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必修一 第三章 函数的应用



通城二中 2016 暑假过关检测 必修一 第三章 函数的应用

姓名 第Ⅰ卷(选择题)

分数

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1.给出下列四个命题:①函数 f(x)=3x-6 的零点是 2;②函数 f(x)=x2+4x+4 的

零点 是-2;③函数 f(x)=log3(x-1)的零点是 1,④函数 f(x)=2x-1 的零点是 0,其中正确的个数 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2.若函数 y=f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在(0,4)内仅有 一个实数根,则 f(0)· f(4)的值( A.大于 0 B.小于 0 ) C.等于 0 D.无法判断 )

3.函数 f(x)=ax+b 的零点是-1(a≠0),则函数 g(x)=ax2+bx 的零点是( A.-1 B.0 C.-1 和 0 ) D.(3,4) D.1 和 0

4.方程 lgx+x-2=0 一定有解的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

5.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额, ①如果不超过 200 元,则不予优惠. ②如果超过 200 元,但不超过 500 元,则按标准价给予 9 折优惠. ③如果超过 500 元,则其 500 元按第②条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优惠. 某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他只去一次购买上述同样的商品,则 应付款是( ) B.513.6 元 C.546.6 元 D.548.7 元

A.413.7 元

A.7/4

B.3

C.3 或 7/4
x

D.无解 )

7. 已知函数 f(x)=loga(2 +b-1)(a>0, a≠1)的图象如图所示, 则 a、 b 满足的关系是(

A.0<a 1<b<1


B.0<b<a 1<1


C.0<b 1<a<1


D.0<a 1<b 1<1
- -

8.一个机器人每一秒钟前进或后退一步,程序设计师让机器人先前进 3 步再后退 2 步 的规律移动, 如果将机器人放在数轴的原点, 面向正的方向以一步的距离为一个单位长度. 令 P(n)表示第 n 秒时机器人所在位置的坐标,且记 P(0)=0,则下列结论中错误的是( ) A.P(3)=3 B.P(5)=1 C.P(2003)>P(2005) D.P(2007)>P(2008) 9.已知函数 f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为( )

1 4 B.y=4- C.y=log3(x+1) D.y=x3(x≥0) x+1 2 10.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如表.

A.y=2 x

x y

-3 -24

-2 -10

-1 0

0 6

1 8

2 6 )

3 0

4 -10

5 -24

… …

则使 ax2+bx+c>0 成立的 x 的取值范围是( A.(-10,-1)∪(1+∞) C.(-1,3)
x x

B.(-∞,-1)∪(3+∞) D.(0,+∞) )

11.方程 4 -3×2 +2=0 的根的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3

12. 若方程 mx-x-m=0(m>0, 且 m≠1)有两个不同实数根, 则 m 的取值范围是( A.m>1 B.0<m<1 C.m>0 D.m>2

)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知 y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令 f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于 f(x)=0 的解叙述正确的是________.

①有三个实根; ②x>1 时恰有一实根; ③当 0<x<1 时恰有一实根; ④当-1<x<0 时恰有一实根;⑤当 x<-1 时恰有一实根(有且仅有一实根). 14.某工程由 A、B、C、D 四道工序完成,完成它们需用的时间依次 2、5、x、4 天, 四道工序的先后顺序及相互关系是:A、B 可以同时开工;A 完成后,C 可以开工;B、C 完

成后,D 可以开工,若完成该工程总时间数为 9 天,则完成工序 C 需要的天数 x 最大为 ________. 15.已知抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+1 交于两点,其中一点坐标为(1,4),则另一个点 的坐标为______.
?3x(x≤0) ? 1 16.已知函数 f(x)=? ,则方程 f(x)= 的解为________. 3 ? log x ( x > 0) ? 9

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1 17.(本题满分 12 分)方程 x2- =0 在(-∞,0)内是否存在实数解?并说明理由. x

18.(本题满分 12 分)北京市的一家报刊摊点,从报社买进《北京日报》的价格是每份 0.20 元,卖出的价格是每份 0.30 元,卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元的价格退回报社.在 一个月(30 天计算)里,有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每天 从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最 大?并计算他一个月最多可赚得多少元?

