x轴上,且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点
2 2 x y ,故a=3,b=2,所以椭圆的标准方程为 ? ? 1 9 4 2 2 2 2



x y ? ?1 100 64
2



y x ? ?1 100 64

x y ? ⑶ 36 32 ? 1

2



y2 x2 ? ?1 145 290 4 9

注:待定系数法求椭圆标准方程的步骤: ⑴定位; ⑵定量

练习:
1. 根据下列条件,求椭圆的标准方程。

① 长轴长和短轴长分别为8和6,焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴,x轴上,经过P(-2,0), Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为(-3,0)一顶点坐标为(0,5) ④两顶点坐标为(0,±6),且经过点(5,4) ⑤焦距是12,离心率是0.6,焦点在x轴上。

2. 已知椭圆的一个焦点为F(6,0)点B,C是短 轴的两端点,△FBC是等边三角形,求这个椭圆的 标准方程。

x2 y 2 例3:(1)椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点

F1 (?c,0),
.

A(?a, 0), B(0, b) 是两个顶点,如果到直线AB的距
离为
b ,则椭圆的离心率e= 7

x2 y 2 (3)设M为椭圆 2 ? 2 ? 1 上一点,F1、F2 为椭圆的焦点, a b

如果 ?MF1F2 ? 75 , ?MF2 F1 ? 15 ,求椭圆的离心率。

小结:
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系,这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助,给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中,我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件,需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中,我们运用了几何性 质,待定系数法来求解椭圆方程,在解题过程中, 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。

x y ?1 (4)P为椭圆 ? 上任意一点,F1、F2是焦点, 4 3

2

2

则∠F1PF2的最大值是

.



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