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第二章基本初等函数、导数及其应用第2课时



第二章

基本初等函数、导数及其应用

第2课时 函数的定义域与值域

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

教材回扣夯实双基
基础梳理

1.函数的定义域分为“自然定义域”
和“实际定义域”两种,如果给

定函

数的解析式 ( 不注明定义域 ) ,其定义
域应指的是:该解析式有意义的 自变量 的取值范围(称为自然定义 _________
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基本初等函数、导数及其应用

域);如果函数是由实际问题确定的, 这时还要根据自变量的实际意义进一

步确定其取值范围.
2.在函数概念的三要素中,值域是由 对应关系 所确定的,因 ________ 定义域 和 __________ 此,在研究函数值域时,既要重视对 应关系的作用,又要特别注意定义域 对值域的制约作用.
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基本初等函数、导数及其应用

课前热身
1 1.(2011· 高考广东卷)函数 f(x)= + 1-x lg(1+x)的定义域是( ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)

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基本初等函数、导数及其应用

解析:选 C.要使函数有意义,必须满足
?1-x≠0 ? ,解得 x>-1 且 x≠-1,所 ?1+x>0

以所求定义域为{x|x>-1 且 x≠1}.

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基本初等函数、导数及其应用

2.下表表示y是x的函数,则函数的值
域是( )

5≤x<1 10≤x<1 15≤x≤ x 0<x<5 0 5 20 y 2 3 4 5

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基本初等函数、导数及其应用

A.[2,5]

B.N

C.(0,20]

D.{2,3,4,5}

解析:选D.函数值只有四个数2、3、 4、5,故值域为{2,3,4,5}.

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1 3 . 函 数 f(x ) = 2 (x ∈ R) 的 值 域 是 1+x ( ) B.[0,1) D.(0,1)

A.[0,1] C.(0,1]

答案:C

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4. (2012· 三明调研 )若 x有意义,则函 数 y=x2+3x-5 的值域是________.
解析:∵ x有意义,∴x≥0,
? ? 3 9 ? ?2 2 y=x +3x-5=?x+ ? - -5, 2? 4 ?

∴当 x=0 时,ymin=-5.

答案:[-5,+∞)

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5.函数y=log3(9-x2)的定义域为A, 值域为B,则A∩B=________. 答案:(-3,2]

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考点探究讲练互动
考点突破
求具体函数的定义域
(1) 给定函数的解析式,求函数的定义域
的依据是基本代数式的意义,如:①若 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R;②分式的分母不等于零;③偶次根

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式的被开方数为非负数,④零指数幂或 负指数幂,则底数不为零,⑤指数函数 与对数函数的底数为不等于 1 的正数; ⑥对数的真数必须大于零;⑦三角函数 y=sinx 与 y=cosx 的定义域为 R,y= tanx 的 定 义 域 为
? ? ? π ? ?xx∈ R且 x≠ + kπ, k∈ Z ?; ? ? 2 ? ?

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⑧若f(x)表示一个实际应用问题,还要 考虑实际意义的限制. (2)求定义域的步骤:①写出使函数有 意义的不等式(组);②解不等式(组); ③写出函数定义域.

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基本初等函数、导数及其应用

例1

?x+1?0 (1)求函数 y= 的定义域; |x|-x

ln?x+1? (2)求函数 y= 的定义域. 2 -x -3x+4
【思路分析】 列不等式组 → 写出定义域 → 解不等式组

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

?x+1≠0 (1)依题意有? ,解得 ?|x|-x>0

x<0 且 x≠-1, 故定义域是{x|x<0 且 x≠ -1}. (2) 要 使 函 数 有 意 义 , 应 有
?x+1>0 ? , 2 ?-x -3x+4>0

解得-1<x<1,故函数定义域是(-1,1),
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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

在解题时应注意:(1)

在解不等式组时要细心,取交集时常
借助数轴;(2)端点值或边界值能否取

到;(3)定义域要用区间或集合的形式
写出.

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基本初等函数、导数及其应用

求抽象(复合)函数的定 义域
求复合函数定义域, (1) 若已知函数

f(x) 的定义域为 [a.b], 其复合函数 f(g(x))
的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出 .(2)

若已知函数 f(g(x)) 的定义域为 [a.b]. 则
f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.