19.(本题满分 12 分)电信局为了配合客户不同需要,设有 A、B 两种优惠方案,这两种 方案应付电话费 ( 元 ) 与通话时间 ( 分钟 ) 之间的关系,如下图所示 ( 实线部分 ) . ( 注:图中 MN∥CD.)试问: (1)若通话时间为 2 小时,按方案 A、B 各付话费多少元? (2)方案 B 从 500 分钟以后,每分钟收费多少元? (3)通话时间在什么范围内,方案 B 才会比方案 A 优惠.

20.(本题满分 12 分)若关于 x 的方程 x2-2ax+2+a=0 有两个不相等的实根,求分别 满足下列条件的 a 的取值范围. (1)方程两根都大于 1; (2)方程一根大于 1,另一根小于 1.

21.(本题满分 12 分)某化工厂生产的一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%. 1 若初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 ,问至少应过滤几次才能使产品达到市 3 场要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)

22.(本题满分 14 分)若二次函数 y=-x2+mx-1 的图象与两端点为 A(0,3)、B(3,0)的线 段 AB 有两个不同的交点,求 m 的取值范围.

通城二中 2016 暑假过关检测 必修一 第三章 函数的应用
第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1.给出下列四个命题:①函数 f(x)=3x-6 的零点是 2;②函数 f(x)=x2+4x+4 的零点 是-2;③函数 f(x)=log3(x-1)的零点是 1,④函数 f(x)=2x-1 的零点是 0,其中正确的个数 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

[解析]当 log3(x-1)=0 时,x-1=1,∴x=2,故③错,其余都对. 2.若函数 y=f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在(0,4)内仅有 一个实数根,则 f(0)· f(4)的值( A.大于 0 B.小于 0 ) C.等于 0 D.无法判断

[解析] 如图(1)和(2)都满足题设条件.

3.函数 f(x)=ax+b 的零点是-1(a≠0),则函数 g(x)=ax2+bx 的零点是( A.-1 B.0 C.-1 和 0 D.1 和 0

)

[解析] 由条件知 f(-1)=0,∴b=a,∴g(x)=ax2+bx=ax(x+1)的零点为 0 和-1. 4.方程 lgx+x-2=0 一定有解的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) ) D.(3,4)

[解析] ∵f(1)=-1<0,f(2)=lg2>0∴f(x)在(1,2)内必有零点. 5.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额, ①如果不超过 200 元,则不予优惠. ②如果超过 200 元,但不超过 500 元,则按标准价给予 9 折优惠. ③如果超过 500 元,则其 500 元按第②条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优惠. 某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他只去一次购买上述同样的商品,则 应付款是( ) B.513.6 元 C.546.6 元 D.548.7 元

A.413.7 元

423 [解析] 两次购物标价款:168+ =168+470=638(元), 0.9 实际应付款:500×0.9+138×0.7=546.6(元).

A.7/4

B.3

C.3 或 7/4

D.无解

(

7.已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a、b 满足的关系是 )

A.0<a 1<b<1B.0<b<a 1<1C.0<b 1<a<1D.0<a 1<b 1<1 [解析] 令 g(x)=2x+b-1,则函数 g(x)为增函数,又由图象可知,函数 f(x)为增函数, ∴a>1,又当 x=0 时,-1<f(0)<0, - ∴-1<logab<0,∴a 1<b<1,故选 A. 8.一个机器人每一秒钟前进或后退一步,程序设计师让机器人先前进 3 步再后退 2 步 的规律移动, 如果将机器人放在数轴的原点, 面向正的方向以一步的距离为一个单位长度. 令 P(n)表示第 n 秒时机器人所在位置的坐标,且记 P(0)=0,则下列结论中错误的是( ) A.P(3)=3 B.P(5)=1 C.P(2003)>P(2005) D.P(2007)>P(2008) [解析] 机器人程序为前进 3 步、后退 2 步,则 P(3)=3,P(5)=1 均正确,即 5 步等 于前进了一个单位长度, ∴p(2003)=P(2000)+P(3)=403, P(2005)=P(2000)+P(5)=401, ∴P(2003)>P(2005)正确. 又 P(2007)=P(2005)+P(2)=403, P(2008)=P(2005)+P(3)=404, ∴P(2007)>P(2008)错误. 9.已知函数 f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为( )
- - - - -

1 4 B.y=4- C.y=log3(x+1) D.y=x3(x≥0) x+1 [解析] 由于过(1,2)点,排除 C、D;由图象与直线 y=4 无限接近,但到达不了,即 y <4 知排除 A,∴选 B. 10.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表.

