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蔡甸区第二中学高一年级六科竞赛数学理科试卷



蔡甸区第二中学六科竞赛数学(理科)试卷
一、选择题( (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) )
1. 将函数 y= 3 cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图 像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. )

? 12

B.

? 6<

br />
C.

? 3

D

5? 6

? 3? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 25 2 2 2.已知 f (?) ? ,则 f (? ?) 的值为( 3 cos(?? ? ?) tan(? ? ?)
A.



1 2

B.-

1 2

C.

3 2

D. -

3 2

3.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如右,此函数的解析式为(



y ? 2 sin(2 x ?
A.

?
3

)
B.

y ? 2 sin(2 x ?

2? ) 3

x ? y ? 2 sin( ? ) 2 3 C.

y ? 2 sin(2 x ?
D.

?
3

)

、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,若 b2 ? c 2 ? a 2 ? 4.在 ?ABC 中,角 A
b ? 3a ,则下列关系一定不成立的是(
A. a ? c B. b ? c C. 2a ? c ) D. a 2 ? b2 ? c 2

3bc ,且

5. 各项均为正数的等比数列 A.150 6.已知数列 A.7 B.-200

?a n ? 的前 n 项和记为 S n , 若S10 ? 10, S30 ? 70, 则S 40 ? (
D.-50 或 400 ( )



C.150 或-200

?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 1? n ? 2 ? ,则 a5 为
B.15 C.30 D.31

7.用火柴棒摆“金鱼”,按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(
1



① A. 6n ? 2

② B. 8n ? 2

③ C. 8n ? 2 D. 6n ? 2

8. 在各项均为正数的等比数列 ?bn ? 中,若 b7 于( A.5 ) B. 6

? b8 ? 3 ,则 log3 b1 ? log3 b2 ? ? ? log3 b14 等

C. 7

D. 8 )

9.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a7 ? 0 , a8 ? 0 ,则下列结论正确的是(
A. S7 ? S8 B. S15 ? S16 C. S13 ? 0 D. S15 ? 0

10. 《张丘建算经》卷上第 22 题——“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织 得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布 5 尺,30 天共织布 390 尺,则该女子 织布每天增加( ) 4 A.7尺 16 B.29尺 8 C.15尺 16 D.31尺

二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 2 5 分。 11.给出下面命题:①函数 y ? cos( x ? ) 是奇函数;②存在实数 ? ,使得

sin ? ? cos ? ?

3 ? ;③若 ?、? 是第一象限角且 ?< ? ,则 tan ?< t an? ;④ x ? 是函数 2 8 5 3 ? ? y ? sin(2 x ? ?) 的一条对称轴;⑤ y ? 2sin x 在区间 [? , ] 上的最小值是-2,最大 4 2 3 2


3 2

? 2

值是 2 ,其中正确命题的序号是 12.已知 f ( x ) ?

1? x ? ,若 ? ? ( , ?) ,化简 f (cos ?) ? f (? cos ?) ? ______________. 1? x 2

13.设△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的三边分别为 a, b, c,若△ABC 的面积为 S = a2-(b-c)2,则

sin A = 1 ? cos A

.

14. 设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值 为 .

π 15.已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos2x+m 在区间[0, 2]上的最大值为 3,则 (Ⅰ)m= ; (Ⅱ)对任意 a∈R,f(x)在[a,a+20π]上的零点个数为 .

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且角 A、B、C 成等差教列. ( I )若 b ? 13, a ? 3 ,求边 c 的值; ( II)设 t ? sin A sin C ,求 t 的最大值.

17. (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin(A-B)=cosC. (Ⅰ)若 a=3 2,b= 10,求 c; acosC-ccosA (Ⅱ)求 的取值范围. b

? 3 3 ? x x ? a ? (cos x,sin x), b ? (cos , ? sin ), 且x ?[0, ] 2 2 2 2 2 , 18. (本小题满分 12 分) 已知向量
? ? ? ? a ? b 及 | a ?b|; (1)求

3 ? ? ? ? ? (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 2 ,求实数 ? 的值.

3

19. (本小题满分 12 分)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、 13 后成为等比数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 . (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S ,求证:数列 ? S n ?

n

? ?

