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第一章 计数原理综合检测(北师大版选修2-3)



第一章
一、选择题

计数原理综合检测

1.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”,其中“9”可当“6”用, 则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( A.6 【解析】 B.12 C.18 D.24 )

先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有 C2 3种

填法,再排另两张卡片有 A2 2种排法,再决定用数字“9”还是“6”,
2 有 2 种可能,所以共可排成 2C2 · A 3 2=12 个四位数,故选 B.
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2.已知集合 A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9}.现在从这三个 集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成 一个含有两个元素的集合,则一共可以组成集合( A.24 个 B.36 个 C.26 个 D.27 个 )

1 1 1 1 1 【解析】 先分类再分步完成此事,共有 C1 C + C C + C 4 3 4 2 3C2

=26 个集合. 【答案】 C

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3.五人排成一排,甲与乙不相邻,且甲与丙也不相邻的不同排法 有( ) A.60 种 C.36 种 B.48 种 D.24 种

【解析】 第一步,先排乙丙之外的 3 人,有 A3 3种排法;第 二步,乙与甲不相邻插入队中有 2 种排法;第三步,丙与甲不相 邻插入队中有 3 种排法.根据乘法计数原理共有 A3 3×2×3=36 种不同排法. 【答案】 C
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1? ?? ? 6 ??x- ? ? ,x<0, x ? 4.(2013· 陕西高考)设函数 f(x)=?? ? ?- x,x≥0, f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( A.-20 C.-15 【解析】 B.20 D.15 16 ? ??x- ? ,x<0, x ∵f(x)=? ? ?- x,x≥0, )

则当 x>0 时,

∴当 x>0 时,f(x)=- x<0,
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∴f[f(x)]=f(-

? x)=? ?- ?

? 1? 1? ?6 ? 6 x+ ? =? x- ? , x? ? x? ?

∴展开式中常数项为 【答案】 A

C3 6(

1? 3 3 x) ?- ? =- C 6=-20. ? x ? ?
3?

?

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5. 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成, 其中 4 个数字互不相同的牌照号码共有(
2 4 A.(C1 ) 26 A10个 2 4 C.(C1 ) 10 个 26 4 B.A2 A 26 10个 4 D.A2 10 个 26

)

【解析】 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个
2 4 数字组成,其中 4 个数字互不相同的牌照号码共有(C1 ) 26 A10个.

【答案】 A

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6.AB 和 CD 为平面内两条相交直线,AB 上有 m 个点,CD 上有 n 个点,且两直线上各有一个点与交点重合,则以这 m+n -1 个点为顶点的三角形的个数是(
2 1 2 A.C1 C + C m n nC m 2 1 2 C.C1 C + C m-1 n nCm

)

2 1 2 B.C1 C + C C - m n n 1 m 2 1 2 D.C1 C + C C m-1 n n-1 m-1

【解析】 在一条直线上取 2 个点时,另一点一定在另一条
1 直线上,且不能是交点.当在 AB 上取 2 个点时有 C2 C - m 1 n-1个三 1 1 2 1 2 角形; 当在 CD 上取 2 个点时, 有 C2 C . 共有 C C + C C n m -1 m-1 n n-1 m-1.

【答案】 D
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7. (2013· 大纲全国卷)(1+x)8(1+y)4 的展开式中 x2y2 的系数是 ( ) A.56 C.112 B.84 D.168

【解析】 利用二项展开式的通项公式写出(1+x)8(1+y)4 的 通项,从而确定 x2y2 的系数.
k 4 t t 8 因为(1+x)8 的通项为 Ck x , (1 + y ) 的通项为 C y , 故 (1 + x ) (1 8 4 t k t 2 2 2 2 +y)4 的通项为 Ck C x y . 令 k = 2 , t = 2 , 得 x y 的系数为 C 8 4 8C4=168.

