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【金识源】高中数学新人教A版必修5学案 3.2 一元二次不等式及其解法(第2课时)



3.2 学习目标

一元二次不等式及其解法(第 2 课时)

1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,进一步熟悉一元二次不等式的 解法. 2.会解含参数的一元二次不等式. 3.能应用一元二次不等式解决简单问题. 合作学习 一、设计问题,创设情境 题组一:再现型题组 解答下列各题: (1) 已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象如图所示 , 则一元二次方程 ax +bx+c=0 的解 是 ;一元二次不等式 ax +bx+c>0 的解集是
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(2)若关于 x 的不等式 x +2x+m>0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是 (3)已知 a<0,则关于 x 的不等式(x-a)(x+a)<0 的解集为 (4)若关于 x 的不等式 x +ax+b<0 的解集为{x|1<x<2},则 a+b= 二、信息交流,揭示规律
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问题 1:二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)、 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)和一元二次不等 式 ax +bx+c>0(a≠0)之间有怎样的关系?
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问题 2:通过前面的学习思考:确定一元二次不等式的解集的因素有哪些?

三、运用规律,解决问题

题组二:提高型题组 【例 1】已知关于 x 的不等式 ax +x+2>0. (1)若该不等式对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若该不等式的解集为{x|-1<x<t},求实数 t 的值.
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【例 2】已知 a>0,解关于 x 的不等式 ax -(a+1)x+1<0.

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【例 3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关 系:s=x+x . 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多 少?(精确到 0.01km/h)
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四、变式训练,深化提高 题组三:反馈型题组 变式训练 1:若不等式 ax +x+2>0 对任意的 x∈(-1,2)恒成立,求实数 a 的取值范围.
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变式训练 2:若将例 2 中的条件“a>0”换为“a∈R”,再去求解.

五、反思小结,观点提炼 问题 3:本节课主要学习了哪些知识?主要涉及哪些数学思想?

参考答案 一、设计问题,创设情境 题组一:再现型题组 (1)0,4 {x|0<x<4} (2)(1,+∞) (3)(a,-a) (4)-1 二、信息交流,揭示规律 问题 1:规律一:一元二次方程和一元二次不等式都可以看做是相应二次函数的特殊情形. 一元二次方程的解是相应二次函数的函数值等于零时 ,自变量的取值.也就是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标.而一元二次不等式的解集是相应的二次函数的函数值大于零时 ,自变量的 取值集合,也就是函数图象在 x 轴上方的部分对应的横坐标的取值集合. 一元二次不等式解集的情形与一元二次不等式的根的个数的情形相对应.当一元二次不 等式 ax +bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x<x1 或 x>x2}时,可以得到 a>0,且 x1,x2 是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两个解;当一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x1<x<x2}时,可 以得到 a<0,且 x1,x2 是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两个解. 问题 2: 规律二 : 首先是二次项系数 a 的符号 ; 其次是相应一元二次方程的根的判别式 Δ =b -4ac 的符号;最后是相应一元二次方程的根.总之,一元二次不等式的系数 a,b,c 决定了 它的解集.因此,当系数 a,b,c 不确定时,往往按照上述三个方面的情形分类讨论. 三、运用规律,解决问题 题组二:提高型题组 【例 1】解:(1)由题意,得 解得 a>. (2)由题意,-1,t 是关于 x 的方程 ax +x+2=0 的两根, 所以解得 a=-1,t=2.
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【例 2】解:不等式可化为 a(x-1)<0, ①当<1,即 a>1 时,不等式的解集为; ②当=1,即 a=1 时,不等式的解集为? ; ③当>1,即 0<a<1 时,不等式的解集为. 综上所述,当 a>1 时,不等式的解集为;当 a=1 时,不等式的解集为? ;当 0<a<1 时,不等式 的解集为. 【例 3】解:设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h,根据题意,我们得到 x+x >39.5. 移项整理得:x +9x-7110>0, 显然 Δ >0, 方程 x +9x-7110=0 有两个实数根,即 x1≈-88.94,x2≈79.94. 所以不等式的解集为{x|x<-88.94,或 x>79.94}. 在这个实际问题中 x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 四、变式训练,深化提高 题组三:反馈型题组 变式训练 1:解:方法一:设 f(x)=ax +x+2, ①当 a≥0 时,因为-1<x<2,所以 x+2>0,故 f(x)>0 显然成立; ②当 a<0 时,由二次函数图象知,只需即 解得 a≥-1,所以-1≤a<0. 综上可知,实数 a 的取值范围是 a≥-1. 方法二:①当 x=0 时,不等式 ax +x+2>0 显然成立,此时 a∈R; ②当 x≠0 时,不等式 ax +x+2>0 可以化为 a>-2, 令 t=,则 t∈(-∞,-1)∪. 由题意,不等式 a>-2t -t 在 t∈(-∞,-1)∪时恒成立,所以,a≥-1. 综上可知,实数 a 的取值范围是[-1,+∞). 变式训练 2:解:①当 a=0 时,不等式的解集为(1,+∞); ②当 a>0 时,同例 2; ③当 a<0 时,因为<1,所以,不等式的解集为∪(1,+∞). 综上所述,当 a>1 时,不等式的解集为;当 a=1 时,不等式的解集为? ;当 0<a<1 时,不等式 的解集为;当 a=0 时,不等式的解集为(1,+∞);当 a<0 时,不等式的解集为∪(1,+∞). 五、反思小结,观点提炼
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问题 3:利用三个“二次”之间的关系,解答有关一元二次不等式问题和解含参数的一元 二次不等式;函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想.



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