A.y=2 x

x y

-3 -24

-2 -10

-1 0

0 6

1 8

2 6 )

3 0

4 -10

5 -24

… …

则使 ax2+bx+c>0 成立的 x 的取值范围是(

A.(-10,-1)∪(1+∞)B.(-∞,-1)∪(3+∞)C.(-1,3)D.(0,+∞) [解析] 由表可知 f(x)的两个零点为-1 和 3,当-1<x<3 时 f(x)取正值∴使 ax2+bx +c>0 成立的 x 的取值范围是(-1,3). 11.方程 4x-3×2x+2=0 的根的个数是( A.0 B.1
x x

)

C.2

D.3
x 2

[解析] 由 4 -3×2 +2=0,得(2 ) -3×2x+2=0,解得 2x=2,或 2x=1,∴x=0, 或 x=1. 12. 若方程 mx-x-m=0(m>0, 且 m≠1)有两个不同实数根, 则 m 的取值范围是( A.m>1 B.0<m<1C.m>0 D.m>2 )

[解析] 方程 mx-x-m=0 有两个不同实数根, 等价于函数 y=mx 与 y=x+m 的图象有 两个不同的交点.显然当 m>1 时,如图(1)有两个不同交点当 O<m<1 时,如图(2)有且仅 有一个交点.故选 A. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知 y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令 f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于 f(x)=0 的解叙述正确的是________.

①有三个实根;②x>1 时恰有一实根;③当 0<x<1 时恰有一实根; ④当-1<x<0 时恰有一实根;⑤当 x<-1 时恰有一实根(有且仅有一实根). [解析] f(x)的图象是将函数 y=x(x-1)(x+1)的图象向上平移 0.01 个单位得到. 故 f(x) 1 1 的图象与 x 轴有三个交点,它们分别在区间(-∞,-1),(0, )和( ,1)内,只有①⑤正确. 2 2 14.某工程由 A、B、C、D 四道工序完成,完成它们需用的时间依次 2、5、x、4 天, 四道工序的先后顺序及相互关系是:A、B 可以同时开工;A 完成后,C 可以开工;B、C 完 成后,D 可以开工,若完成该工程总时间数为 9 天,则完成工序 C 需要的天数 x 最大为 ________.

[解析] 如图, 设工程所用总天数为 f(x),则由题意得:当 x≤3 时,f(x)=5+4=9,
?9 x≤3 ? 当 x>3 时,f(x)=2+x+4=6+x,∴f(x)=? , ? ?6+x x>3

∵工程所用总天数 f(x)=9,∴x≤3,∴x 最大值为 3. 15.已知抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+1 交于两点,其中一点坐标为(1,4),则另一个点 的坐标为______.
?a×12=4 ?a=4 ?y=4x2 ? ? ? 由条件知? ∴? 由? 得, ? ? ? ?k+1=4 ?k=3 ?y=3x+1

[解析]

?y=-4 ? 1 ?y=4

1
?x=1 ? 或? . ? ?y=4

x ? ?3 (x≤0) 1 16.已知函数 f(x)=? ,则方程 f(x)= 的解为________. 3 ?log9x(x>0) ?

1 1 ? ? ?3x=3 ?log9x=3 3 [解析] 由条件知? 或? ∴x=-1 或 x= 9 ?x≤0 ?x>0 ? ? 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1 17.(本题满分 12 分)方程 x2- =0 在(-∞,0)内是否存在实数解?并说明理由. x 1 [解析] 不存在,因为当 x<0 时,- >0 x 1 1 ∴x2- >0 恒成立,故不存在 x∈(-∞,0),使 x2- =0. x x 18.(本题满分 12 分)北京市的一家报刊摊点,从报社买进《北京日报》的价格是每份 0.20 元,卖出的价格是每份 0.30 元,卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元的价格退回报社.在 一个月(30 天计算)里,有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每天 从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最 大?并计算他一个月最多可赚得多少元? [解析] 设每天从报社买进 x 份报纸,每月获得的总利润为 y 元,则依题意有 y=0.10(20x+10×250)-0.15×10(x-250)=0.5x+625,x∈[250,400]. 该函数在[250,400]上单调递增,所以 x=400 时,ymax=825(元). 答:摊主每天从报社买进 400 份时,每月所获得的利润最大,最大利润为 825 元. 19.(本题满分 12 分)电信局为了配合客户不同需要,设有 A、B 两种优惠方案,这两种 方案应付电话费 ( 元 ) 与通话时间 ( 分钟 ) 之间的关系,如下图所示 ( 实线部分 ) . ( 注:图中 MN∥CD.)试问:

