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§4 平面向量的坐标


§4 平面向量的坐标

思考:1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什 么来表示?

2.平面向量是否也有类似的表示呢?

y
b

a
A (a,b)

O

a

x

1.掌握平面向量正交分解及其坐标表示.(重点)
2.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.(重点) 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(难点)

y

探究点1 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内,我们分别

j
o

i

x

①式是向量 a 的坐标表示.
注意:每个向量都有唯一的坐标.

y

5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 -1 -2 1 2 3 4

x

例2 在平面内以点O的正东方向为x轴正向,正北方向 为y轴的正向建立直角坐标系,质点在平面内做直线运 动,分别求下列位移向量的坐标(如图).

解:设 OP ? a,OQ ? b,OR ? c, 并设P(x1,

y

Q

y1),Q(x2,y2),R(x3,y3).
(1)由图可知,∠POP′=45°, | OP|=2.
Q'
60?

b a

P
j 45? P' i 30°

R'

O

c
R

x

所以 a ? OP ? OP? ? P?P ? 2i ? 2 j.所以a ? ( 2,2).

(2)因为∠QOQ′=60°, | OQ |? 3, 所以b ? OQ ? OQ? ? Q?Q ?
3 3 3 3 3 3 ? i? j.所以b ? (? , ). 2 2 2 2

(3)因为∠ROR′=30°,
| OR |? 4, 所以c ? OR ? OR?+R?R=2 3i ? 2j. 所以,c=(2 3, ? 2).

思考1:什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起 y 来?
向量的起点为原点时.

x

一一对应

练一练: 在同一直角坐标系内画出下列向量. . .

解:
2 1

-1

1

思考2:相等向量的坐标有什么关系?
y
B(x2,y2)

提示:相等,与起点的位 置无关.

B1

1

A(x1,y1) A1
.

.

1

x

结论:

(1)任一平面向量都有唯一的坐标.
(2)当向量的起点在原点时,向量终点的坐标即为向 量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.

思考3:全体有序实数对与坐标平面内的所有向量 是否一一对应?

因此,在直角坐标系中,点或向量都可以看作有

序实数对的直观形象.

探究点2 平面向量线性运算的坐标表示

解:

结论1:向量和与差的坐标分别等于各向量相应 坐标的和与差.

结论2:实数与向量积的坐标分别等于实数与向量 的相应坐标的乘积.

向量坐标与向量始点、终点之间的关系 因为
A(x1,y1)

y
B(x2,y2)

O

x

结论3: 一个向量的坐标等于其终点的相应 坐标减去始点的相应坐标.

解:

y

解:
得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y)

B
o C D

A

即(-1,2)=(-1-x,-2-y),

x

即点D的坐标为(0,-4).

解:由已知 , F1 ? F2 ? F3 ? 0,
?3 ? 2 ? x ? 0, 所以 ? ?4 ? 5 ? y ? 0,
所以F3 ? ( ?5,1).



(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),

? x ? ?5, 所以 ? ? y ? 1.

探究点3 向量平行(共线)的坐标表示
设a,b是非零向量,且a ? (x1 , y1) ,b ? ? x 2 , y 2 ?.若a∥b, 则存在实数λ使a ? λb,由平面向量基本定理可知 x1 i ? y1 j ? λ x 2 i ? y 2 j ? λx 2 i ? λy 2 j 于是x1 ? λx 2①, y1 ? λy 2② ① ? y 2 ? ② ? x 2,得 x1y 2 ? x 2 y1 ? 0. 若y1 ? 0且y 2 ? (即向量 0 b不与坐标轴平行),则上式可变形为 x1 x 2 ? . y1 y 2

?

?

我们可以得出: 定理:若两个向量(与坐标轴不平行) 平行,则它们相应的坐标成比例.

定理:若两个向量相对应的坐标成比
例,则它们平行.

解:依题意,得

1.(2012·广东高考)若向量 AB ? ?1,2 ?, BC ? ? 3,4 ?,

则 AC =( A )
A.(4,6) C.(-2,-2) B.(-4,-6) D.(2,2)

2.已知点 A(-1,-5)和向量a=(2,3),若 AB ? 3a, 则 点B的坐标为( B ) A(6,9) B(5,4) C(7,14) D(9,24)

3.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则 (-4,-8) 2a+3b等于_________.

4. (2013·陕西高考)已知向量 a ? (1, m), b ? (m,2) , 若 a // b , 则实数m等于 ( C )
? 2 A. C.? 2 或

2

B. 2 D. 0

5.已知 a ? (1,1), b ? ( x,1), u ? a ? 2b , v ? 2a ? b , (1)若 u ? 3v , 求x. (2)若 u∥v , 求x.

解:因为a ? (1,1), b ? ( x,1),

所以u ? (1,1) ? 2( x,1) ? (1,1) ? (2 x, 2) ? (2 x ? 1,3),
v ? 2(1,1) ? ( x,1) ? (2 ? x,1).

(1)u ? 3v,得(2 x ? 1,3) ? 3(2 ? x,1),
所以(2 x ? 1,3) ? (6 ? 3x,3),

所以2 x ? 1 ? 6 ? 3x,

解得: x ? 1.

(2)u∥v,得(2 x ? 1) ? 3(2 ? x) ? 0, 解得x ? 1.

1.向量的坐标的概念: a ? xi ? y j ? (x, y). 2.对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标. (2)向量的坐标与其始点、终点坐标的关系. (3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算. 4.向量平行的坐标表示:
向量 a,b(b ? 0) 共线 ? x1·y2=x2·y1

不要对一切人都以不信任的眼光看待,但 要谨慎而坚定.

——德谟克里特


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