【答案】 D
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8.(2012· 辽宁高考)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家 人坐在一起,则不同的坐法种数为( A.3×3! C.(3!)4 B.3×(3!)3 D.9! )

【解析】 完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭 的相对位置,有 A3 3种排法;第二步排列每个家庭中的三个成员,
3 3 3 3 3 共有 A3 A A 种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有 A 3 3 3 3A3A3

A3 3.故选 C. 【答案】 C
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? 1 ? ? ?n 9.(2013· 辽宁高考)使?3x+ ? (n∈N+)的展开式中含有常数 x x ? ?

项的最小的 n 为( A.4 C.6 【解析】

) B.5 D.7

? 1 ? ? ? r n-r? r r n-r C Tr+1=Cn(3x) ?x x? = n3 ?

,当 Tr+1 是常数

5 项时,n-2r=0,当 r=2,n=5 时成立. 【答案】 B 10.若 x∈R;n∈N+,定义 Mn x =x(x+1)(x+2)…(x+n-1),
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例如 M5 则函数 f(x)=xM19 -5=(-5)(-4)(-3)(-2)(-1)=-120, x-9 的奇偶性为( )

A.是偶函数而不是奇函数 B.是奇函数而不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 【解析】 由题意知 f(x)=x(x-9)(x-8)…(x-9+19-1) =x2(x2-1)(x2-4)…(x2-81), 故为偶函数而不是奇函数.
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二、填空题 a0+a2+a4 11 .设 (2 - x) = a0 + a1x + a2x +…+ a5x ,则 的值为 a1+a3+a5
5 2 5

________. 【解析】 令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a5=1, ① 令 x=-1,得 a0-a1+a2-…-a5=35=243, ② ①+②,得 2(a0+a2+a4)=244,∴a0+a2+a4=122,∴a1 +a3+a5=-121, a0+a2+a4 122 ∴ =-121. a1+a3+a5
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12.如图所示为一电路图,若只闭合一条线路,从 A 到 B 共有

________条不同的线路可通电. 【解析】 ∵按上、中、下三条线路可分为三类,上线路中 有 3 种,中线路中有一种,下线路中有 2×2=4 种.根据分类加 法计数原理,共有 3+1+4=8 种不同的线路. 【答案】 8
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? 13 . (2013· 天津高考 ) ? ?x- ?

1? ?6 的二项展开式中的常数项为 x? ?

________. 【解析】 =(-1) 15. 【答案】 15
r

? ? ?x- ?

? 1 ? 1? ? ? ? -r 6 r r 6 ? 的展开式通项为 Tr+1=(-1) C6x ? ?r x? ? x?

Cr 6

3 r,令 6-2r=0,解得 r=4,故常数项为(-1)4C4 6=

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14. 今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球, 同色球不加以区分, 将这 9 个球排成一列有________种不同的方法.(用数字作答) 【解析】 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一
2 3 个组合问题,共有 C4 · C C3=1 260 种不同的排法. 9 5·

【答案】 1 260

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15.(2013· 北京高考)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全 部分给 4 人, 每人至少 1 张, 如果分给同一人的 2 张参观券连号, 那么不同的分法种数是________. 【解析】 先分组后用分配法求解,5 张参观券分为 4 组, 其中 2 个连号的有 4 种分法,每一种分法中的排列方法有 A4 4种, 因此共有不同的分法 4A4 4=4×24=96(种). 【答案】 96

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三、解答题 16. (1)求(x- 3)10 的展开式中 x6 的系数; (2)求(1+x)2· (1-x)5 的展开式中 x3 的系数. 【解】 (1)(x- 3)10 的展开式的通项是 Tr+1 3)r.令 10-r=6,解得 r=4.

r 10-r =C10x (-

10-4 4 4 6 则含 x6 的项为第 5 项,即 T5=C4 x ( - 3) = 9C 10 10x .

所以 x6 的系数应为 9C4 10=1 890. (2)∵(1+x)2 的通项为 Tr+1=Cr xr, 2·
k (1-x)5 的通项为 Tk+1=(-1)k· Ck x 5 ,
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其中 r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5}, 令 k+r=3,则有 k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.
1 1 2 0 3 ∴x3 的系数为-C2 C + C C - C 2 5 2 5 2C5=5.

