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逻辑运算 充要条件



逻辑运算与充要条件
● 知点 考点 答点 (1) “非”——逻辑从这里开始 “非”运算比“且”运算、 “或”运算更基础,因为后者涉及两个运算对象(命题 p 和 q) ,而前者只涉及一个运算对象(命题 p) 。 任何一个数学问题,它都是“p”与“非 p”的“并” ,且“p”与“非 p”的“交”为“空” 。 因此, “p”与“非 p”构成一真一假的对立统一。 于是,论证“p

”为真,可以转证“非 p”为假。 【例 1】 A、B 是两个集合,试判断命题 P:A (A∪B)的真假。

【分析】 一般的定义或定理都是“正面”的,这里的命题 P 是个“反面”形式。 如 果将其否定,则成“正面“形式。 【解答】 因为 P:A (A∪B)

则有非 P:A ? (A∪B) 易知非 P 为真,从而知 P 为假。 (答案)

【说明】 逻辑联词中的“非”与日常语言中的非有点不同,后者不管“非的对立面” , 而前者等价于将“对立面”肯定。

(2) “且”与“并”——基本逻辑运算 “p 且 q”的真值表“三真合一” :p 真、q 真,则“p 且 q”真,其他情况为假。 “p 或 q”的真值表“三假合一” :p 假、q 假,则“p 或 q”假,其他情况为真。 【例 2】 a、b 为实数,已知两个真命题

P:a ? {x ? Z| x 2 ? x ? 2 ? 0 }; q:b ? { x ? R| x 2 ? x ? 2 ? 0 }。 当命题“非 p 或非 q”为假时,试用不等式组表示不等式:
(1 ? a) x ? 21b bx2 ? ax ? 1 ? 0.

【分析】 【解答】

问题在于求出 a、b 的值。 可利用“或” “且” “非”的逻辑运算而得。 真命题 p 化简为 P:a ? {0,1}

真命题 q 化简为 q:b ? {-2,1} 由此得假命题 非 p:a ? {0,1},非 q:b ? {-2,1}。 又“非 p 或非 q”为假命题,所以必须且只须非 p 且非 q 为假命题,于是有 a=0 或 1 且 b=-2 或 1。

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所以不等式

(1 ? a) x ? 21b bx2 ? ax ? 1

? 0 有以下四种情况 x ? 42 2x 2 ? 1 ?0

(1)a=0,b= -2 时,
? ? x ? 42 ? 0 ? ?? 2 ? ?2 x ? 1 ? 0

或?

? ? x ? 42 ? 0 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? 0

(2)a=0,b=1 时,
? ? x ? 21 ? 0 ? ?? 2 ? ?x ? 1 ? 0

x ? 21 x2 ?1

?0

或?

? ? x ? 21 ? 0 ? 2 ? ?x ? 1 ? 0

(下略)

【说明】

本题为或、且、非的混合运算: “非 .p 或非 ..q”为假,即非 .p 假且非 ..q 假。

逻辑联词中的“且”与日常语言的“和”不同,后者有“并”的含义,而前者是“交” (公共部分) ;逻辑联词中的“或”与日常语言中的或有点不同,后者有“选”的含义,而 前者是“并” (合成整体) 。

(3)充要条件——等价转换的依据 方程 3x-6=0 的解还是一个方程 x=2;不等式 3x-6>0 的解还是一个不等式 x>2。 所有数学解题,就是把复杂的问题用简单的、等价的问题进行替代。 这种替代的依据 是:它们互为充要条件。 【例 3】 求证:关于 x 的一元二次不等式 x 2 ? px ? q ? 0 的解集只含一元元素的充要 条件是 p 2 ? 4q 。 【分析】 视 p 2 ? 4q 为条件 A,视不等式 x 2 ? px ? q ? 0 的解集只一个元素为结论 B。 按充要条件的定义进行证明。 【解答】
p? 4q ? p 2 p? p 2 ? 4q ? ? x 2 ? px ? q ? ? x ? ? ? ? 0 ? ?x ? ? ? 2? 4 2? 4 ? ?
2 2

证充分性:A ? B 当 p 2 ? 4q 时,不等式化为 ? x ?
? ? p? p ? ? 0 此不等式有唯一解 x= - 。 2? 2
2

证必要性: A ? B
p 若 p 2 ? 4q ,则 p 2 ? 4q ?或?
2

? 4q ? 。

当 p 2 ? 4q ? ,则有 ? x ?

? ?

p? ? ? 0 ,原不等式无解; 2? ? p? p 2 ? 4q 2 ?x? ? p? p 2 ? 4q 2

2

p 当?

2

? 4q ,则原不等式解为

则原不等式的解集不只一个元素。 综上所述: p 2 ? 4q 是 x 2 ? px ? q ? 0 解集只一个元素的充要条件。
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通法 特法 妙法

(1)真值表——判定复合命题的真假 复合命题有三种基本形式: “p 且 q” , “p 或 q” , “非 p” 。 它们的真和假,由 p、q 的 真假经过真值表而确定。 【例 4】 已知复合命题“p 或 q”为真, “非 p”为假,则必有 B.p 真 q 假 C.p 假 q 真 ( )

A.p 真 q 真 【分析】 【解答】

D.p 真,q 可真可假

已知复合命题的真假,判定对应的简单命题的真假。 “逆用”真值表。 “p 或 q”为真的意义是:p 真 q 假,或 p 假 q 真,或 p 真 q 真。

由“非 p”为假而得“p 真” 。 于是否定了“p 假 q 真” ,而肯定了“p 真 q 假”或“p 真 q 真” 。 故答案为 D。 (2) “非 p”法——利用补集求“非” 函数
1 x ?1
2

