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浅谈函数与方程中的零点问题



龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 浅谈函数与方程中的零点问题 作者:刘春秀 来源:《读写算· 素质教育论坛》2014 年第 09 期 摘 要 方程的根与函数的零点将方程与函数紧密联系在一起,它告诉我们求方程的根可以 通过求函数的零点产生,当然,求函数的零点也可以通过求方程的根产生。二分法是通过函数 的零点求方程的近似解的一种方法,在用二分法求方程的近

似解中均蕴涵了“函数与方程的思 想”和“数形结合的思想”。 关键词 函数 方程 零点 中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2014)09-0088-02 函数与方程思想是高中数学中的一种基本思想和方法,涉及的知识点多,几乎渗透到中学 数学的各个领域,也是高考考查的重点,我们只有教会学生去分析问题、转化问题,才能达到 解决问题的目的。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性 质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研 究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达 到化难为易,化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重 点。 函数思想与方程思想的联系十分密切。函数的思想是分析和研究数学中的数量关系,利用 函数的图像和性质将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问 题、不等式问题和某些代数的问题,巧用函数的思想,会使问题迎刃而解。方程的思想是分析 数学问题中变量间的等量关系,利用解方程或方程组进一步去分析问题并解决问题。具体体现 有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题都可利用解二元方程组来 巧妙解决。 方程的根与函数的零点将方程与函数紧密联系在一起,他告诉我们求方程的根可以通过求 函数的零点产生,当然,求函数的零点也可以通过求方程的根产生。二分法是通过函数的零点 求方程的近似解的一种方法,在用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和 “数形结合的思想”。 函数零点的概念是在分析了众多图像的基础上,由图像与 x 轴的位置关系得到的一个形象 的概念,准确认识零点的概念要注意以下几点:(1)函数的零点是实数,是函数的图像与 x 轴交点的横坐标,而不是一个点;(2)函数 y=f(x)的零点也是方程 f(x)=0 的实数解; (3)并非所有的函数都有零点。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 判断函数零点个数的方法:(1)函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方程 f(x)=0,也可以把函数式 y=f(x)看做二元方程 y-f(x)=0。令 f(x) =0 直接求出方程的解,有几个解函数就有几个零点,这里涉及到解方程的问题数零点就是函 数的图像与 x 轴的交点的横坐标就是对应方程的根,函数有几个零点对应方程就有几个根。对 于二次函数的零点非常有研究的价值:它涉及判别式、韦达定理、二次函数的图像等重要知识 点。研究二次函数的零点有利于培养学生综合运用数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论 思想等多种数学思想方法(2)如果函数 y=f(x) 在[a,b]上图象是连续的,并且在闭区间的 两个端点上的函数值互异即 f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么,这个函数在(a,b)内 必有惟一的一个零点。利用零点存在定理结合函数图像与性质(如单调性、奇偶性)确定函数 零点的个数;(3)通过函数图像与 x 轴的交点个数,


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