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数学归纳法的应用



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BACHELOR ’S THESIS

中文摘要
数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法,它的应用极其广泛.本文 讨论了数学归纳法的步骤,它集归纳,猜想,证明于一体,体现了数学归纳法 的证题思路.本文归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式,几何,排列组合等 方面的一些应用问题的方法,并对应用中常见的误区加以剖析,以及

一些证法 技巧介绍,有利于提高对数学归纳法的应用能力.

关键词:数学归纳法;步骤.

Abstract
Mathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematics, it is have very broad application. In this paper, author reaserch into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz themethod of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application.

Key words:Mathematical induction; steps .

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中文摘要 ......................................................... 1 ABSTRACT ......................................................... 1 引言 ............................................................. 2 1. 数学归纳法的历史由来 .......................................... 1 1.1 1.2 基本步骤 ................................................... 2 基本形式 ................................................... 3

⒉.数学归纳法解决应用问题 ....................................... 4 2.1 2.2 2.3 2.4 代数恒等式方面的问题 ....................................... 4 几何方面的应用 ............................................. 4 排列和组合 ................................................. 5 对于不等式的证明,有时适当放大或缩小,有时用综合法和分析法 . 6

3. 常见误区及剖析 ................................................ 7 3.1 3.2 忽略了归纳的基础 ........................................... 7 归纳推理出错 ............................................... 7

4. 应用技巧 ...................................................... 9 4.1 4.2 配凑“归纳假设”法 ......................................... 9 分析法 .................................................... 10

5. 数学归纳法的推广 ............................................. 11 6. 小结 ......................................................... 12 参考文献 ........................................................ 13 致谢 ............................................................ 14

2

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引 言
在中学数学学习的过程中,有一种很常见且基本的数学方法——数学归纳 法.对于数学归纳法,有人问:为什么说数学归纳法是严格的证明方法?数学 归纳法的原理是什么?数学归纳法的证明过程为什么要有这样的规定格式?数 学归纳法的应用前景如何?下面将逐一进行解答.

1. 数学归纳法的历史由来
曾经有一个叫皮亚诺的意大利人把我们小时侯数数的过程归纳整理出来, 称作正整数公理.这个公理有五条: “简单归纳一下,前四条是说:1 是正整数, 且它不是任何正整数的后面的一个数(称作后继) ,即 1 是第一个正整数,每个 正整数都有唯一的后继,而且是正整数” ;关键是第五条: “一个正整数集合, 如果包含 1,并且假设包含 x ,也一定包含它的后继,那这个集合包含所有的正 整数. ”这一条就是数学归纳法的原理 ?1 ? .用符号表示,即: 如果 S ? N ,且满足 ?1?1 ? S (2)若 k ? S 则 k ? 1 ? S ,那么 S ? N .

根据这一原理,就有了数学归纳法,设 P ( n ) 是与正整数有关的命题.如果
(1) 当 n ? 1 时正确,即 P (1) 正确
(2) 若假设 P ( k ) 正确前提下,可以证明命题 P ( k ? 1) 也正确

那么命题对任意正整数都是正确的. 数学归纳法的正确性可以用“正整数最小数原理”加以证明,正整数最小 数原理是说,任何非空正整数集合一定含有最小数.

1.1 基本步骤
数学归纳法是数学中一种重要而独特的证明方法,对与自然数 n 有关的命 题的证明是行之有效的. 首先它的两个步骤缺一不可 , 其次它的应用非常广泛, 可以用它解决好多方面的数学问题 ? 2 ? .数学归纳法的步骤:

2

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(1) 当 n ? 1 时,这个命题是正确的
(2) 假设当 n ? k 时,这个命题是正确的,那么当 n ? k ? 1 时,这个命题也是

正确的. 数学归纳法的两个步骤缺一不可.一方面不要认为,一个命题在 n ? 1 的时 候正确,在 n ? 2 时正确,在 n ? 3 时也正确,则这个命题就正确了.老实说,不 要说当 n ? 3 的时候正确不算数, 就是 n 为 1000 的时候正确, 或者 1 万的时候正 确,对任何自然数是否正确,还得证明了再说.

1.2 基本形式
常见的数学归纳法有下列几种: 第一数学归纳法——假设 P ( n ) 是一个与自然数有关的命题,若 (1) P (1) 正确
(2) 假设 P ( k ) 成立,可推出 P ( k ? 1) 成立.则 P ( n ) 对一切自然数成立.