5 4

? ? 是等比数列. ?

20. (本小题满分13分)已知等差数列{an}的首项为a (a ? R, a ? 0) .设数列的前n项和为Sn , 且对任意正整数n都有
a2 n 4 n ? 1 . ? an 2n ? 1

(1)求数列{an}的通项公式及 Sn ; (2)是否存在正整数n和k,使得 Sn , Sn ?1 , Sn ? k 成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不 存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

3an 3 , an ?1 ? ,n? N? . 5 2an ? 1

(1)求证:数列 ? (2)记 Sn ?

?1 ? ? 1? 为等比数列; ? an ?

1 1 1 ? ? ? ? ,若 Sn ? 101 ,求最大正整数 n 的值; a1 a2 an

(3)是否存在互不相等的正整数 m, s, n ,使 m, s, n 成等差数列,且 am ? 1, as ? 1, an ? 1 成 等比数列?如果存在,请给予证明;如果不存在,请说明理由.

4

2013-2014 学年蔡甸区第二中学六科竞赛
考号________________

数学(理科)答题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 13. 15. (Ⅰ) 三、解答题(共 75 分) 16.
(Ⅱ)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

姓名___________________

12. 14.

学校_________________

班级___________________

5

17.

18.

6

19.

20.

7

21.

8





线





线





线





线

蔡甸区第二中学六科竞赛数学(理科) 参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案
11.①④

1
B 12.

2
A

3
B 13.4

4
B 14.﹣2

5
A

6
D

7
D

8
C

9
C

10
B

16.解: (Ⅰ)因为角 A、B、C 成等差数列,所以 2B ? A ? C , 因为 A ? B ? C ? ? ,所以 B ?

2 sin ?

15. (Ⅰ)0; (Ⅱ)40 或 41

?
3

.

???2 分

因为 b ? 13 , a ? 3 , b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B , 所以 c2 ? 3c ? 4 ? 0 . 所以 c ? 4 或 c ? ?1 (舍去). ????6 分

π 17.解: (Ⅰ)由 sin(A-B)=cosC,得 sin(A-B)=sin(2 -C). ∵△ABC 是锐角三角形, π π ∴A-B= 2 -C,即 A-B+C= 2, 又 A+B+C=π, π 由②-①,得 B= 4 . π 由余弦定理 b2=c2+a2-2cacosB,得( 10)2=c2+(3 2)2-2c×3 2cos4 , 即 c2-6c+8=0,解得 c=2,或 c=4. 当 c=2 时,b2+c2-a2=( 10)2+22-(3 2)2=-4<0, ∴b2+c2<a2,此时 A 为钝角,与已知矛盾,∴c≠2. 故 c=4.?????????????????????????????6 分
9

① ②

π 3π 3π (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 B= 4 ,∴A+C= 4 ,即 C= 4 -A. ∴ acosC-ccosA sinAcosC-cosAsinC sin(A-C) 3π = = = 2sin(2 A - b sinB 4 ). 2 2

∵△ABC 是锐角三角形, π π π 3π π ∴ 4 <A< 2,∴-4 <2A- 4 < 4 , acosC-ccosA 2 3π 2 ∴- 2 <sin(2A- 4 )< 2 ,∴-1< <1. b 故 acosC-ccosA 的取值范围为(-1,1).???????????????12 分 b

? ? cos 3 x ? cos x ? sin 3 x ? sin x ? cos 2 x, 2 2 2 2 18.解: (1) a ? b =
3 x 3 x ? ? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos2 x | a ? b |= 2 2 2 2 ,
x ? [0, ] 2 , ∴ cos x ? 0, ∵ ? ? | a ∴ ? b | =2cosx. ???????????????6 分
(2) 由(Ⅰ)得 f ( x) ? cos2 x ? 4? cos x,
2 2

?

即 f ( x) ? 2(cos x ? ? ) ? 1 ? 2? .

x ? [0, ] x ? 1. 2 , ∴0 ? c o s ∵
①当? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾. ②当0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ?时, f ( x) 取最小值 ? 1 ? 2?2 .

?

? 1 ? 2?2 ? ?
由已知得

3 1 ?? . 2 ,解得 2

③当? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? ,

1 ? 4? ? ?
由已知得

3 5 ?? 2 ,解得 8 ,这与 ? ? 1 相矛盾.

