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课改区2010届高三上学期第二次检测(数学理)



高三上学期理科数学单元测试(2)
[新课标人教版 命题范围 函数(必修 1 第二三章) 新课标人教版] 函数( 第二三章) 新课标人教版
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束,试题 和答题卡一并收回。 3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅 笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案。

第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。
x 1. 若函数 y = f ( x) 是函数 y = a(a>0,且a ≠ 1 的反函数, f (2) = 1 , f ( x) = ( ) 且 则



A. log 2 x

B.

1 2x

C. log 1 x
2

D.2 x2

2.f(x)=i A.-23 3.函数 y =

f ( x + 1), x < 4
x 2 , x ≥ 4

,则 f ( log 2 3) = C.19

( D. 24



B.11

1 x2 是 x+4 + x 3
B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数





A.奇函数 C.非奇非偶函数 4.方程 3 + x = 3 的解所在的区间为
x

( D. (3,4) (



A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) 5.下列四个函数中,在区间(-1,0)上为减函数的是 A. y = log 2 x B.y=cosx C. y = ( )



1 2

1
x

D. y = x 3

6.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数” , 那么函数解析式为 y = 2 x 2 + 1 ,值域为{5,19}的“孪生函数”共有 A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.7 个 ( )

7. f ( x ) , g ( x ) 是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)g(x) ,则“ f ( x ) , g ( x ) 均为奇函 数”是“ h( x ) 为偶函数”的 A.充要条件 C.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件
w.w.w.k.s .5.u.c. o.m





8. 已知函数 f ( x) = ax x c , f ( x ) > 0 的解集为 且 (-2, 则函数 y = f ( x )( 1)
2



9.设函数 f ( x ) = ax + bx + c( a ≠ 0) ,对任意实数 t 都有 f ( 2 + t ) = f ( 2 t ) 成立,则函
2

数值 f (1), f (1), f ( 2), f (5) 中,最小的一个不可能是 A. f (1) B. f (1) C. f ( 2) D. f (5)





10.设函数 f ( x)( x ∈ R )为奇函数, f (1) =
源:学|科|网 Z|X|X|K]

1 , f ( x + 2) = f ( x) + f (2), 则f (5) = ( 2
C.



[来

A.0 11.(09 安徽)设

B.1 ,函数

5 2
的图像可能是

D.5 ( )

[来源:学科网]

12. (09 山东) 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= (3)的值为 A.-1

x≤0 log 2 (4 x), ,则 f f ( x 1) f ( x 2), x > 0
( ) D. 2

B.-2

C.1

第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 3 13.用二分法求方程 x -2x-5=0 在区间[2,3]上的近似解,取区间中点 x0=2.5,那么下一个 有解区间为 14.一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲、乙所示. 某天 0 点到 6 点,该 水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水.则一定能确定正确的论断序号是_______________. 15. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x + 2 ) = 则 f(2010)=__________。 16.对于在区间[a,b]上有意义的两个函数 f (x ) 与 g (x ) ,如果对于任意 x ∈ [ a, b] ,均有
2 | f ( x) g ( x) |≤ 1 , 则称 f (x ) 与 g (x ) 在区间[a, b]上是接近的, 若函数 y = x 3 x + 4

1+ f ( x)

1 f ( x)

, x ∈ ( 0, 4 ) 时, f ( x ) = x 1 , 当
2

与函数 y = 2 x 3 在区间[a,b]上是接近的,则该区间可以是



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分) 。 17. (12 分)设 a>0,f(x)=

ex a + 是 R 上的偶函数. a ex

(1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数

18. (12 分)已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k ∈ R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)-m=0 有解,求 m 的取值范围.

19. (12 分)某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资 成正比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注: 利润与投资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的 利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配 这 10 万元投资,才能是企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元。 (精确到 1 万元) 。
[来源:Zxxk.Com] [来源:学.科.网]

20. (12 分) (1)已知函数 f(x)=x2+lnx-ax 在(0,1)上是增函数,求 a 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设 g(x)=e2x-aex-1,x∈ [0, ln 3] ,求 g(x)的最小值.
[来源:学科网 ZXXK]

[来源:学科网 ZXXK]

21. (12 分)已知函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}.对定义域内的任意 x1、x2,都有 f (x1x2)=f(x1)+f(x2),且当 x>1 时,f(x)>0,f(2)=1. (1) 求证:f(x)是偶函数; (2) 求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)解不等式 f(2x2-1)<2.

[来源:Zxxk.Com]

22. (14 分)已 知函数 y = g ( x)与f ( x) = log a

( x +1)

(a > 1) 的图象关于原点对称.