第二数学归纳法——若 P ( n ) 是一个关于自然数 n 的命题,若 (1) P (1) 正确

(2)

假设 P ( n ) 对 n ? k 成立,可推出 P ( k ? 1) 成立.则 P ( n ) 对一切自然数都成 立. 跳跃归纳法——设 P ( n ) 是一个关于自然数 n 的命题,若 (1) P ( n ) 对 n =1,2,3 ? j 成立
(2) 假设 P ( k ) 成立, 可推出 P ( k ? j ) 成立. P ( n ) 对一切自然数 n 则

都成立. 双重归纳法——设 P ( m , n ) 是一个关于两个独立自然数 n , m 有关的命题,若
(1) P (1, 1)成立

( 2 ) 假设 P ( m , n ) 成立,可推出 P ( m ? 1, n ) 与 P ?n ? 1, m ? 成

立. 则 P ( m , n ) 对一切自然数 ( m , n ) 成立[3].

3

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数学归纳法解决应用问题

通过对数学归纳法的了解,我们不难发现,它的应用是十分广泛的,用这 个数学方法可解决以下几个方面的数学问题[4].

2.1 代数恒等式方面的问题
有不少的代数恒等式,它的严格证明需要用到数学归纳法. 例1 数列的第 n 项,可以用公式 a n ? a1 ? ( n ? 1) d

?? ?

表示,这里 a1 是它的首

项, d 是公差. 证明:当 n ? 1 时, a1 ? a1 , ?? ? 式成立 假 设 当 n ? k 时 , ?? ? 式 成 立 , 那 么 当 n ? k ? 1 时 , 有 :
a k ?1 ? a k ? d ? a 1 ( k ? 1d )? d ? a ?1 k ? ( ? d ) ? [ 1 1 ]

?

当 n ? k ? 1 时, ?? ? 式也成立

由此可知,对于所有的自然数 n , ?? ? 式均成立.

2.2 几何方面的应用
例2 凸 n 边形的内角和等于 f ( n ) ? ( n ? 2) ? 180 ? 证明:当 n ? 3 时,就是三角形内角和为180 ,而
f (3) ? ( n ? 2) ? 180 ? (3 ? 2) ? 180 ? 180
? ? ?

?

即 n ? 3 时,命题成立 假设当 n ? k 时,凸 k 边形内角和等于 f ( k ) ? ( k ? 2) ? 180 ? 成立 因为凸 ( k ? 1) 边形可以添一条对角线而成一个凸 k 边形与一个三角形, 所以 凸 ( k ? 1) 边形内角和为凸k边形内角与三角形内角的和.

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即 f ( k ? 1) ? ( k ? 2) ? 180 ? ? 180 ?
? [( k ? 1) ? 2] ? 180
?

也就是说,当 n ? k ? 1 时,命题也成立.

2.3

排列和组合

数学归纳法最简单的应用之一,是用来研究排列和组合的公式. 例3 证明: C nm ?
n! m !( n ? m )!

1

1 证 明 : 首 先 , Cn ? n , 这 是 显 然 的 . 如 果 再 能 证 明 当 1 ? m ? n 的 时 候 ,

C n ? C n ?1 ? C n ?1
m m

m ?1

2

, 那么式子 1 也就可用数学归纳法来证明.

我们假定有 n 个不同的元素 a1 , a 2 , ? , a n , 每次取出 m 个元素的组合里,可 以分为两类,一类含有 a1 ,一类不含有 a1 ,含有 a1 的组合数,就等于从
a 2 , ? , a n , 里取 m ? 1 个元素的组合数, 它等于 C n ?1 ; 不含有 a1 的组合数, 就
m ?1

等于从 a 2 , ? , a n , 里取 m 个的组合数,它等于 C nm?1 ;所以, C nm ? C nm?1 ? C nm??1 1 下面我们证明式子 1 因为当 n ? 1 的时候,这个定理是正确的 假设当 n ? k ? 1 的时候,这个定理是正确的,那么,
C k ? C k ?1 ? C k ?1 ?
m m m ?1

( k ? 1)! m !( k ? 1 ? m )! k! m !( k ? m )!

?

( k ? 1)! ( m ? 1)!( k ? m )!

?

(这里 1 ? m ? k )

所以 n ? k 时,这个定理也是正确的 故,公式 C nm ?
n! m !( n ? m )!