??
综上所述,

1 2 为所求.???????????????12 分
10

19.解:(Ⅰ)设成等差数列的三个正数分别为 a ? d , a, a ? d 依题意,得 a ? d ? a ? a ? d ? 15, 解得a ? 5. 所以 {bn } 中的 b3 , b4 , b5 依次为 7 ? d ,10,18 ? d . 依题意,有 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100, 解得d ? 2或d ? ?13 (舍去) 故 {bn } 的第 3 项为 5,公比为 2. 由 b3 ? b1 ? 2 , 即5 ? b1 ? 2 , 解得b1 ?
2 2

5 4

.

所以 {bn } 是以

5 5 为首项,2 为以比的等比数列,其通项公式为 bn ? ? 2n ?1 ? 5 ? 2n ?3 4 4

???????????????6 分

5 (1 ? 2n ) 5 5 (Ⅱ)数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? 4 ? 5 ? 2 n ? 2 ? ,即 S n ? ? 5 ? 2 n ? 2 4 1? 2 4 5 Sn ?1 ? n ?1 5 5 4 ? 5 ? 2 ? 2. 所以 S1 ? ? , 5 4 2 5 ? 2n ? 2 Sn ? 4
所以,数列 ? S n ?

? ?

5 4

? ? 是等比数列. ???????????????12 分 ?

20. (1) 设等差数列{an}的公差为 d, 在

a 2 n 4n - 1 a a?d ? 中,令 n=1 可得 2 =3,即 ?3 an 2n - 1 a1 a

)a 。 故 d=2a, a n ? a1 ? (n ? 1)d ? (2n ? 1
经检验,

a 2 n 4n - 1 ? 恒成立 an 2n - 1

)a 所以 a n ? (2n ? 1

?a ? n a (2n - 1 ) , S n ? ?1 ? 3 ? ?
2

???6 分

11

2 (2) 由(1)知 S n ? n a , S n ?1 ? ?n ? 1? a , S n ? k ? ?n ? k ? a
2 2

假若 S n , S n ?1 ? ?n ? 1? a Sn ?1 , S n ? k 成等比数列,则 S
2

2

n ?1

? S n S n?k ,

即知 a ?n ? 1? ? an a ?n ? k ? ,
2 4 2 2

又因为 a ? 0, n,k ? N * ,所以 ?n ? 1? ? n ?n ? k ? ,经整理得 n ?k - 2? ? 1
2

考虑到 n、k 均是正整数,所以 n=1,k=3 所以,存在正整数 n=1 和 k=3 符合题目的要求。???????13 分

21.解: (1)因为

1 2 1 1 1 1 ,所以 ? ? ? 1 ? ( ? 1) an ?1 3 3an an ?1 3 an

又因为

?1 ? 1 1 ? 1 ? 0 ,所以 ? 1 ? 0( n ? N ? ) ,所以数列 ? ? 1? 为等比数列. ????4 分 a1 an ? an ?
1 2 1 1 1 ? 1 ? ?( )n ?1 ,所以 ? 2?( ) n ? 1 , an 3 3 an 3

(2)由(1)可得

1 1 ? n ?1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ? ? ? ? n ? 2( ? 2 ? ? n ) ? n ? 2?3 3 ? n ? 1 ? n , 1 a1 a2 an 3 3 3 3 1? 3 1 若 S n ? 101 ,则 n ? 1 ? n ? 101 ,所求最大正整数 n 的值为 100. ????9 分 3 (3)假设存在满足题意的正整数 m, s, n ,
则 m ? n ? 2s , (am ? 1)(an ? 1) ? (as ? 1)2 , 因为 an ?

3n 3m 3n 3s ( ? 1)( ? 1) ? ( ? 1) 2 , ,所以 m n s n 3 ?2 3 ?2 3 ?2 3 ?2
m n m?n

化简得, 3m ? 3n ? 2? 3s ,因为 3 ? 3 ? 2? 3

? 2? 3s ,

当且仅当 m ? n 时等号成立,又 m, s, n 互不相等, 所以满足题意的正整数 m, s, n 不存在. ??????14 分

12



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