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2016-2017学年辽宁省葫芦岛市六校协作体高二上学期期初考试数学(文)试题



2016—2017 学年度上学期辽宁省六校协作体高二期初考试

数学试题(文科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合 A ? {x || x |? 3}, B ? {?1,0,1,2,3,4} ,则 A ? B ? A. {0,1,2} B. {0,1,2,3}

r />3
( )

C. {-1,0,1,2}

D. {-1,0,1,2,3}


? 2. 为了得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin x 的图象上所有的点(
? 个单位长度 3 ? C.向上平行移动 个单位长度 3
A.向左平行移动 B.向右平行移动 D.向下平行移动

? 个单位长度 3

? 个单位长度 3


3. 已知 BA ? ( , A.
? 6

1 2

3 3 1 ), BC ? ( , ) ,则 ? BA, BC ?? ( 2 2 2 ? ? 2? B. C. D. 4 3 3
( )

4. 已知 a ? 0.3 2 , b ? 2 0.3 , c ? log 2 0.3 ,则 A. a ? b ? c B. c ? a ? b

C. c ? b ? a
4? 3

D. a ? c ? b


5. 表面积为 24 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的体积为(
A. 12? B.

32 ? 3

C. 4 3?

D.

6. 在 ?ABC 中,若 AB ? 13 , BC ? 3, ?C ? 120 ? ,则 AC ? ( A.1 B.2
1 3



C.3
( )

D.4

7. 若 tan ? ? ? ,则 sin 2? ? A. ?
3 5

B.

3 5

C.

4 5

D. ?

4 5

8. 已知圆 M : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,
则圆 M 与圆 N 的位置关系是( A.内切 B.相交 ) C.外切 D.外离 )

9. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(

A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.1



1第

? ? ? 10. 若函数 f ( x) ? 3cos(? x ? ? ) ,对任意的 x 都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ,则 f ( ) 等于(
6 6 6

)

A. ?3

B. 0

C. 3
2

D. ?3


? 11. 函数 f ( x) ? ? cos 2 x ? 6 cos( ? x) 的最小值为(

A. ?

11 2

B.

7 2

C. 7

D. ? 5

12. 已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,若函数 y ? f ( x) 的图象与函数
y ? ( x ? 1) 2 ? 2 | x ? 1 | ?3 图象的交点为 (x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), ? , ( x m , y m ) ,则两图象所有交点的
横坐标之和为( A. 0 ) B. m C. 2m D. 4m

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. sin 750 ? ? _______. 14. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,则 f (2) ? ______. 15.已知直线 l : x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 12 交于 A, B 两点,过 A, B 分别作 x 轴的垂线与 x 轴
交于 C , D 两点,则 | CD |? ______. .

16. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A ? 2 B , ?ABC 的面积 S ?
则角 A 的大小为_________.

a2 , 4

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 17.(本小题满分 10 分)
(1)计算: log 2.5 6.25 ? lg 0.01 ? ln e ? 2 (2)计算: 64 3 ? ( ?
?1

1? log 2 3



4 3 2 0 ?3 3 ? ? ) ? ?(2) ? ? 16?0.75 . 2

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2?x ? 2 sin 2 ? x ? 1 (? ? 0) 的最小正周期为 ? . (1)求 ? 的值; (2)求 f ( x) 的单调递减区间.



2第

19. (本小题满分 12 分)
?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a cos B cos C ? b cos A cos C ?

c . 2

(1)求角 C ; (2)若 c ? 7 , a ? b ? 5 ,求 ?ABC 的面积. 20. (本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 平面 ABCD ,

AB // DC , DC ? AC .
(1)求证: DC ? 平面 PAC ; (2)求证:平面 PAB ? 平面 PAC ; (3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F , 使得 PA // 平面 CEF ? 说明理由.

21. (本小题满分 12 分)
已知点 A(?1, 2), B (0,1), 动点 P 满足 PA ? (1)若点 P 的轨迹为曲线 C ,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 有且只有一个公共点 M , 求 QM 的最小值.

2 PB .

22. (本小题满分 12 分)
设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R , 并且满足 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) , 且 f (2) ? 1 , 当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 . (1)求 f (0) 的值; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并给出证明; (3)如果 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 ,求 x 的取值范围.



