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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 分析法典例导航课件 北师大版选修1-2



设 a≥3,求证: a- a-1< a-2- a-3.

[证明过程] 要证 a- a-1< a-2- a-3, 只要证 a+ a-3< a-1+ a-2, 即证( a+ a-3)2<( a-1+ a-2)2, 即 a?a-3?< ?a-1??a-2?, 即证 a(a-3)<(a-1)(a-2), 即证 0<2, ∵0&l

t;2 显然成立, ∴原不等式成立.

1.证明不等式 a+ a+7< a+3+ a+4.

证明: 证法一:要证 a+ a+7< a+3+ a+4, 只需证( a+ a+7)2<( a+3+ a+4)2, 只需证 2a+7+2 a?a+7?<2a+7+2 ?a+3??a+4? 即证 a?a+7?< ?a+3??a+4?, 只需证 a(a+7)<(a+3)(a+4), 即证 a2+7a<a2+7a+12,只需证 0<12,显然成立. ∴ a+ a+7< a+3+ a+4.

证法二:要证 a+ a+7< a+3+ a+4, 只需证 a+7- a+4< a+3- a, ? a+7- a+4?? a+7+ a+4? 即证 a+7+ a+4 ? a+3- a?? a+3+ a? < a+3+ a 3 3 只需证 < , a+7+ a+4 a+3+ a
即证 a+3+ a< a+7+ a+4, 最后的不等式显然成立. ∴原不等式成立,即 a+ a+7< a+3+ a+4.

π 已知 α,β≠kπ+ (k∈Z),且 2 ①sin θ+cos θ=2sin α,②sin θ· cos θ=sin2β, 1-tan2α 1-tan2β 求证: 2 = 2 . 1+tan α 2?1+tan β?

[证明过程] 由①得(sin θ+cos θ)2=4sin2α, 即 1+2sinθcos θ=4sin2α 把②代入上式并整理得:4sin2α-2sin2β=1 ③ 1-tan2α 1-tan2β 另一方面,要证 2 = 2 , 1+tan α 2?1+tan β? sin2α sin2β 1- 2 1- 2 cos α cos β 只需证 = ? 2 ?, sin2α sin β? ? 1+ 2 1+ 2 ? cos α 2? cos β? ?

1 即证 cos α-sin α= (cos2β-sin2β), 2
2 2

1 只需证 1-2sin α= (1-2sin2β), 2
2

即证 4sin2α-2sin2β=1. 由于上式与③相同,于是问题得证.

a b 2.已知 a,b 是正实数,求证: + ≥ a+ b. b a

证明: 证法一(比较法): a b ∵ + - a- b b a b-a a-b ?a-b?? a- b? = + = a b ab ? a- b?2? a+ b? = ≥0, ab a b ∴ + ≥ a+ b. b a

证法二(分析法): a b 要证 + ≥ a+ b, b a 只要证:a a+b b≥ ab( a+ b). 即证(a+b- ab)( a+ b)≥ ab( a+ b). 即证 a+b- ab≥ ab. 也就是要证 a+b≥2 ab. a b 显然 a+b≥2 ab成立,故 + ≥ a+ b. b a

1 证法三:(综合法,因为左边是分式型,利用基本不等式 x+ x ≥2(x>0)使左边向整式型过渡) a b (法一 )∵ + b + + a ≥2 b a a · b+ 2 b b · a=2 a a

a b +2 b,当且仅当 a=b 时取等号,∴ + ≥ a+ b. b a
? ( 法二 ) ∵ ? ? ?

a b? a a b b + ? ( a+ b)=a+b+ + ≥a + b + b a? b a ?

2

a ab b · =a+b+2 ab=( a+ b)2,当且仅当 a=b 时取等 b a

a b 号,∴ + ≥ a+ b. b a

设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数 f(x+1)与 f(x)的图象 1 关于 y 轴对称.求证:f(x+ )为偶函数. 2
由题目可获取以下主要信息: ①f(x)是二次函数; ②f(x+1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称. 解答本题可先分析
? 1? ? f?x+2? ? 为偶函数的条件,再利用已 ? ?

知,推出满足的条件或寻找结论成立的条件.

[证明过程] 证法一:要证 只需证
? 1? ? f?x+2? ?的对称轴为 ? ?

? 1? ? f?x+2? ?为偶函数, ? ?

x=0,

b 1 只需证- - =0, 2a 2 只需证 a=-b. 因为函数 f(x+1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称,

b b 即 x=-2a-1 与 x=-2a关于 y 轴对称, -b b 所以-2a-1=- 2a , 所以 a=-b, 所以
? 1? f?x+2?为偶函数. ? ?

证法二:要证 只需证

? 1? ? f?x+2? ?是偶函数, ? ?

? ? 1? 1? ? ? ? f?-x+2?=f?x+2? ?. ? ? ? ?

因为 f(x+1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称, 而 f(x)与 f(-x)的图象关于 y 轴对称, 所以 f(-x)=f(x+1),

? ? ? ?? ? ? 1? 1? 1? ? ? ? ? ?? ?? ? f?-x+2?=f?-?x-2??=f??x-2?+1? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 1? ? =f?x+2? ?, ? ?

所以

? 1? ? f?x+2? ?是偶函数. ? ?

3.已知函数 若

?1 ? ? 1? f(x)=lg?x -1?,x∈?0,2?, ? ? ? ?

? 1? x1,x2∈?0,2?且 x1≠x2. ? ?

?x1+x2? 1 ? 求证:2[f(x1)+f(x2)]>f? ? 2 ?. ? ?

?x +x ? 1 2? ? 1 证明: 要证 [f(x1)+f(x2)]>f? ?, 2 2 ? ? ? 2 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? -1? 只需证:lg?x -1?+lg?x -1?>2lg? ? ? 1 ? ? 2 ? ?x1+x2 ? ? ?1 ?? 1 ? ? 2 ? ?? ? ? 2 -1? 只需证:?x -1??x -1?>? ? . x + x ? 1 ?? 2 ? ? 1 2 ? ? ?1 ?? 1 ? ? 2 ? ?? ? ? 2 -1? ∵?x -1??x -1?-? ? ? 1 ?? 2 ? ?x1+x2 ?

?x1-x2?2?1-x1-x2? = . 2 x1x2?x1+x2?

由于

? 1? ? x1,x2∈?0,2? ?且 x1≠x2, ? ?

?x1-x2?2?1-x1-x2? ∴ >0, 2 x1x2?x1+x2?
? ?1 ?? 1 ? ? 2 ? ?? ? ? 2 -1? 即?x -1??x -1?>? ? , ? 1 ?? 2 ? ?x1+x2 ? ?x +x ? 1 2? ? 1 ∴ [f(x1)+f(x2)]>f? ?. 2 2 ? ?



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