是成立的.

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2.4 对于不等式的证明,有时适当放大或缩小,有时用综合法和分 析法
例4 求证 a ? a ? ? ? a ? a ? 1
?? ? ??? ? ? ?
n个 根 号

( a ? 0)

证明:当 n ? 1 时,左边= a ,右边 ? a ? 1 因为 a ? 0 ,所以 a ? a ? 1 成立 即当 n ? 1 时,命题成立 假设当 n ? k 时这个命题成立,即
a ? a ?? ? a ? ?? ? ??? ? ? ?
k个 根 号

a ?1

当 n ? k ? 1 时,
a ? a ?? ? a ? a ? a ?? ? a ?? ? ??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?
k+1个 根 号 k个 根 号

?

a ? ( a ? 1) ?

a ? (2 a ? 1) ?

( a ? 1) ?
2

a ?1

这就是说,当 n ? k ? 1 时,命题成立 由上述可知,对于 n ? N 命题成立 总之,数学归纳法是一种非常好,非常简便,应用广泛的证明命题的方法. 数学归纳法是直接证明命题的一种重要方法,一般地说,与正整数有关的恒 等式,不等式,数的整除性,数列的通项及前 n 项和等问题,都可用数学归纳法 解决.下面对数学归纳法应用中常见误区加以剖析,以及一些证法技巧介绍,从 而提高学生对数学归纳法的应用能力.

6

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3.
3.1 忽略了归纳的基础

常见误区及剖析

例5 设 n ? N ,用数学归纳法证明
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? n ? n ? 1
2

错证:假设当 n ? k 时等式成立,即
2 ? 4 ? 6 ? ? 2k ? k ? k ? 1
2

那么当 n ? k ? 1 时,有
2 ? 4 ? 6 ? ? 2 k ? 2 ? k ? 1? ? k ? k ? 1 ? 2 ? k ? 1?
2

? ( k ? 1) ? ? k ? 1 ? ? 1
2

这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式成立 剖析:缺少第一步,实际上当 n ? 1 时,等式不成立.题目本身是个错题!不要以 为第一步“当 n ? 1 时等式成立”无关紧要,可有可无,缺少第一步,相当 于失去了推理的基础[5].

3.2 归纳推理出错
(一) n ? k ? 1 时命题成立,没有用到归纳假设. 例6 用数学归纳法证明 n 2 ? n ? n ? 1 ,
(n ? N )

错证: (1) 当 n ? 1 时, 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ,不等式成立
(2) 假设当 n ? k 时,不等式成立,即

k ? k ? k ?1
2

那么当 n ? k ? 1 时

? k ? 1 ? 2 ? ? k ? 1? ?
?

k ? 3k ? 2
2

k ? 4k ? 4
2

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? k ? 2 ? ( k ? 1) ? 1

这就是说,当 n ? k ? 1 时不等式也成立 综合, (1) , (2) 知,原不等式对 n ? N 成立 剖析:在数学归纳法的第二步中,在推证 n ? k ? 1 时命题也成立时,必须把归纳 假设即 n ? k 时的命题作为条件用上,否则就不是数学归纳法. 正解: (1) 当 n ? 1 时,
1 ? 1 ? 1 ? 1 不等式成立
2

(2) 假设当 n ? k 时不等式成立,即

k ? k ? k ? 1 ,亦即 k ? k ? ( k ? 1)
2
2

2

当 n ? k ? 1 时,有
( k ? 1) ? ( k ? 1) ?
2

( k ? k ) ? (2 k ? 2)
2

?

? k ? 1? 2 ? ? 2 k ? 2 ? ?
k ? 4k ? 4
2

k ? 4k ? 3
2

?

? k ? 2 ? ( k ? 1) ? 1

即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立 综合 (1) , (2) 知,原不等式对 n ? N 成立. (二) 证明 n ? k ? 1 时命题成立,虽然用到归纳假设,但推理过程有误. 例7 设 n ? N ,用数学归纳法证明: 2 n ? n 2 . 错证: (1) 当 n ? 1 时, 21 ? 12 ,不等式成立
(2) 假设当 n ? k 时,不等式成立,即 2 ? k
k 2

那么当 n ? k ? 1 时,有

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2

k ?1

? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? k ? 2 k ? 1 ? ? k ? 1?
k k k 2

2

这就是说,当 n ? k ? 1 时不等式也成立. 所以,当 n ? N 时, 2 n ? n 2 成立. 剖析:第二步证明有错.一般地,对自然数 k ,当 k ? 3 时, k 2 ? 2 k ? 1 才成立. 此题本身是个错题!事实上,当 n ? 2 ,3,4时不等式“ 2 n ? n 2 ”不成立, 当 n ? 5 时,命题 2 n ? n 2 才是正确的.

