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第5课时 三角函数的图象与性质课堂练习



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第 5 课时

三角函数的图象与性质

基础过关题
1.用“五点法”作正弦、余弦函数的图象. “五点法”作图实质上是选取函数的一个 ,将其四等分,分别找到图象的 点, 点及“平衡点”.由这五个点大致确定函数的位置与形状. 2.y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象. 函 数

y=sinx y=cosx y=tanx

图 象

注:⑴ 正弦函数的对称中心为 ,对称轴为 . ⑵ 余弦函数的对称中心为 ,对称轴为 . ⑶ 正切函数的对称中心为 . 3.“五点法”作 y=Asin(ωx+ ? )(ω>0)的图象. 令 x'=ωx+ ? 转化为 y=sinx',作图象用五点法,通过列表、描点后作图象. 4.函数 y=Asin(ωx+ ? )的图象与函数 y=sinx 的图象关系. 振幅变换:y=Asinx(A>0,A≠1)的图象,可以看做是 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标 都 ,(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍(横坐标不变)而得到的. 周期变换:y=sinωx(ω>0,ω≠1)的图象,可以看做是把 y=sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的.由于 y=sinx 周期 为 2π,故 y=sinωx(ω>0)的周期为 . 相位变换: y=sin(x+ ? )( ? ≠0)的图象, 可以看做是把 y=sinx 的图象上各点向 ( ? >0) 或向 ( ? <0)平移 个单位而得到的.

由 y=sinx 的图象得到 y=Asin(ωx+ ? )的图象主要有下列两种方法: y=sinx 或 y=sinx
周期 变换 相位 变换 振幅 变换 相位 变换 周期 变换 振幅 变换

说明:前一种方法第一步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移

个单位.后一种方法

1

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第二步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 例 1.已知函数 y=Asin(ωx+ ? )(A>0,ω>0) ⑴ 若 A=3,ω= , ? =-
1 2

个单位.

? ,作出函数在一个周期内的简图. 3
2 ? ? ,当 x= 时,相位是 ,求 ω 和 ? . ? 24 3

⑵ 若 y 表示一个振动量,其振动频率是

变式训练 1:已知函数 y=2sin (2 x ? ) ,
3

?

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)说明 y=2sin (2 x ? ) 的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到.
3

?

2

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例 2 已知函数 y=3sin ( x ? )
4 1 2

?

(1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

变式训练 2:已知函数 f ( x) ? 3 sin ?xcox?x ? cos2 ?x ? 关于 x ?
?
6

3 2

(? ? R , x ? R ) 的最小正周期为

π 且图象

对称;

(1) 求 f(x)的解析式; (2) 若函数 y=1-f(x)的图象与直线 y=a 在 [0, ] 上中有一个交点,求实数 a 的范围.
2

?

3

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例 3.如图为 y=Asin( ? x+ ? )的图象的一段,求其解析式.

变式训练 3:函数 y=Asin( ? x+ ? )( ? >0,| ? |< (
?
8

? ,x∈R)的部分图象如图,则函数表达式为 2

)
?
4

A. y=-4sin ( x ? ) C. y=4sin ( x ? )
8 4

B. y=-4sin ( x ? )
8 4

?

?

?

?

D. y=4sin ( x ? )
8 4

?

?

例 4.设关于 x 的方程 cos2x+ 3 sin2x=k+1 在[0, 及 k 的取值范围.

? ]内有两不同根 α,β,求 α+β 的值 2

4

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变式训练 4.已知函数 f (x)=sin(ωx+ ? )(ω>0, 0≤ ? ≤π)是 R 上的偶函数, 其图象关于点 M( π, 0)对称,且在区间[0,
? ]上是单调函数,求 ? 和 ω 的值. 2
3 4

总结归纳
1.图象变换的两种途径 ⑴ 先相位变换后周期变换 y=sinx ? y=sin(x+ ? ) ? y=sin(ωx+ ? ) ⑵ 先周期变换后相位变换 y=sinx ? y=sinωx ? y=sinω (x+ ? ) 2.给出图象求解析式 y=Asin(ωx+ ? )+B 的难点在于 ω、 ? 的确定,本质为待定系数法, 基本方法是:⑴ “五点法”运用“五点”中的一点确定. ⑵ 图像变换法,即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由零点或最值点 确定 T→ω.

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