3第

2016—2017 学年度上学期辽宁省六校协作体高二期初考试 数学(文科)参考答案
一、选择题 题 号 答 案
1 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

1 2

C B A B C A A B A D

D

B 二、填空题

13、

14、0

15、3

16、

? ? 或 2 4

三、解答题 17. 解:
1 11 ? 2 ? 3 ? ? ;.............. (5 分) 2 2 1 1 1 9 (2)原式= ? 1 ? ? ? ? ..................... (10 分) 4 16 8 16
(1)原式= 2 ? 2 ?

? 18. 解:(1)因为 f ( x) ? sin 2?x ? 2 sin 2 ?x ? 1 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? ).
4

所以 f ( x) 的最小正周期 T ? 依题意,

2? ? ? . 2? ?

? ? ? ,解得 ? ? 1. ........... (6 分) ? ? (2)由(1)知 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ). 4 ? 3? ](k ? Z ). 函数 y ? sin x 的单调递减区间为 [2k? ? ,2k? ? 2 2 ? ? 3? ? 5? . 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? 2 4 2 8 8 ? 5? ](k ? Z ) .......... (12 分) 所以 f ( x) 的单调递减区间为 [k? ? , k? ? 8 8

19. 解: (1)由已知及正弦定理得, cos C (sin A cos B ? cos A sin B) ? sin C , 即 2 cos C sin( A ? B) ? sin C. 故 2 cos C sin C ? sin C ,可得 cos C ? ,所以 C ?
1 2

1 2

?
3

. …………6 分

(2)由已知及余弦定理得, a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 7 , 故 (a ? b) 2 ? 2ab ? 2ab cos C ? 7 ,又 a ? b ? 5, C ?
页 4第

?
3

,

因此, ab ? 6 ,所以 ?ABC 的面积 S ? ab sin C ?

1 2

3 3 . ……12 分 2

20. (1)证明:因为 PC ? 平面 ABCD , DC ? 平面 ABCD ,
所以 PC ? DC. 又因为 DC ? AC , PC ? AC ? C , 所以 DC ? 平面 PAC ……4 分 (2)证明:因为 AB // DC , DC ? AC , 所以 AB ? AC. 因为 PC ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , 所以 PC ? AB. 又 PC ? AC ? C ,所以 AB ? 平面 PAC 又因为 AB ? 平面 PAB , 所以平面 PAB ? 平面 PAC ……8 分 (3)解:棱 PB 上存在点 F ,使得 PA // 平面 CEF . 证明如下: 取 PB 中点 F ,连结 EF , CE , CF . 又因为 E 为 AB 的中点,所以 EF // PA. 又因为 PA ? 平面 CEF , EF ? 平面 CEF , 所以 PA // 平面 CEF ……12 分

21. 解: (1)设 P ( x, y ) ,由|PA|= 2 |PB|得
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 [ x ? (?1)]2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ? ( x ? 0) 2 ? ( y ? 1) 2 · 两边平方得 x ? 2 x ? 1 ? y ? 4 y ? 4 ? 2( x ? y ? 2 y ? 1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
2 2 2 2

整理得 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
2 2

即 ( x ? 1) ? y ? 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
2 2

|QC|最小 . (2)当 QC与l1垂直时,
|QC|min ? d ? | 3 ?1 ? 4 ? 0 ? 12 | 32 ? 42
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ?3, ·

又 | QM |? | QC |2 ? | MC |2 ? | QC |2 ? r 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
页 5第

?| QM |min ? 32 ? 22 ? 5 . 12 分

22. 解:
(1)令 x ? y ? 0 ,则 f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ,所以 f (0) ? 0 ;.………. (2 分) (2)因为 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) , 所以 f (0 ? x) ? f (0) ? f ( x) , 由(1)知 f (0) ? 0 , 所以 f (? x) ? ? f ( x) ,又函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,定义域关于原点对称, 所以函数 y ? f ( x) 为奇函数. .………. (5 分) (3)任取 x1 , x2 ? R ,不妨设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
因为当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 所以 f ( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上单调递增. .………. (8 分) 因为 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 所以 f ( x) ? f ( x ? y ) ? f ( y ) 所以 2 ? 1 ? 1 ? f (2) ? f (2) ? f (2) ? f (4 ? 2) ? f (4) . .………. (10 分) 因为 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 所以 f ( x) ? f ( x ? 2) ? f (4) 所以 f ( x ? 2) ? f (4) ? f ( x) ? f (4 ? x) 因为函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上单调递增 所以 x ? 2 ? 4 ? x 从而 x ? 1 所以 x 的取值范围为 {x | x ? 1} .. .………. (12 分)



6第



7第



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