4.
数学归纳法的第二步的证法

应用技巧

4.1
例8

配凑“归纳假设”法
设用数学归纳法证明: ?
2 1 1 2
2

?

1 2
3

??

1 2
n

?1

证明: (1) 当 n ? 1 时,不等式显然成立
(2) 假设当 n ? k 时不等式成立, 即

?1. 那么, n ? k ? 1 当 k 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 时,有 ? 2 ? 3 ? ? k ? k ? 1 ? ? ( ? 2 ? 3 ? ? k ) ? ? ? 1 ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3

1

?

1

?

1

??

1

这就是说,当 n ? k ? 1 时不等式成立. 综合 (1) 、 (2) 知原不等式成立. 评注:在将归纳假设“ ?
2 1 1 2 1
2

?

1 2
3

??

1 2
k

? 1 ”作为条件证明 1 2 ? 1 2 1 2
2

“ ?
2 1

1

1 2
2

? 1 2
2

1 2
3

?? 1 2
3

1 2
k

? 1 2
k

2

k ?1

? 1 ”时,应设法从 1 1 2
2

? ?

1 2
3

??

1 2
k

?

1
k ?1

中配

凑出 ?
2

?

??

,但若按“ ?
2

?

1 2
3

??

1 2
k ?1

k

? 1?

2 1
k ?1

,要其小

2

于1,则显然不可能! ”至此,有的同学会认为此题不能用数学归纳法,其实 不然,只是配凑不恰当而已.

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4.2
例9

分析法
求证 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ?
4 7 1 1 1 3n ? 2 )?
3

3n ? 1

证明: (1) 当 n ? 1 时,左边 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 4 ,不等式成立
(2) 假设当 n ? k 时不等式成立,即

(1 ? 1)(1 ?

1 4

)(1 ?

1 7

) ? (1 ?

1 3k ? 2

)(1 ?

1 3k ? 1

)?

3

3 k ? 1(1 ?

1 3k ? 1

)

要证 n ? k ? 1 时不等式成立,只需证
3

3 k ? 1(1 ?

1 3k ? 1
3

)?

3

3k ? 4 ? 1 ?

1 3k ? 1

?

3

3k ? 4 3k ? 1

? (

3k ? 2 3k ? 1

) ?
3

3k ? 4 3k ? 1

? (3 k ? 2) ? (3 k ? 4)(3 k ? 1)
? 36 k ? 8 ? 27 k ? 4

2

即证 9 k ? 4 ? 0 ,此不等式显然成立. 这就是说,当 n ? k ? 1 时不等式成立. 综合 (1) 、 (2) 知原不等式成立. 评注:有上可知,用分析法完成 n ? k ? 1 时的命题的证明,简单易行,是一个妙 法.另外,对于本题在 n ? k ? 1 时的证明过程上,我们又有如下证法,即要 证 n ? k ? 1 时不等式成立,只需证 3 3 k ? 1(1 ?
? [ 3 3 k ? 1(1 ?

1 3k ? 1

)?

3

3k ? 4
2

1 3k ? 1

)] ? ( 3 3 k ? 4 ) ?
3 3

(3 k ? 2) ? (3 k ? 4)(3 k ? 1)
3

(3 k ? 1)
9k ? 4 (3 k ? 1)
2

2

?
1 3k ? 1

?0

? 3 3 k ? 1(1 ?

)?

3

3 k ? 4 成立.

所以,当 n ? k ? 1 时不等式成立

10

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5.

