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2016年高二数学课件:3.2.1《一元二次不等式的解法》(北师大版必修五)



§ 2 一元二次不等式

2 .1

一元二次不等式的解法

知识能力目标引航 1.理解一元二次不等式与一元二次函数、 一元二次方程的关系,能借 助二次函数的图像解一元二次不等式. 2.对给定的一元二次不等式,能设计求解的程序框图.

1.一元二次不等式
含有一个未知数,并且未知数的

最高次数是 2 的不等式,称为一 元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫这个一元二 次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元 二次不等式的解集.

2.一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集如下表: 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2} ? 有两相等实根 x1=x2=-2 | ≠ 2 没有实数根 R ? Δ<0

【做一做 1】不等式 x2<3x 的解集为( A.{x|x>3} B.{x|x<0 或 x>3} C.R D.{x|0<x<3} 答案:D

).

【做一做 2】不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( A. x|x ≠
1 1 -3

).

B. x|- 3 ≤ x ≤ 3 C.? D.
1 3 1

1

解析:Δ=0,则方程 9x2+6x+1=0 的根为 x1=x2=-3,所以原不等式的 解集为 - 3 . 答案:D

1

用二次函数的图像解一元二次不等式
剖析:我们知道以自变量的取值为横坐标,对应的函数值作为纵 坐标,在平面直角坐标系中描出所有的点,这些点就构成了函数的图 像.因此函数图像上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值,纵坐 标是对应的函数值.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像上的点的坐标的 意义也是一样.由于位于 x 轴上方的点的纵坐标大于 0,位于 x 轴上的 点的纵坐标等于 0,位于 x 轴下方的点的纵坐标小于 0,所以二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像上位于 x 轴上方的点的横坐标的取值范围是 不等式 f(x)=ax2+bx+c>0 的解集,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像上位 于 x 轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式 f(x)=ax2+bx+c<0 的 解集.所以可以用二次函数的图像解一元二次不等式.当然,对于任意 函数 y=f(x),只要能画出它的图像,那么就可以解不等式 f(x)>0 或 f(x)<0.

题型一

解一元二次不等式

【例 1】求下列不等式的解集: (1)2x2+7x+4>0; (2)-x2+8x-3>0. 分析:求出对应的一元二次方程的根,结合对应的二次函数图像写出 解集.

解:(1)因为 Δ=72-4× 2× 4>0,所以方程 2x2+7x+4=0 有两个实数根
-7- 17 -7+ 17 x1= 4 ,x2= 4 .

二次函数 y=2x2+7x+4 的图像如图所示.

所以原不等式的解集为 x|x >
-7+ 17 或 4

x<

-7- 17 4

.

(2)原不等式可化为 x2-8x+3<0. 因为 Δ=(-8)2-4× 1× 3>0,所以方程 x2-8x+3=0 有两个实数根 x1=4- 13,x2=4+ 13. 二次函数 y=x2-8x+3 的图像如图所示,

所以原不等式的解集为{x|4- 13<x<4+ 13}.

解一元二次不等式,当二次项系数为负时,通常化为二次项系数 为正的情形.正确计算判别式“Δ”的值,解出方程的根,画出相应二次 函数的图像是解一元二次不等式的关键.

题型二

解含参数的一元二次不等式

【例 2】解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0(a∈R). 分析:含参数的一元二次不等式的解法,首先应对二次项系数进行讨 论,然后再比较两根的大小写出解集.

解:若 a=0,原不等式可化为-x+1<0,解得 x>1.此时不等式的解集为 {x|x>1}. 若 a<0,原不等式可化为 x- a (x-1)>0,解得 x<a,或 x>1,∴不等式 1 的解集为 x|x < a 或 x > 1 . 若 a>0,原不等式可化为
1 其解的情况应由a与 1 xa 1 1

(x-1)<0.(*)

1 的大小关系决定,故
1 a

(1)当 a=1 时,式(*)的解集为?; (2)当 a>1 时,式(*)的解集为 x| < < 1 ; (3)当 0<a<1 时,式(*)的解集为 x|1 < <
1 a

.

