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离散型随机变量的均值与方差(1)



离散型随机变量的均 值与方差( 值与方差(1)

离散型随机变量的均值

复习引入

1、离散型随机变量 、 离散型随机变量的分布列 两点分布、 两点分布、超几何分布 2、条件概率 、 相互独立事件 独立重复试验 二项分布 思考:对于4个选项的选择题 个选项的选择题, 思考:对于 个选项的选择题,如果每题都随 机选答案,则完成100题平均能做对多少题? 题平均能做对多少题? 机选答案,则完成 题平均能做对多少题 设做对题的数目为X, 设做对题的数目为 ,则此题为在二项分布的 概率模型下求随机变量X的均值的问题 的均值的问题。 概率模型下求随机变量 的均值的问题。

新知探究

某商场为满足市场需求要将单价分别为18 某商场为满足市场需求要将单价分别为 元/kg ,24元/kg ,36元/kg的3种糖果按 种糖果按3:2:1的 的 种糖果按 的 比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理? 比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理? 解: 18×1/2+24×1/3+36×1/6 =23元/kg
18+24+36 = 26 可以吗? 可以吗? 定价为 3

思考: 思考:当混合糖果中每一颗糖果的质量都相等 从混合糖中任取一颗, 时,从混合糖中任取一颗,并设这颗糖所属种 类的单价是X元 ,你能写出X的分布列吗 的分布列吗? 类的单价是 元/kg,你能写出 的分布列吗?

新知探究

思考: 思考:当混合糖果中每一颗糖果的质量都相等 从混合糖中任取一颗, 时,从混合糖中任取一颗,并设这颗糖所属种 类的单价是X元 ,你能写出X的分布列吗 的分布列吗? 类的单价是 元/kg,你能写出 的分布列吗?
24 解:随机变量X 可取值为18, 和36 1 1 1 而P( X = 18) = , P( X = 24) = , P( X = 36) = 2 3 6

所以X 分布列 为
x p 18 1/2

24 1/3

36 1/6

18×1/2+24×1/3+36×1/6 × × × =18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36) × × ×

新知探究

离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量 的概率分布为 一般地 若离散型随机变量X的概率分布为 若离散型随机变量
X P

x1 p1

x2 … p2 …

xi pi

… …

xn pn

则称 E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ? + xi pi + ? xn pn 为随机 变量X的均值或数学期望, 变量 的均值或数学期望,它反映了离散型随 机变量取值的平均水平。 机变量取值的平均水平。 思考:已知 来表示E(Y)吗 思考:已知Y=aX+b,能用 ,能用E(X)来表示 来表示 吗

E(aX + b) = aE( X ) + b

随堂演练

1、随机变量ξ的分布列是 、随机变量 的分布列是 ξ 4 7 9 P 0.3 a b 若E(ξ)=7.5,则a= ,

10 0.2 0.4.

0.1 b=

2、一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 个 、一个袋子里装有大小相同的 个红球和2个 黄球,从中同时取 个 黄球,从中同时取2个,则其中含红球个数的 数学期望是 1.2 . 0.

3、若 E(ξ)=4,则E(ξ-E(ξ))= 、 , -

新知探究

篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 分 罚不中得0分 罚不中得 分.已知某运动员罚球命中的概率 为0.7。 。 (1) 他罚球 次的得分 的均值是多少? 他罚球1次的得分 的均值是多少? 次的得分X的均值是多少 解: ( X ) = 1 × 0.7 + 0 × 0.3 = 0.7 E 一般地,如果随机变量X服从两点分布, 一般地,如果随机变量X服从两点分布, 两点分布
X P 1 p 0 1-p -

则:E( X ) = 1× p + 0 × (1? p) =

p

新知探究

篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 分 罚不中得0分 罚不中得 分.已知某运动员罚球命中的概率 为0.7。 。 (1) 他罚球 次的得分 的均值是多少? 他罚球1次的得分 的均值是多少? 次的得分X的均值是多少 (2) 他罚球 次的得分 的均值是多少? 他罚球3次的得分 的均值是多少? 次的得分X的均值是多少 ~ ( , ) 解:∵X~B(3,0.7)