数学归纳法的推广

人们通常认为,数学归纳法用于证明与自然数有关的命题,采用的是等 距的“间断归纳”,是否存在等距的(或不等距的)“连续归纳”?下面以 一个不等式的证明对此作出正面回答[6]. 例10 证明不等式 2 x ?
9 7 x , x ? (6, ?? )
2

证明: ?6 , ?? ? ? ?6 ,7 ? ? ?7 ,8 ? ? ? ? ?n , n ? 1? ? ?
x ? ? 6, 7 ? 时,
2 ? 2 ? 64 ,
x 6

9 7

x ?
2

9 7

? 7 ? 63
2

这就证明了 n ? 6 , x ? ? 6, 7 ? 时, 不等式 2 x ?
9 7 x 成立
2

假设 n ? k 时,不等式成立,即当 x ? ? k , k ? 1? 时, 不等式 2 x ?
9 7 x 成立
2

则当 n ? k ? 1 时, x ? ? k ? 1, k ? 2 ? , ? k ? N , k ? 6 ? 时, 据假设,有 2 x ?1 ?
2 ? 2?2
x x ?1

9 7

( x ? 1) ,又 x ? 6 ,于是
2

?

9 7

? 2 ? x ? 1?

2

? ? ?

9 7 9 7 9 7

?x
2

2

? x ? 4x ? 2
2

?

x ? x
2

9 7

? x ? 4? x

这就证明了当 x ? ? k ? 1, k ? 2 ? 时

11

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不等式 2 x ?

9 7

x 成立
2

根据归纳原理,对 n ? N , n ? 6 的任意正整数 n , 当 x ? ? n , n ? 1? 时,不等式 2 x ?
9 7 x 成立
2

即对 x ? ?6 ,7 ? ? ?7 ,8 ? ? ? ? ?n , n ? 1? ? ? ? ?6 , ?? ? 时, 不等式 2 x ?
9 7 x 恒成立.
2

这里的连续区间,还可进一步推广为更一般的数集情形: 第一步是验证当 x ? D 0 时命题成立 第二步假设当 x ? D k 时命题成立,推出 x ? D k ?1 时命题成立,根据归纳原理, 得到命题对 x ? D 0 ? D1 ? ? ? D n 或对 x ? D 0 ? D1 ? ? 成立.

6. 小结
数学归纳法是高中数学中一种常用的证题方法,应用极其广泛。既是高考的 一个热点,又是教学的一个难点,与其他证明方法相比,由于数学归纳法格式固 定,常使学生看似简单易懂,实则又难以理解.数学归纳法又是一种“归纳—— 演绎法”,科学地发现总是要经过“发现——论证”的阶段,因此在数学归纳法 中要注意引导学生发现要证明的论证. 数学归纳法是在人类认识自然数的过程中 发展起来的,它本身是一种文化[7].数学归纳法提供了一种数学的思维方法,我 们学习数学归纳法时应强调它的思维作用, 学会用数学归纳法的思维方式去思考 问题,在充分理解数学归纳法的原理以及证题中的一些要点之后,才能使这种知 识融入整个知识体系,才能运用数学归纳法去证明一些问题,解决一些问题. 总之, 尽管数学归纳法是一种证明方法, 但实质是递推思想, 只要把握住“递 推”,巧妙地进行命题转换,以递推分析为主,这样就可以理解其实质,掌握证 题技巧,真正提高分析问题解决问题的能力.

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参考文献
[1]吕宝兴.关于数学归纳法[J].数学教学. 2004.4 [2]乌仁.浅谈数学归纳法的两个步骤及其应用[J].赤峰学院学报. 2007.6 [3]余元希等.初等代数研究(上册)[M].高等教育出版社 [4]张黎民.数学归纳法的应用与技巧[J].青海师范大学民族师范学院学报. 2001.1 [5]武瑞雪.数学归纳法应用技巧及常见误区剖析[J].语数外学习(高中版). 2007.11 [6]李世杰.数学归纳法应用功能的拓广[J].上海中学数学. 2004.5 [7]韩文.例析数学归纳法的应用[J].安徽电子信息职业技术学院学报. 2006.6

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致 谢

本论文是在王卫东老师的悉心指导下完成的. 感谢老师对我的辛勤培育. 从 论文的立题到论文的撰写整个过程无不浸透着老师的心血.她广博的学识,严 肃的科学态度,严谨的治学精神,耐心细致的言传身教深深感染激励着我,将 使我终身受益.导师不但在学习上给予我耐心细致的指导,在生活中也给了我 莫大的关怀,这份师恩我将终生难忘. 此外,我的论文也受到了周围同学的很多帮助,再次对他们表示深深的感 谢.我为自己能够在这样一个温暖和谐的集体中学习工作,深感温暖、愉快和 幸运.

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