(1)写出 y = g (x) 的解析式;
(2)若函数 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) + m 为奇函数,试确 定实数 m 的值; (3)当 x ∈ [0,1) 时,总有 f ( x ) + g ( x) ≥ n 成立,求实数 n 的取值范围.

参考答案
一、选择题 1. A;解析:函数 y = a(a>0,且a ≠ 1 的反函数是 f ( x) = log a x ,又 f (2) = 1 ,即 log a 2 = 1 , )
x

所以, a = 2 ,故 f ( x ) = log 2 x ,选 A. 2. D;解析: f (log 2 3) = f (3 + log 2 3) =

2

3+ log 2 3

= 24

3.B;解析:先求定义域,再化简解析式即可; 4.A;解析:数形结合;求函数零点的范围(二分法) ; 5.A;解析:分别考察了对数、余弦、指数、幂函数的变化趋势; 6.B;解析:新定义题型,先理解题意,后转化成数学问题处理; 7. 解析: f ( x ) ,g ( x ) 是定义在 R 上的函数, “ f ( x ) ,g ( x ) 均为奇函数” 则 h( x ) B; 若 , “ 为偶函数” ,而反之若“ h( x ) 为偶函数” ,则“ f ( x ) , g ( x ) 不一定均为奇函数” ,所以 “ f ( x ) , g ( x ) 均为奇函数” ,是“ h( x ) 为偶函数”是充分而不必要的条件,选 B; 8.D;解析:结合了三个二次的关系,和函数的图像变换准则处理,f(x)与 f(-x)的图 像关于 y 轴对称; 9.B;解析 : f ( 2 + t ) = f ( 2 t ) 说明函数的对称轴为 x=2; 10.C;∵f(1)=f(-1)+f(2) ∴f(2)=2(1)=1 ,f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2) =

5 , 故选 C. 2

11.C;解析:可得 x = a, x = b为y = ( x a ) 2 ( x b) = 0 的两个零解. 当 x < a 时,则 x < b ∴ f ( x ) < 0 当 a < x < b 时,则 f ( x ) < 0, 当 x > b 时,则 f ( x ) > 0. 选 C。 12.B.解析:由已知得 f ( 1) = log 2 5 , f (0) = log 2 4 = 2 , f (1) = f (0) f ( 1) = 2 log 2 5 ,

f (2) = f (1) f (0) = log 2 5 , f (3) = f (2) f (1) = log 2 5 (2 log 2 5) = 2 ,故选
B. 二、
[来源:学科网]

13.[2,2.5]解析:令 f(x)=x3-2x-5,f(2)= -1<0,f(2.5)= 置在[2,2.5]内 14.1;解析:注意“至少打开一个水口” ,不可以都不开;

45 >0,f(3)=16>0,因此零点位 8

15.3;解析:通过转化因式可以得到 f ( x + 4) = f ( x ) ,函数的周期性为 4;

16.[2,3];解析:新定义题目, “接 近”这一新概念要正确的用不等式表示即可,可以得 到结果; 三、 17.解: (1)∵f(x)=

ex a + 是 R 上的偶函数,∴f(x)-f(-x)=0.……2 分 a ex



e x a e x a 1 1 + x x = 0 ( a )e x + (a )e x =0 a e a e a a
…………4 分

1 ( a )(e x e x ) = 0 a
ex-e-x 不可能恒为“0” , ∴当

1 -a=0 时等式恒成立,∴a=1.…………6 分 a

(2)在(0,+∞)上任取 x1<x2, f(x1)-f(x2)=

e x1 1 1 1 + x1 e x2 x2 = (e x1 e x2 ) + ( x1 ) a e e e e x2 1 1 = (e x1 e x2 )(1 x1 x2 ) e e e e
x1 x2

= (e x1 e x2 ) + (e x2 e x1 )
1 2 1 2

[来源:Z|xx|k.Com]



(e x e x )(e x e x 1) ex ex
1 2

…………10 分

∵e>1,0<x1<x2 ∴ 1 < e 1 < e 2 , ,
x x

e e >1,

x1

x2

(e x1 e x2 )(e x1 e x2 1) <0, e x1 e x2
…………12 分

∴f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x)是在[0,+∞]上的增函数. 18.解:由函数 f(x)是偶函数,可知 f(x)=f(-x), ∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx…………2 分 即 log4

4x +1 1 =-2kx,log44x=-2kx, ∴x=-2kx 对一切恒成立. ∴k=- …………6 分 x 2 4 +1 1 4x +1 1 x, ∴m=log4 =log4(2x+ x ).…………8 分 x 2 2 2

(2)由 m=f(x)=log4(4x+1)∵2x+

1 1 ≥2, ∴m≥ …………10 分 x 2 2 1 …………12 分 2

故要使方程 f(x)-m=0 有解,m 的取值范围为 m≥

19. (1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f (x ) 万元,B 产品的利润为 g (x ) 万元, 由题设 f (x ) = k1 x , g (x ) = k 2 由图知 f (1) =

x ,.