综上所述:当 a<0 时,解集为 x|x < a 或 x > 1 ; 当 a=0 时,解集为{x|x>1}; 当 0<a<1 时,解集为 x|1 < < 当 a=1 时,解集为?; 当 a>1 时,解集为 x| < < 1 .
1 a 1 a

1

;

解含参数的一元二次不等式要注意: (1)当二次项系数不确定时,要分等于零、大于零、小于零三种情况 进行讨论. (2)判别式大于零时,只需讨论两根的大小. (3)判别式不确定时,要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况 进行讨论.

题型三

恒成立问题

【例 3】 当 a 为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集是全体实数? 2 2 a 分析:解答本题应先考虑 a -1=0 的情形,然后按 -1 < 0,求解. Δ<0 2 解:(1)当 a -1=0,即 a=± 1 时, 若 a=1,则原不等式为-1<0,恒成立. 若 a=-1,则原不等式为 2x-1<0, 即
1 x< ,不符合题目要求,舍去. 2

(2)当 a2-1≠0,即 a≠± 1 时,原不等式的解集为 R 的条件是 a2 -1 < 0, Δ = (a-1)2 + 4(a2 -1) < 0, 3 解得-5<a<1. 综上所述,当-5<a≤1 时,原不等式的解集为全体实数.
3

(1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是 a > 0, 当 a=0 时,b=0,c>0;当 a≠0 时, Δ < 0. 2 (2)不等式 ax +bx+c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c<0; a < 0, 当 a≠0 时, Δ < 0. 类似地,还有 f(x)≤a 恒成立?[f(x)]max≤a;f(x)≥a 恒成立?[f(x)]min≥a.

1.不等式-x2-x+2≥0 的解集是( A.{x|x≤-2,或 x≥1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2≤x≤1} D.? 解析:-x2-x+2≥0, 即 x2+x-2≤0,(x+2)(x-1)≤0. ∴-2≤x≤1. 答案:C

).

2.不等式 2x2-x-1>0 的解集是( A. - ,1 B.(1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.
1 -∞,- 2 1 2

).

∪(1,+∞)
1

解析:由不等式 2x2-x-1>0,得(2x+1)(x-1)>0,所以 x>1 或 x<-2,故选 D 项. 答案:D

3.设集合 A={x|2≤x≤4},B={x|x2-4x+3≤0},则 A∩B= 答案:{x|2≤x≤3}

.

4.解关于 x 的不等式:2x2+ax+2>0(a∈R). 解:Δ=a2-16. (1)当 Δ<0,即-4<a<4 时,不等式的解集为 R; (2)当 Δ≥0,即 a≥4 或 a≤-4 时,方程 2x2+ax+2=0 的两根为 x1= (-a- a2 -16),x2= (-a+ a2 -16). 当 a=4 或-4 时,不等式的解集为{x|x≠± 1,且 x∈R}; 当 a>4 或 a<-4 时,不等式的解集为 x|x < 4 (-a- a2 -16)或 x > 4 (-a + a2 -16) .
1 1 1 4 1 4

1.当 x∈R 时,不等式 x2+mx+ >0 恒成立的条件是( 2 A.m>2 B.m<2 C.m<0 或 m>2 D.0<m<2 解析:由数形结合可知 Δ=m2-2m<0,解得 0<m<2. 答案:D

m

).

2.已知集合 A={x|x2-a2≤0,a>0},B={x|x2-3x-4>0},且 A∪B=R,求实数 a 的取值范围. 解:∵A={x|x2-a2≤0,a>0},∴A={x|-a≤x≤a}. ∵B={x|x2-3x-4>0}. ∴B={x|x<-1 或 x>4}, ∵A∪B=R,∴ -a ≤ -1, a ≥ 4. ∴a≥4,即 a 的取值范围是{a|a∈R,且 a≥4}.

3.解关于 x 的不等式:x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R). 分析:解答本题可通过因式分解,结合二次函数图像分类讨论求解. 解:原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0. 当 a<0 时,a<a2,解集为{x|x<a 或 x>a2}; 当 a=0 时,a2=a,解集为{x|x≠0}; 当 0<a<1 时,a2<a,解集为{x|x<a2 或 x>a}; 当 a=1 时,a2=a,解集为{x|x≠1}; 当 a>1 时,a<a2,解集为{x|x<a 或 x>a2}. 综上所述,当 a<0 或 a>1 时,解集为{x|x<a 或 x>a2}; 当 0<a<1 时,解集为{x|x<a2 或 x>a}; 当 a=0 时,解集为{x|x≠0}; 当 a=1 时,解集为{x|x≠1}.



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