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17. (1)3 人坐在有八个座位的一排上,若每人的左右两边都要有 空位,则不同坐法的种数有几种? (2)有 5 个人并排站成一排,若甲必须在乙的右边,则不同的 排法有多少种? (3)现有 10 个保送上大学的名额,分配给 7 所学校,每校至 少 1 个名额,问名额分配的方法共有多少种? 【解】 (1)由题意知有 5 个座位都是空的,我们把 3 个人看 成是坐在座位上的人,往 5 个空座的空档插,由于 5 个空座之间 有 4 个空,3 个人去插,共有 A3 4=24(种).
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1 5 (2)2A5=60(种). (3)每个学校至少一个名额,则分去了 7 个,余下 3 个名额分 到 7 所学校的方法种数就是要求的分配方法种数分三类: 第一类,3 个名额分到一所学校有 7 种方法; 第二类,3 个名额分到 2 所学校有 C2 7×2=42(种); 第三类,3 个名额分到 3 所学校有 C3 7=35(种). 共有 7+42+35=84 种.

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18. (本小题满分 12 分)有 6 个球, 其中 3 个一样的黑球, 红、 白、蓝球各 1 个,现从中取出 4 个球排成一列,共有多少种不同 的排法? 【解】 分三类: (1)若取 1 个黑球,和另三个球排 4 个位置,不同的排法为 A4 4=24;

(2)若取 2 个黑球,从另三个球中选 2 个排 4 个位置,2 个黑
2 球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为 C2 3A4

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=36; (3)若取 3 个黑球,从另三个球中选 1 个排 4 个位置,3 个黑
1 球是相同的,自动进入,不需要排列,即不同的排法种数为 C1 A 3 4

=12. 综上,不同的排法种数为 24+36+12=72.

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19.(本小题满分 13 分)α、β 是两个平行平面,在 α 内取 4 个点,在 β 内取 5 个点. (1)这些点最多能确定几条直线?几个平面? (2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥? 【解】 (1)在 9 个点中,除了 α 内 4 点共面和 β 内的五点共 面外,其余任意四点不共面且任意三点不共线时,所确定的平面 和直线才最多,此时,最多能确定直线 C2 9=36 条,又因为三个不
1 1 2 共线的三点确定这一个平面,故最多确定 C2 C + C 4 5 4C5+2=72 个

平面.
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(2)同理,在其余任意四点不共面且任意三点不共线时,所作
1 2 2 1 3 三棱锥才最多,个数为 C3 4C5+C4C5+C4C5=120.

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20. (本小题满分 13 分)有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡 片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片, 从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10, 则不同的排法共有多少种? 【解】 取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10,共有 3 种情 况:1144,2233,1234. 所取卡片是 1144 的共有 A4 4种排法; 所取卡片是 2233 的共有 A4 4种排法; 所取卡片是 1234,则其中卡片颜色可为无红色,1 张红色,2
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张红色,3 张红色,全是红色 5 种情况.
1 4 3 4 4 共有排法 A4 A4+C2 A4 A4+A4 4+C4· 4· 4+C4· 4=16A4种.

所以共有 18A4 4=432 种排法.

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21. (本小题满分 13 分)已知(x+ )n 的展开式中前三项的系 2 x 数成等差数列. (1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项. 【解】 (1)由题意,得 1 1 0 2 Cn+ ×Cn=2× ×C1 n, 4 2

1

即 n2-9n+8=0,解得 n=8,n=1(舍去).

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1 r+1 ? ? 1rCr 8≥ r+1C8 , 2 ?2 (2)设第 r+1 项的系数最大,则? 1 r-1 ?1 r rC8≥ r-1C8 . ? 2 2 ?
? ? 1 ≥ 1 , ?8-r 2?r+1? 即? 1 ?1 ≥ . ? 2 r 9 - r ?

解得 r=2 或 r=3.

所以系数最大的项为 T3=7x5,T4= .

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