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学案42 同角三角函数的基本关系与诱导公式


2013 届高二文科基础复习资料(1)

1

学案 42 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、课前准备: 【自主梳理】 1.同角三角函数的基本关系式: 平方关系: 商数关系: 2.诱导公式: 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 二 三 四 五 六

2k? ? ? (k ? Z )

? ?a

??

? ??

?
2

??

?
2

??

【自我检测】 1. cos 210? ?



2. ? 为第二象限角, tan ? ? ?
2

8 ,则 sin ? ? 15

. . .

3. sin (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(?? ) ? 1 ? 4. sin ? ?

1 ? , 则 cos( ? ? ) ? 5 2


5.化简: 1 ? sin 2 400? ? 6.已知 tan ? ?

1 sin ? ? 3cos ? ,则 ? 2 sin ? ? cos ?



二、课堂活动: 【例 1】填空题:

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2

(1)已知 cos ? ? ?

8 , 则 tan ? ? ________. 17 1 , 且 ?180? ? ? ? ?90?, 则 cos(15? ? ? ) ? 3


(2)已知 cos(75 ? ? ) ?
?

(3)已知 f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ,则化简 f (? ) ? ? tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )
1 ? sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? sin ? cos ? ? ______________.
2



(4)若 tan ? ? 3, 则



【例 2】 (1)已知 sin ? ? cos ? ? (2)已知 sin ? ? cos ? ?

2 ,求 sin ? cos ? 及 sin 4 ? ? cos4 ? 的值;

1 (0 ? ? ? ? ) ,求 tan ? 的值. 5

【例 3】 (1)化简: (

1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? )?( ? ); 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?

, k ( ? . ) (2) f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos(? x ? ? ) , 设 其中 a, b, ? ? R , a ? 0 ? ? k Z ? 且b
若 f (2009) ? 5, 求 f (2012) 的值.

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3

课堂小结

三、课后作业 1.已知 ? ? (? , ? ), tan ? ? 2, 则 cos? ? 2.记 cos(?80?) ? k , 则 tan100? ? 3.已知角 ? 终边上一点 P (sin . . .

3 2



2? 2? , cos ), 则角 ? 的最小正值为 3 3 sin ? ? cos ? 3? ? 2, 则 sin(? ? 5? ) ? sin( ? ? ) ? 4.若 sin ? ? cos ? 2
5. cos(

?
6

??) ?

5? 3 , 则 cos( ? ? ) ? 6 3

. .

6.已知角 ? 终边上一点 P(3a, 4a)(a ? 0) ,则 cos(540? ? ? ) ?

7.求值:

1 ? 2sin10? cos10? cos10? ? 1 ? cos2 170?

? _________.
1 ? n, 则 lg sin A ? ______________. 1 ? cos A

8.已知 A 为锐角, lg(1 ? cos A) ? m, lg

9.已知 cos(? ? ? ) ? ? (1) sin(2? ? ? ) ;

1 ,且 ? 是第四象限角,计算: 2

(2)

sin ?? ? (2n ? 1)? ? ? sin ?? ? (2n ? 1)? ? sin(? ? 2n? ) ? cos(? ? 2n? )

(n ? Z ) .

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10.已知 ? 是三角形的内角,且 sin ? ? cos ? ? (1)求 tan ? 的值; (2)把
2

1 . 5

1 用 tan ? 表示出来,并求值. cos ? ? sin 2 ?

四、纠错分析 题 号 错 题 卡 错 题 原 因 分 析

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学案 42 同角三角函数的基本关系与诱导公式参考答案
一、课前准备: 【自主梳理】 1. sin ? ? cos ? ? 1
2 2

tan ? ?

sin ? cos ?
三 四 五 六

2. 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 【自我检测】 1. ? 一 二

2k? ? ? (k ? Z )
sin ?

? ?a
? sin ?

??
? sin ?

? ??
sin ?

?
2

??

?
2

??

cos?
sin ?

cos?
? sin ?

cos?
tan ?

? cos?
tan ?

cos?
? tan ?

? cos?
? tan ?

奇变偶不变,符号看象限

3 2

2.

8 17

3.2

4. ?

1 5

5. cos 40?

6. ?

5 3

二、课堂活动: 【例 1】 (1) ? 【例 2】 解: (1)由题意, (sin ? ? cos ? ) ? sin
2 2

15 15 或 8 8

(2) ?

2 2 3

(3) ? cos?

(4)

5 2

3 10

? ? 2sin ? cos ? ? cos2 ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 2 ,

∴ sin ? cos ? ?
4 4

1 2
2 2 2 2 2

∴ sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos ? ) ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 2 ?
2 2 2

1 1 ? ; 4 2 1 , 25

(2)由题意, (sin ? ? cos ? ) ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ?

12 ?0 25 ∴ sin ? ? cos ? ? 0
∴ sin ? cos ? ? ?

∵0 ?? ??

∴ sin ? ? 0

∴ cos ? ? 0

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又 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ?
2

49 25

∴ sin ? ? cos ? ?

7 5

又 sin ? ? cos ? ? ∴ tan ? ? ?

1 5

∴ sin ? ?

4 3 , cos ? ? ? 5 5

4 . 3

【例 3】解: (1)

1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) (1 ? sin ? )(1 ? sin ? )

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? ) ? (1 ? sin ? ) 2sin ? ? ? ? ? ? 2 2 cos ? cos ? cos ? cos ? cos ?

1 ? cos ? 1 ? cos ? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) (1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) ? ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) (1 ? cos ? )(1 ? cos ? )
? (1 ? cos ? ) ? (1 ? cos ? ) 2cos ? ? sin ? sin ?
∴原式 ? ?

? 4 ? 为第一、三象限角 . ?-4 ? 为第二、四象限角

(2)由题意 f (2009) ? a sin(2009? ? ? ) ? b cos(2009? ? ? )= ? a sin ? ? b cos ? ? 5 , ∴ f (2012) ? a sin(2012? ? ? ) ? b cos(2012? ? ? )=a sin ? ? b cos ? ? ?5 . 三、课后作业 1. ?

5 5

2. ?

1? k 2 k

3.

5? 3

4.

3 10

5. ?

3 3

6.

3 5

7.1

8.

m?n 2

9. 解: 由已知 cos(? ? ? ) ? ? cos ? ? ?

1 1 3 , cs ? ? , ? 是第四象限角, s ? ? ? ∴o 又 ∴n i 2 2 2

(1) sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ? (2)原式 ?

3 ; 2

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 2 ? ?? ? ?4 . sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? cos ? 4 10. 解: (1) tan ? ? ? 3

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(2)

1 cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? ? ? cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ?


1 25 ?? . 2 cos ? ? sin ? 7
2


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