的值域对应命题 p: “ x 2 ? 1 ? 0 ”为真,即命题“ x ? ?1 ,1”为真。

命题 ? p: “x= -1,1”为假。 的定义域(-x,-1)∪(-1,1)∪(1,0) ,这种利用补集 x ?1 求“非”的办法就是“非 p 法” 。
2

这就得到了函数

1

【例 5】

已知命题 p:存在 x ? R,使 x 2 ? 3x ? 3 ? 0 ,则





A. ? p:存在 x ? R,使 x 2 ? 3x ? 3 ? 0 ,且 ? p 为真 B. ? p:存在 x ? R,使 x 2 ? 3x ? 3 ? 0 ,且 ? p 为假 C. ? p:对任意的 x ? R,都有 x 2 ? 3x ? 3 ? 0 ,且 ? p 为真 D. ? p:对任意的 x ? R,都有 x 2 ? 3x ? 3 ? 0 ,且 ? p 为假 【解答】 这是一个存在性命题,它的否定(非 p)是:

R 中不存在这样的 x,使 x 2 ? 3x ? 3 ? 0 ,或者是:对所有的 x ? R,都有 x 2 ? 3x ? 3 ? 0 为 真。 故答案为 C。 【点评】 这里有命题 p: x 2 ? 3x ? 3 ? 0 为假,则 ? p: x 2 ? 3x ? 3 ? 0 为真,P 对应的 解集为空集。 ? p 对应的解集为空集的补 R。 (3)箭头“ ? ”——将充要条件简化 用推断符号“ ? ”与 连结开语句或命题,可使“陈述语言”简化。 q” 。 q” 。

由 p 真则 q 真用“ ? ”连结,得“p ? q” ;否则(否定) “p

由“p 真则 q 真”且“q 真则 p 真” ,得“p ? q” ;否则(否定) “p
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数学问题作等价转换时,常用符号“ ? ” 。 关于 x 的一元二次方程 x 2 ? kx ? k 2 ? 4 ? 0 有两个正根,求 k 的取值范围。 求 k 的取值范围,即求 k 值的集合。

【例 6】 【分析】

要求 k 值不假不漏。 即求方程有正根的充要条件。 【解答】 方程 x 2 ? kx ? k 2 ? 4 ? 0 的两根 x1、x2 都为正数 ? ? ? k 2 ? 4(k 2 ? 4) ? 0 且 x1+x2=k>0 且 x1 ? x2=k2-4>0
?k 2 ? 4? (k 2 ? 4) ? ? ?k ? 0 ? 2 ?k ? 4 ? 0

? 2?k ?

4 3 3

(答案)

【点评】 本解行文中,没有一处提到“充要条件” ,因其隐化到了符号“ ? ”中。 若 用充要条件的普通语言行文,其答案的篇幅将会翻番,而且还很难表述清楚。

(4)等价法——充要条件的逆用 充要条件能判定等价命题。 反过来,等价命题也能判定充要条件。 例如,原命题与逆否命题等价,逆否命题与原命题之间,可互相用作充要条件。 已知 p:x ? 2 或 y ? 3;q:x+y ? 5。 判断 p 是 q 的什么条件。

【例 7】

【分析】 p、q 都为“否”的形式,难寻直接证据。 转化为等价的逆否形式:非 q: x+y=5 是非 p:x=2 且 y=3 的什么条件? 【解答】 因为 x=2,y=3 时,有 x+y=5。 即 ? p ? ? q 。
?p 。

但由 x+y=5 推不出 x=2 且 y=3,即 ?q

故 ? p 是 ?q 的充分不必要条件即 q 是 p 的充分不必要条件。 从而知 p 是 q 的必要不充 分条件

(5)反证法——原命题等价转换成逆否命题 否定之否定等于肯定,第一个否定的是原结论;第二个否定的是假设。 既然假设被否, 即是原结论被肯定,从而得证——这就是反证法原理。 反证法导出矛盾一环,分为三种情况: 一、 ? p 为真——与已知矛盾 二、q 为真——与假设矛盾 三、恒假设命题——与公理、定理、公式、法则等一切已知结论矛盾。

【例 8】

已知 a1a2=2(b1+b2)求证:关于 x 的一元二次方程
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(Ⅰ) x 2 ? a1 x ? b1 ? 0 与(Ⅱ) x 2 ? a2 x ? b2 ? 0 中,至少有一个方程有实根。 【分析】 原命题即: (Ⅰ)有实根而(Ⅱ)没有,或(Ⅰ)没有实根而(Ⅱ)有,或 (Ⅰ)和(Ⅱ)都有实根。 这三种情况不仅复杂,而且难证。 考虑证它的迸否命题:若(Ⅰ) , (Ⅱ)都无实根,则 a1a2 ? 2(b1+b2) 。 【证明】
2 ? ?a1 ? 4b1 ? 2 ? ?a 2 ? 4b2
2 2 ? a1 ? a2 ? 4(b1 ? b2 ) ? 2a1a2 ? (a1 ? a2 ) 2 ? 0? .? ? a1a2 ? 2(b1 ? b2 ).

假设方程(Ⅰ) , (Ⅱ)都无实根,则有

这与已知条件矛盾。 故假设不成立,原结论正确。 【点评】 至多(或至少)问题,都是(都不是)问题,不超过(都超过)问题等等, 它们都是反证法的拿手好戏。

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