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2.2.1椭圆


目标 重点 难点

从具体情境中抽象出椭圆的 模型,掌握椭圆的定义,标 准方程并能加以运用.

椭圆的定义和标准方程

椭圆标准方程的推导

探 究

观察动画

,总结椭圆定义

把平面内与两个定点F1、F2的距离之和(2a)等 于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的 y 距离叫做椭圆的焦距(2c)
M

F1

O

F2

x

思 考

求椭圆方程如何建立直角坐标系呢?

解:如图,以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴,线段 F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则F1(-c,0), F2(c,0).设M(x,y)是椭圆上任意一点,由椭圆定义得: |MF1|+|MF2|=2a. 即:( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a 移项平方得: ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2
化 简 得 :a 2 ? cx ? a ( x ? c ) 2 ? y 2

两 端平 方化 简得 : (a ? c )x ? a y ? a (a ? c ) 2 2 x y ? a2 ? c2 ? 0 ? 2? 2 ?1 2 a a ?c 2 2 x y 设 a 2 ? c 2 ? b 2 则: 2 ? 2 ? 1 a b x2 y 2 ? 所求的椭圆的方程为: ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2 2 2 2 2 2 2

x y 椭圆的标准方程: ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

注 意

1、椭圆定义:|MF1|+|MF2|=2a 2、a>c>0; a2=b2+c2 3、焦点在x轴上,F1(-c,0),F2(c,0)
焦点在y轴的椭圆的标准方程: y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
1、b2+c2=a2 2、焦点坐标:F1(0,-c),F2(0,c)

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a=2,b=1,焦点在x轴上; (2)两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3,0) ,并 且经过点(0,4) ;

(3)焦点坐标分别为(0,-4),(0,4) ,a=5;
(4)a+c=10,a-c=4; (5) a ? b ? 10, c ? 2 5

练习:课本练习

1、 2

例2:在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD, D为垂足。当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹。 解:设M(x,y),点P(x0,y0),则由已知得:
?x ? x0 ?x0 ? x ? 即: ? ? y0 y? ? y 0 ? 2y ? 2 ? 因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以 2 x x2+2y2=4 即: ? y 2 ? 1 4 所以线段PD的中点M的轨迹是一个椭圆。

y

P M

O

x

注意

轨迹与轨迹方程是不同的概念。

1、设点A、B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线 AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积是-2,求点 M的轨迹方程. 2、设点A、B的坐标分别为(-1,0),(1,0).直线 AM、BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜 率的商是2,求点M的轨迹方程.

椭圆

标准方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) (x轴 ) 2 a 2 b2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) (y 轴 ) 2 a b

注 意

1、椭圆定义:|MF1|+|MF2|=2a 2、a>c>0; a2=b2+c2 3、焦点坐标

习题2.2 A组 2


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