(1)若通话时间为 2 小时,按方案 A、B 各付话费多少元? (2)方案 B 从 500 分钟以后,每分钟收费多少元? (3)通话时间在什么范围内,方案 B 才会比方案 A 优惠.

[解析] 由图知 M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN∥CD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为 fA(x)、fB(x),则 98 0≤x≤60, 168 0≤x≤500, ? ? ? ? fA(x)=? 3 fB(x)=? 3 x+80 x>60. ? ? ?10 ?10x+18 x>500. (1)通话 2 小时两种方案的话费分别为 116 元、168 元. 3 3 3 (2)因为 fB(n+1)-fB(n)(n>500)= (n+1)+18- n-18= =0.3(元). 10 10 10 ∴方案 B 从 500 分钟以后,每分钟收费 0.3 元. (3)由图知,当 0≤x≤60 时,fA(x)<fB(x), 880 当 x>500 时,fA(x)>fB(x),∴当 60<x≤500 时,由 fA(x)>fB(x),得 x> , 3 880 即当通话时间在( ,+∞)内时,方案 B 较 A 优惠. 3 20.(本题满分 12 分)若关于 x 的方程 x2-2ax+2+a=0 有两个不相等的实根,求分别 满足下列条件的 a 的取值范围. (1)方程两根都大于 1;(2)方程一根大于 1,另一根小于 1. [解析] 设 f(x)=x2-2ax+2+a(1)∵两根都大于 1, Δ=4a -4(2+a)>0 ? ? ∴?a>1 ,解得 2<a<3. ? ?f(1)=3-a>0 (2)∵方程一根大于 1,一根小于 1,∴f(1)<0 ∴a>3. 21.(本题满分 12 分)某化工厂生产的一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%. 1 若初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 ,问至少应过滤几次才能使产品达到市 3 场要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)
2

1 lg 20 2 1+lg2 2 ?2?n 1 1 [解析] 设过滤 n 次,则 · ≤ 即? ?n≤ ,∴n≥ = ≈7.4 100 ?3? 1 000 ?3? 20 2 lg3-lg2 lg 3 又∵n∈N,∴n≥8,即至少要过滤 8 次才能达到市场要求. 22.(本题满分 14 分)若二次函数 y=-x2+mx-1 的图象与两端点为 A(0,3)、B(3,0)的线 段 AB 有两个不同的交点,求 m 的取值范围. [分析] 先求出线段 AB 的方程,之后将图象交点问题转化为方程组解的问题,再将方 程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题,最后通过不等式组求得 m 取值范围. [解析] 线段 AB 的方程为 x+y=3, 由题意得方程组?
?x+y=3(0≤x≤3) ? ?y=-x +mx-1 ?
2

① ②

在[0,3]上有两组实数解.

将①代入②得 x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3),此方程有两个不同的实数根. 令 f(x)=x2-(m+1)x+4.则二次函数 f(x)在 x∈[0,3]上有两个实根,故有:

? 1 ?0<m+ <3, 2 ?f(0)=4>0, ? ?f(3)=9-3(m+1)+4≥0,

Δ=(m+1)2-16>0,

10 10 解得 3<m≤ .故 m 的取值范围是(3, ]. 3 3

[点评] 本题可能会出现下面的错解,令 f(x)=-x2+mx-1. ∵f(0)=-1<0,f(x)的图象开口向下,线段 AB?x+y=3(0≤x≤3) 如图,要使 f(x)的图象与线段 AB 有两个不同交点应满足.

? ?f(m)>3-m 2 ? 2 m ? ?0< 2 <3

f(3)≤0

? ?m≤ 3 ,∴? m<- 17-1或m> ? ?0<m<6

10

17-1

,∴无解.

错因是顶点在线段 AB 的上方与抛物线与线段 AB 有两个交点不等价.



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