∴ E ( X ) = 0 × 0.3 + 1 × C 0.7 ? 0.3
3 1 3

2

猜想:若X~B(n,p),则E(X)=np 猜想: ~ ( , ),则 ),

+ 2 × C 0.7 ? 0.3 + 3 × 0.7 = 2.1 = 3×0.7 ×
2 3 2

3

随堂演练

1、一次英语单元测验由20个选择题构成,每 、一次英语单元测验由 个选择题构成 个选择题构成, 个选择题有4个选项, 个选择题有 个选项,其中有且只有一个选项 个选项 是正确答案,每题选择正确答案得 分 是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作 出选择或选错不得分,满分 出选择或选错不得分,满分100分,学生甲选 分 对任一题得概率为0.9,学生乙则在测验中对每 对任一题得概率为 , 题都从4个选项中随机地选择一个。 题都从 个选项中随机地选择一个。求学生甲 个选项中随机地选择一个 和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。 和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。

随堂演练

解:设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择 了正确答案的选择题个数分别是ξ和 , 了正确答案的选择题个数分别是 和η,则: ξ~B(20,0.9), η~B(20,0.25), ~ , , ~ , , ∴E(ξ)=20×0.9=18, E(η)=20×0.25=5. = × = , = × = . 由于答对每题得5分 由于答对每题得 分,学生甲和学生乙在这次英 语测验中的成绩分别是5ξ和 。所以, 语测验中的成绩分别是 和5η。所以,他们在 测验中的成绩的均值分别是: 测验中的成绩的均值分别是 E(5ξ)=5E(ξ)=5×18=90, = = × = , E(5η)=5E(η)=5×5=25. = = × = . 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是 学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分 思考 学生甲在这次测试中的成绩一定会是 分 他的均值为90分的含义是什么 吗?他的均值为 分的含义是什么 他的均值为 分的含义是什么?

实际应用

2、根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率 、根据气象预报 某地区近期有小洪水的概率 有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上 为0.25,有大洪水的概率为 有大洪水的概率为 该地区某工地上 有一台大型设备,遇到大洪水时损失 遇到大洪水时损失60000元,遇 有一台大型设备 遇到大洪水时损失 元遇 到小洪水损失10000元.为保护设备 有以下 种 为保护设备,有以下 到小洪水损失 元 为保护设备 有以下3种 方案: 方案 方案1:运走设备 搬运费为3800元; 运走设备,搬运费为 方案 运走设备 搬运费为 元 方案2:建保护围墙 建设费为2000元, 建保护围墙,建设费为 方案 建保护围墙 建设费为 元 但围墙只能防小洪水; 但围墙只能防小洪水 方案3:不采取任何措施 希望不发生洪水. 不采取任何措施,希望不发生洪水 方案 不采取任何措施 希望不发生洪水 试比较哪一种方案好? 试比较哪一种方案好

课堂延伸

1、有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现 、有场赌博,规则如下:如掷一个骰子, 1,你赢 元;出现 或3或4,你输 元;出现 或 ,你赢8元 出现2或 或 ,你输3元 出现5或 6,不输不赢.这场赌博对你是否有利 ,不输不赢.这场赌博对你是否有利?
1 1 1 1 E (ξ ) = × 10 + × ( ?3 ) + × 0 = ? . 6 2 3 6

2、彩球游戏准备一个布袋,内装6个红球与 个 、彩球游戏准备一个布袋,内装 个红球与6个 个红球与 白球,除颜色不同外,六个球完全一样, 白球,除颜色不同外,六个球完全一样,每次从 袋中摸6个球 输赢的规则为: 个球, 袋中摸 个球,输赢的规则为: 6个全红或 个全白 个全红或6个全白 赢得100元 个全红或 个全白——赢得 元; 赢得 远离赌博, 远离赌博, 5红1白或 白1红——赢得 元; 白或5白 红 赢得50元 红 白或 赢得 靠近数学~ 靠近数学~ 4红2白或 白2红——赢得 元 白或4白 红 赢得20元 红 白或 赢得 3红3白——输100元 红 白 输 元

你动心了吗? 你动心了吗?

课堂小结

1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量 若离散型随机变量X的概率分布为 一般地 若离散型随机变量 的概率分布为 x1 x2 … xi … xn X P

p1

p2 …

pi …

pn

则称 E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ? + xi pi + ? xn pn 为随机 变量X的均值或数学期望。 变量 的均值或数学期望。 2、离散型随机变量均值的性质
(1)随机变量均值的线性性质 随机变量均值的线性性质 (2)服从两点分布的均值 服从两点分布的均值 (3)服从二项分布的均值 服从二项分布的均值

E(aX + b) = aE( X ) + b

若ξ~B(1,p),则E(ξ)= p , , 若ξ~B(n,p), 则E(ξ)= np , ,

课后作业

《导与练》第72面 导与练》 72面



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