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基本初等函数、导数及其应用

例2

(1) 若 函 数 y = f(x) 的 定 义 域 是

f?2x? [1,3],则函数 g(x)= 的定义域; x-1
?x? ?2? 2+ x ? ? ? (2)若 f(x)=lg , 求函数 g(x)=f?2?+f? ? ? 2- x ? ? ?x?

的定义域.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】 (1) 1≤x≤3 ―→ 1≤2x≤3 ―→

g?x?的定义域 (2)要求复合函数
?x? ?2? ? ? ? f?2?+f? ? ?的定义域,应 ? ? ?x?

先求 f(x)的定义域.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】 (1)因为 f(x)的定义域为[1,3],所
?1 ? ?1≤2x≤3 ? , 1 以对 g(x),? ,故 x∈? ? ?∪ 2 ? ? ?x-1≠0 ? 3? ? ? ?1, ?. 2? ?

2+x (2)由 >0 得,f(x)的定义域为-2<x 2-x <2,

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基本初等函数、导数及其应用

? ?-2<x<2, ? 2 故? 2 ? -2<x<2 ? ?

,解得 x∈(-4,-

1)∪(1,4). 故 g(x)的定义域为(-4,-1)∪(1,4).

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

有解析式的函数的定

义域是使解析式有意义的自变量的取

值范围,往往列不等式组求解.对于
抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作

f(x)中的x来对待.

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基本初等函数、导数及其应用

求已知函数的值域
(1) 值域的描述:在函数 y = f(x) 中,与 自变量 x 的值相对应的 y 值叫做函数值 , 函数值的集合叫做函数的值域.它是 由函数的定义域与对应关系确定的.

函数的最值是函数值域的端点值.在
函数的定义域受到限制时,一定要注

意定义域对值域的影响.
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基本初等函数、导数及其应用

(2)基本初等函数的值域 ①y=kx+b(k≠0)的值域是 R. ②y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是: 当 a>0 当 a<0
2? ? ? ? 4 ac - b ?; 时,值域为? y | y ≥ ? 4a ? ? ? 2? ? ? ? 4 ac - b ?. 时,值域为? y | y ≤ ? 4a ? ? ?

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基本初等函数、导数及其应用

k ③y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}. x ④y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是{y|y>0}. ⑤y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R. ⑥ y = sinx , y = cosx 的 值 域 是 {y| - 1≤y≤1}. ⑦y=tanx 的值域是 R.

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基本初等函数、导数及其应用

例3

求下列函数的值域:

x- 3 (1)f(x)= ; x+ 1 1 (2)f(x)= 2; 2+x-x (3)f(x)=x- 1-2x.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

根据各个函数解析式

的特点,分别选用不同的方法求解,
(1)用分离常数法;(2)用配方法;(3)用

换元法或单调性法.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

x-3 (1)( 分离常数法 )f(x) = = x+1

x+1-4 4 =1- . x+ 1 x+1 4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}.

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基本初等函数、导数及其应用

(2)(配方法)由于 2+x-x

2

? 1? 9 ? ?2 =-?x-2? + 4 ? ?

? 1? 9 9 ? ?2 ≤ ,此时有三种情况,若-?x-2? + 4 4 ? ?

<0,则

? 1? 9 ? ?2 y<0;若-?x-2? + =0,则 4 ? ? ? 1? 9 9 ? ?2 0<-?x-2? + ≤ , 4 4 ? ?

y

无意义;若

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1 4 则 y= ? ≥ . ? 1?2 9 9 ? -?x- ? + 2? 4 ? 4 ∴函数的值域为(-∞,0)∪[ ,+∞). 9 (3)法一:(换元法)令 1-2x=t,则 t≥0 1-t2 1-t2 1 且 x= ,于是 y= -t=- (t+ 2 2 2 1 2 1) +1,由于 t≥0,所以 y≤ ,故函数 2 1 的值域是{y|y≤ }. 2
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基本初等函数、导数及其应用

法二: (单调性法)容易判断 f(x)为增函 数,而其定义域应满足 1- 2x≥0,即
?1? 1 1 ? ? x≤ , 所以 y≤f? ?= , 即函数的值域是 2 2 2 ? ?

