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高二数学必修五 2.4等比数列第一课时



等比数列(一)

【问题导学】

1 1 1 ① 1,2,4,8,…;② 1、 、 、 、 ?? 2 4 8 2 3 、 20、 20 、 20 ?? ③ 1
它们的共同特征是 : 从第2项起,每一项与其前一 项的比是同一个常数. 2、等比数列的定义: 从第2项起,每一项与其前一 项的比是同一个常数的数列,称为等比数列, 用递推

公式表示等比数列:a n ?1 ?q an

1、课本提到的以下几个例子:

【 1、判断下列数列是否为等比数列。若是,则公 预 比是多少,若不是,请说明理由: 习 (1) 16,8,4,2, 1, … ; 是,公比是0.5 自 测 (2) 5,-25,125,- 625,…; 是,公比是-5 】 (3) 1,0,1,0,1,…; 不是
(4) 2,2,2,2,2,…; 是,公比是1

(5)

1,x,x ,x ,x ,?

2

3

4

x =0时,不是;
否则,是.公比为x

(1)an ? 0 即等比数列的每一项都不为0; (2)q ? 0 即等比数列的公比不为0; (3)q ? 1 为非零常值数列;

思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗? (2) 公比为1的数列是什么数列? (3) 既是等差数列又是等比数列的数列

存在吗?
(4) 常数列都是等比数列吗?

a、G、b 3、若在 a 与 插入一个数 G ,使得 等比中项 成等比数列,则称 G 为 a 与 b 的__________.
G ? ? ab 且_________.
思考?? 等比数列中任意两项都有等比中项

? 2 2 2、2 与 4 的等比中项是________.
3、等比数列{ an }中, 已知 a1

? 2,q=3,
n ?1

2 ? 3 54 则a4 ? _____ ,an ? _________.

解:由题意可知:a2 ? 8, a4 ? 18 由等比数列 n ?1 通项公式 an ? a1q 得

例1,等比数列 {an ] 的第2项与第4项分别是4和 18,求 a1 及 q 通项公式。

?a1 q ? 8 3 9 2 q?? q ? ? 3 2 4 ?a1q ? 18 16 16 3 n ?1 3 , an ? ? ( ) 当 q? 时, a1 ? 3 3 2 2 3 16 16 3 n ?1 q ? ? 当 时,a1 ? ? , an ? ? ? (? ) 2 3 3 2

10 变式1:在等比数列 {an } 中,a3 ? 1, a2 ? a4 ? 3 求通项公式。 解:由题意得

?a1q 2 ? 1 ? ? 10 3 ?a1q ? a1q ? 3 ?
2

a1q ? a1q 3 10 ? 2 a1q 3

1 ? q 2 10 ? q 3

1 q ? 3或q ? 3q ?10q ? 3 ? 0 3 1 1 n ?1 n ?3 q ? 3 当 时, a1 ? , an ? ? 3 ? 3 9 9 当 q ? 1 时,a1 ? 9, an ? 9 ? ( 1 ) n ?1 ? 33? n 3 3

例2: 某种放射性物质不断变化为其他物质,每 过1年剩留的这种物质是原来的80%,则这种物质 的半衰期为多少年(半衰期指放射性物质质量衰变 lg 2 ? 0.3 为原来的一半所需要的时间。附: 解:设这种物质的原始质量为1,经过n年后,剩 余量为 an ,由题意可以知道,数列{an } 为一等比 a1 ? 0.8, q ? 0.8 ,则 数列。其中,

设 an ? 0.8n ? 0.5, 两边取对数得

an ? 0.8n

n lg 0.8 ? lg 0.5

lg 0.5 ? lg 2 ? 0.3 n? ? ? ?3 lg 0.8 lg 8 ? 1 0.9 ? 1

答:这种物质的半衰期大约为3年。

学案P41



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