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【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修4模块综合测评



高中·新课标 A 版·数学·必修 4

模块综合测评

必修 4(A 版)

(时间:90 分钟 满分:120 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,共 50 分. 1.已知角 α 的终边经过点 P(4,-3),则 2sinα+cosα 的值等于( 3 A.-5 2 C.5 4 B.5

2 D.-5 )

3 4 解析:据三角函数的定义可知 sinα=-5,cosα=5, 6 4 2 ∴2sinα+cosα=-5+5=-5. 答案:D 2.tan(-570° )+sin240° =( 5 3 A.- 6 3 3 C. 2 解析:原式=-tan30° -sin60° 3 3 =- 3 - 2 5 3 =- 6 . 答案:A 3 3.已知 α 为第二象限角,sinα=5,则 sin2α=( 24 A.-25
1

) 3 B. 6 D. 3

)

12 B.-25

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 12 C.25 24 D.25

3 4 解析:∵α 为第二象限角,sinα=5,则 cosα=-5, 24 ∴sin2α=2sinαcosα=-25. 答案:A 4.已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值是( A.-2 C.1 ) B.0 D.2

解析:a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2), ∵a+b 与 4b-2a 平行, ∴3(4x-2)=6(x+1),解得 x=2. 答案:D 5.函数 y=sinx+cosx,x∈[0,π]的单调增区间是( π? ? A.?0,4?
? ?

)
?

π? ?3π ? ? B.?0,2?,? 2 ,2π?
? ? ? ? π 3π? D.?-4, 4 ? ? ? ? ?

π? ? C.?0,2?
? ?

π? ? 解析:y=sinx+cosx= 2sin?x+4?. π π π 令 2kπ-2≤x+4≤2kπ+2,k∈Z, 3π π 得 2kπ- 4 ≤x≤2kπ+4,k∈Z. 又∵x∈[0,π], π? ? ∴单调增区间是?0,4?.
? ?
2

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 答案:A π? ? 6.为了得到函数 y=sin(-3x)的图像,只需将函数 y=cos?3x+4?的图
? ?

像(

) π A.向右平移4个单位 π B.向左平移4个单位 π C.向右平移12个单位 π D.向左平移12个单位
?π ? 解析:y=sin(-3x)=cos?2+3x? ? ?

π? ? =cos3?x+6?,
? ?

π? π? ? ? y=cos?3x+4?=cos3?x+12?,
? ? ? ?

π π π ∴需向左平移6-12=12个单位. 答案:D 5 7.函数 y=-cos2x+ 3cosx+4,则( 5 A.最大值是 1,最小值是4 1 B.最大值是 1,最小值是4- 3 1 C.最大值是 2,最小值是4- 3 5 D.最大值是 2,最小值是4
3

)

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 5 解析:y=-cos2x+ 3cosx+4 =-?cosx-
? ?

3?2 ? +2, 2?

3 1 ∴当 cosx= 2 时,ymax=2,当 cosx=-1 时,ymin=4- 3. 答案:C → =( 8.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD )

→ +1BA → A.-BC 2 → -1BA → B.-BC 2 → -1BA → C.BC 2 → +1BA → D.BC 2 → =CB → +BD → =CB → +1BA → 解析:CD 2 → +1BA → =-BC 2 . 答案:A π 9.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的部分图像如图所示,则此 函数的解析式为( )

4

高中·新课标 A 版·数学·必修 4

π? ? A.y=sin?2x+2?
? ?

π? ? B.y=sin?2x+4?
? ? ? ? ?

π? ? C.y=sin?4x+2? π? ? D.y=sin?4x+4?
?

T 7π 3π π 2π 解析:由图知2= 8 - 8 =2,∴T=π,ω= T =2. π? ? 3π π 又 2× 8 +φ=π,∴φ=4,∴y=sin?2x+4?.
? ?

答案:B A+B 10.在△ABC 中,已知 tan 2 =sinC,则△ABC 的形状为( A.正三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 )

A+B A+B A+B 解析:在△ABC 中,tan 2 =sinC=sin(A+B)=2sin 2 cos 2 , A+B ∴2cos2 2 =1, π ∴cos(A+B)=0,从而 A+B=2,△ABC 为直角三角形. 答案:C
5

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. π 5π 11.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x=4和 x= 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图 像的两条相邻的对称轴,则 φ=__________.
?5π π? 解析:由题意可知函数 f(x)的周期 T=2×? 4 -4?=2π,故 ω=1, ? ?

π π π ∴f(x)=sin(x+φ), 令 x+φ=kπ+2(k∈Z), 将 x=4代入可得 φ=kπ+4(k ∈Z), π ∵0<φ<π,∴φ=4. π 答案:4 12. 已知|b|=2, a 与 b 的夹角为 120° , 则 b 在 a 上的射影为__________. 答案:-1 13.已知函数 f(x)=sinxcosx,则 f(-1)+f(1)=__________. 1 解析:∵f(x)=sinxcosx=2sin2x, ∴此函数是奇函数,故 f(-1)+f(1)=0. 答案:0 π? 4 π? ? ? 14.设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为__________.
? ? ? ?