1 {y|y≤ }. 2

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

(1)在求函数值域时,

若函数解析式中是分式的形式,且分

子、分母都是一次的,可考虑用分离
常数法;若函数与二次函数有关,可 用配方法;若解析式中含有根式,应 考虑用换元法或单调性法;若解析式 结构与均值不等式有关,可用均值不

等式法求解.

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基本初等函数、导数及其应用

(2) 对 于 含 有 根 式 的 函 数 y = ax + b + dx+e(a,b,d,e 均为常数且 ad≠0), 若 a 与 d 同号,用单调性法求值域较为 简单;当 a 与 d 异号时,一般要用换元 法求值域.

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基本初等函数、导数及其应用

与函数定义域、值域有 关的参数问题
例4

x-7 已知函数 f(x)= 2 的定 ax +4ax+3

3

义域为 R,求 a 的取值范围.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

依题只须在x∈R上f(x)

有意义,即指ax2+4ax+3≠0在R上恒成 立.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】 当 a=0 时,函数定义域为 R. 当 a≠0 时,要使 ax2+4ax+3≠0 对一 切 x∈R 恒成立,其充要条件是 Δ< 0, 3 即 16a -12a<0,所以 0<a< . 4
2

即a

? 3? ? 的取值范围为?0,4? ?. ? ?

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

已知函数的值域求参

数的值或取值范围问题,通常按求函
数值域的方法求出其值域,然后依据

已知信息确定其中参数的值或取值范
围.

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基本初等函数、导数及其应用

方法感悟
方法技巧

求函数值域常用的方法
(1)直接法——从自变量x的范围出发,

推出y=f(x)的取值范围;
(2)二次函数法——利用换元法将函数

转化为二次函数求值域;

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基本初等函数、导数及其应用

(3)判别式法——运用方程思想,依据 二次方程有实根的条件,求出y的取值

范围;
(4)利用函数的单调性;

(5)利用重要不等式——基本不等式求
值域;

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(6)图象法——当一个函数图象可画出时, 通过图象可求其值域; (7)利用函数的导数——当一个函数在定 义域上可导时,可据其导数求值域; (8)数形结合法——利用函数所表示的几 何意义,借助几何方法或图象来求函数 的值域.
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基本初等函数、导数及其应用

失误防范 1.已知函数f(x)的定义域,求函数 f[g(x)]的定义域,此时f(x)的定义域即 为g(x)的值域. 2.涉及实际问题的定义域问题需考 虑问题的实际意义.

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基本初等函数、导数及其应用

3.当解析式中含有参数时,需对参数 进行讨论.求函数值域问题都应首先考 虑函数的定义域,即“定义域优先”.

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基本初等函数、导数及其应用

考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年高考试题分析,对函数的定 义域和值域的考查在高考中经常出现, 多与对数函数结合命题,而对值域的

考查,命题形式较为灵活,有选择、

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基本初等函数、导数及其应用

填空题,多考查初等函数值域,有时 也与函数性质结合,命题多在解答题 中考查,难度稍大. 预测2013年福建高考仍将结合函数性 质等对该部分进行考查,难度不会太 大.

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基本初等函数、导数及其应用

典例透析


(2011· 高 考 江 西 卷 ) 若 f(x) = )

1 , 则 f(x)的定义域为( 1 log ?2x+1? 2 ? ? ? ? 1 1 ? ? ? ? A.?- ,0? B.?- ,0? 2 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? C.?- ,+∞? D.(0,+∞) 2 ? ?

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1 【解析】 根据题意得 log (2x+1)>0, 2 即 0<2x+1<1,解得 A.
【答案】 A
? 1 ? ? ? x∈?-2,0?.故选 ? ?

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

本题难度不大,但考生

很容易犯错误: 一是经常会漏写 2x+ 1>0,二是细讲起来有三重的限制,易漏 更易错; 同学们试求 y= 16-log4x的值 域.

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