…………2 分

1 1 5 5 ∴ k1 = ,又 g (4) = ∴ k 2 = …………4 分 4 4 2 4 1 5 从而 f (x ) = x, ( x ≥ 0) , g (x ) = x , ( x ≥ 0) …………6 分 4 4 (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10- x 万元,设企业的利润为 y 万元 x 5 Y= f (x ) + g (10 x ) = + 10 x , 0 ≤ x ≤ 10 ) ( , …………8 分 4 4
令 10 x = t , 则y = 当t =

10 t 2 5 1 5 25 + t = (t ) 2 + , (0 ≤ t ≤ 10 ), …………10 分 4 4 4 2 16

∴ 当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万元。
…………12 分 20.解:(1) f ′( x) = 2 x + 上恒成立,即 a≤2x+ ∴只需 a≤(2x+

5 25 , y max ≈ 4 ,此时 x = 10 =3.75 2 4

1 1 a ,∵f(x) 在(0,1)上是增函数,∴2x+ -a≥0 在(0,1) x x

1 恒成立, x

1 )min 即可. …………4 分 x

∴2x+

1 2 ≥ 2 2 (当且仅当 x= 时取等号) , x 2

∴a≤ 2 2 …………6 分 (2) 设 e x = t ,Q x ∈ [0, ln 3],∴ t ∈ [1,3]. 设 h(t ) = t at 1 = (t
2

a 2 a2 ) (1 + ) 2 4



a ,由(1)得 a≤ 2 2 , 2 a 3 ∴t= ≤ 2 < …………8 分 2 2
其对称轴为 t =

a a a2 则当 1≤ ≤ 2 ,即 2≤a≤ 2 2 时,h(t)的最小值为 h( )=-1, 2 2 4


a <1,即 a<2 时,h(t)的最小值为 h(1)=a …………10 分 2

当 2≤a≤ 2 2 时 g(x) 的最小值为-1-

a2 , 4

当 a<2 时 g(x) 的最小值为 a. …………12 分 21.解析:(1)因对定义域内的任意 x1﹑x2 都有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令 x1=x,x2=-1,则有 f(-x)=f(x)+f(-1). 又令 x1=x2=-1,得 2f(-1)=f(1). 再令 x1=x2=1,得 f(1)=0,从而 f(-1)=0, 于是有 f(-x)=f(x),所以 f(x)是偶函数. …………4 分 (2)设 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1

x2 x )=f(x1)-[f(x1)+f( 2 )] x1 x1

=-f(

x2 ). x1 x2 x >1,从而 f( 2 )>0, x1 x1

由于 0<x1<x2,所以

故 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数. …………8 分 (3)由于 f(2)=1,所以 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4), 于是待解不等式可化为 f(2x2-1)<f(4), 结合(1) (2)已证的结论,可得上式等价于 2 |2x -1|<4,
[来源:Z&xx&k.Com]

解得{x|-

10 10 <x< ,且 x≠0}. 2 2

…………12 分

22.解: (1)设 M(x,y)是函数 y = g (x ) 图象上任意一点, 则 M(x,y)关于原点的对称点为 N(-x,-y) N 在函数 f ( x ) = log a ( x + 1) 的图象上,∴ y = log a ( x + 1)
[来源:Z。xx。k.Com]

∴ y = log a (1 x)
(2)Q F ( x) = log a
( x +1)

…………4 分

log a

(1 x )

+ m 为奇函数.
(1+ x ) (1 x )

∴ F ( x) = F ( x) ∴ log a
(1 x )

log a
1+ x

(1+ x )

+ m = log a
1 x 1

+ log a

m
[来源:Zxxk.Com]

∴ 2m = log a 1 x + log a 1+ x = log a = 0
(3)由 f ( x ) + g ( x ) ≥ n得, log a 1 x ≥ n
1+ x

∴m = 0

………8 分

设 Q ( x ) = log a 1 x

1+ x

, x∈[ 0 ,1)

, ,由题意知, 只要Q(x) min ≥ n即可

…………11 分

Q F ( x) = log a

( 1+

2 ) 1 x

在[0,1 ) 上是增函数 …………14 分

∴ Q( x) min = Q(0) = 0. 即 n ≤ 0 即为所求.



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