π 解析:∵α 为锐角,即 0<α<2, π π π π 2 ∴6<α+6<2+6=3π. π? 4 ? ∵cos?α+6?=5,
? ?
6

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 π? 3 ? ∴sin?α+6?=5,
? ? ?

π? π? ? π? ? ? ∴sin?2α+3?=2sin?α+6?cos?α+6?
? ? ? ? ?

3 4 =2×5×5 24 =25, π? π? ? ? 7 cos?2α+3?=2cos2?α+6?-1=25,
? ? ? ?

π? π? π? ?? ? ∴sin?2α+12?=sin??2α+3?-4?
? ? ? ?? ? ?

π? π ? =sin?2α+3?cos4-
?

π? π ? cos?2α+3?sin4
? ?

17 2 = 50 . 17 2 答案: 50 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. 15.(12 分)已知 A 是三角形的一个内角, sin?π-A?+cos?-A? (1)若 tanA=2,求 的值. ?π ? sinA-sin?2+A?
? ?

1 (2)若 sinA+cosA=5,判断三角形的形状. sin?π-A?+cos?-A? sinA+cosA 解:(1) = ?π ? sinA-cosA sinA-sin?2+A?
? ?

7

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 tanA+1 = tanA-1 2+1 = 2-1 =3.(6 分) 1 (2)由 sinA+cosA=5, 1 所以(sinA+cosA)2=25, 12 整理得 sinAcosA=-25<0.(10 分) ∵0<A<π,∴sinA>0, ∴cosA<0,故该三角形是钝角三角形.(12 分) ?sinx-cosx?sin2x 16.(12 分)已知函数 f(x)= . sinx (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间. 解:(1)由 sinx≠0 得,x≠kπ,k∈Z,所以定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈ Z}.(2 分) 因为 f(x)= ?sinx-cosx?2sinxcosx sinx

=2sinxcosx-2cos2x =sin2x-cos2x-1 π? ? = 2sin?2x-4?-1,(4 分)
? ?

2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.(6 分) π π 3π (2)由 2kπ+2≤2x-4≤2kπ+ 2 ,
8

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 x≠kπ(k∈Z), 3π 7π 得 kπ+ 8 ≤x≤kπ+ 8 (k∈Z),(8 分) 3π 7π? ? 所以 f(x)的单调递减区间为?kπ+ 8 ,kπ+ 8 ?,k∈Z.(12 分)
? ? ?π ? cos?2+α?sin?-π-α? ? ? ? ? ?

17. (13 分)(1)已知角 α 终边上一点 P(-4,3), 求 的 ?11π ? ?9π ? cos? 2 -α?sin? 2 +α?
?

值. 4sinα-2cosα (2)已知 a=(3,1),b=(sinα,cosα),且 a∥b,求 的值. 5cosα+3sinα y 3 解:(1)∵tanα=x=-4, -sinα· sinα ? ? = ?11π ? ?9π ? -sinα· cosα cos? 2 -α?sin? 2 +α? ? ? ? ?
?π ? cos?2+α?sin?-π-α?



=tanα 3 =-4.(6 分) (2)∵a∥b, ∴3cosα-sinα=0, ∴tanα=3.(8 分) 4sinα-2cosα 4tanα-2 = .(10 分) 5cosα+3sinα 5+3tanα 把 tanα=3 代入上式得 4sinα-2cosα 4tanα-2 4×3-2 5 = = = . 5cosα+3sinα 5+3tanα 5+3×3 7 (13 分)
9

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 18.(13 分)设 a=( 3sinx,cosx),b=(cosx,cosx),记 f(x)=a· b.

(1)写出函数 f(x)的最小正周期;
? π 11π? (2)试用“五点法”画出函数 f(x)在区间?-12, 12 ?上的简图,并指出 ? ?

该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解:(1)f(x)=a· b = 3sinxcosx+cos2x 1+cos2x 3 = 2 sin2x+ 2 π? 1 ? =sin?2x+6?+2.(4 分)
? ?

2π 最小正周期 T=|ω|=π.(6 分) (2) x π 2x+6 π? ? sin?2x+6?
? ?

π -12 0 0 1 2

2π 12 π 2 1 3 2

5π 12 π 0 1 2

8π 12 3π 2 -1 1 -2

11π 12 2π 0 1 2

y

10

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π? ? π 先将 y=sinx 的图像向左平移6个单位得到 y=sin?x+6?的图像,再保持
? ?

π? ? 1 1 纵坐标不变, 横坐标缩短为原来的2变为 y=sin?2x+6?, 最后再向上平移2个
? ?

π? 1 ? 单位得到 y=sin?2x+6?+2.
? ?

(13 分)

11



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