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等差等比数列下标性质及应用



等差等比数列下标性质及应用
戎国华

一.

教学目标: (一)知识与技能:等比等差数列的下标性质; 比数列的下标性质及其 推导 ?教学目标:掌握等差等 ? ?方法 ? (二)过程能力与方法 学生的猜想能力 ?能力训练:进一步培养 ?教学重点:等差等比数 列的下标性质 ? ? 列下标性质的灵活应用 与实际应用 ?教学难点:等比等差

数 (三)态度情感与价值观:培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维, 追求新知的创新意识;通过对等差等比数列的研究,从而渗透特殊与一般的 辩证唯物主义观点 (四)教学模式:多媒体,师生互动
一.新课引入

等差数列?an ?中, a1 ? a5与a2 ? a4的关系?
答:a1 ? a5 =a2 ? a4

等差数列?an ?中, a3 ? a8与a5 ? a6的关系?
答:a3 ? a8 =a5 ? a6
二.等差数列下标性质:

1.等差数列?an ?中, 有am , an , ap , aq

am ? an ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d ? ? 证明: am ? an ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 2a1 ??(m ? n ? 2)d ? ? a p ? aq ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d ? 证明: ? ?
qa ? am ? an p? a p ? q

a ? a ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d ? ? ? am ? an ? a p ? aq

2.(变形)等差数列?an ?中, 有am , an , ap

等比数列?an ?中, a3 ? a6与a2 ? a7的关系?

答:a3 ? a6 =a2 ? a7
等比数列?an ?中, a2 ? a10与a5 ? a7的关系?

答:a2 ? a10 =a5 ? a7
三.等比数列下标性质:

1.等比数列?an ?中, 有am , an , ap , aq

a m ? an ? a1q m?1 ? a1q n?1 ? a12 q m? n?2 ? ? 证明: ? a p ? aq ? a1q p ?1 ? a1q q ?1 ? a12 q p ? q ?2 ? ? ? a m ? an ? a p ? aq

2.(变形)等比数列?an ?中, 有am , an , ap

四.例题选讲: 例1.设?an ?为等差数列
( 1 )若a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 2006 , 求a6 ? a7
解: a? ? ? a ?a a a ? ? a6a ? a ? 1003 解: a a ? a 2? a ?a a ?2006 2006 ? ?7a ? 1003 22 3 10? 11 ? ( 6 7) 2 3 10 11 6? 7) 6 10 例 ( .a 1 )等差数列 a 中, a ,7求 S18 n? 4 ? a15 ? 解: (a1 ? a a2 ?? aa ))? ?a a19 ?aa 3 ?20a ) ? 54 解: (a ?((a a18 )) ?? ( 3( a1a ? ) ? 54 33 19 ? 20 1a 20 1 ?2 18 20

?an ?中,a4 ? a15 ? 10, 求S18 例2 ( .1 )等差数列
?an ?中,a5 ? 7, 求S9 (2)等差数列 ?an ?中,a5 ? 7, 求S9 (2)等差数列

18 () a ? a ) )a ? a20 解: (a1 ? a2 ? a20( ((a ? a ? ) ? 3 a ?20a ) ? 54 解: ( a a2 ? a )? ? a ? aa )? ? ( 3( a ? a ) ? 54 1a 18 1 33 18 19 20 1 20 1? 18 19 20 ? S ? ? 10( a a )1? ? ? S ? ? 9 (a ? a 90 解: 20 1 20) 18 4 15 22 18 (a a?? aa )) 20( S20 ?9 10( a1? ?a a )? ? 90 ?? S18 ? ? 1 1 1820 ? ( a4 解: 20) 15 22

9 ((a (2 2a a55)) 9 a? ? a 9 ) 9( 解: S ?9 9 ? 63 解: S ? 11 9 ? ? aa 99 ? 5 5? 63 2 2 2 2 9 ((a ? a ) ( 2 a ) 9 a ? 9 ( 2 a ) 例 3. 等差数列 a 中 , 若 a ? a ? a 1 9 5 1 ? 9 5 1 n ?? 2 ? 63 3 ? ... ? a10 ? p, 解: S ?9 9 解: S ? ? aa 99 ? 5 5? 63 2 2 2 2

a11 ? a12 ? a13 ? ... ? a20 ? q,求a21 ? a22 ? a23 ? ... ? a30?

解:a21 ? a22 ? a23 ? ...? a30 ? q ? q ? p

(1)a1 ? a2 ? a3 ? ................ ? an ? (1)a1 ? a2 ? a3 ? ................ ? an ? ? 思考:等差数列?an ?中, (2)a n ?1 ? an ? 2 ? an ?3 ? ........ ? a2 n ? ? 思考:等差数列?an ?中, (2)a n ?1 ? an ? 2 ? an ?3 ? ........ ? a2 n ? ? (3)a 2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? a2 n ?3 ? .... ? a3n ? (3)a 2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? a2 n ?3 ? .... ? a3n ? ? ? S n , S 2 n ? S n , S3 n ? S 2 n ? S n , S 2 n ? S n , S3 n ? S 2 n

思考: ?an ?中, a1 ? 0, d ? 0, 若S9 ? S17 , 则n为多少时前n项和Sn有 等差数列
最大值?

? 4a ( a ?0 0? ?a a13 ? a ? 0 ? a ?? 0 是最后一个正数项 ?a a ?0 0 ? a ? 0是最后一个正数项 是最后一个正数项 ? 44 ( ??aa ))? ? a ? 0 ? a 0 13 14 13 14 13 ? ( a ? ? a ? 0 是最后一个正数项 例()一个项数为 5. 1 36 项的等差数列的前四项和为 ,末四项和为67, 13 14 13 14? 13 13 14 14 13 ? a 14 ) ? 0 S =396, 13 14 1313 例 前四项和为 21 ,末四项和为 67, 21 ? a10 ? a11 ? a12 ? a13 ?4. a一个等差数列 ? a ? a ? a ? 0 14 15 16 17n 解: S ? S13 最大 9 ? S17 ? a10 ? a11 ? a12 ? a13 ? a14 ? a15 ? a16 ? a17 ? 0 ? S13 最大 ? S 最大 13 13 求 S 求项数 n? ? 0 ? a13 ? a14 ? 0 ? a 36 13 ? 0是最后一个正数项 ?4 (a13 ? a ? a13 ? 0是最后一个正数项 14 ) ? 0 ? a13 ? a14 ? 0 ? 练习:已知等比数列 ann?? 解: a3a ?a ? 21, ?a a 67 例()一个项数为 5. 1 1a 36 项的等差数列的前四项和为 21 ,末四项和为 67 , 例()一个项数为 5. 项的等差数列的前四项和为 21 ,末四项和为 67 , 例()一个项数为 36 ,末四项和为 , 2 ?? 4 项的等差数列的前四项和为 n ?a 2 ? n ?3 ?21 解: a1 ? ?aa ? a ?a21, an?1? ?aa ? a ? 67 67
2 4 6 a ? 5 a 2 解: a2 a4 3 ? a3 4 ; a 4 6 5 36( ? )) 2 n (a1a ? a )a 36( a ? na 11 36 36 ? 7 a ? 0 ? a ? 0 ? S ? S 最大 2 ? 7 a ? 0 ? a ? 0 ? S ? S 最大 ? 7 a ? 0 ? a ? 0 ? S ? S 最大 13 13 12 13 13 13 12 13 a 88 ? a ? 22 ? 396 ? a )13 ?2 a36 ? S ? ? ? 4(a ? a ? 88 ? 13 a ?22 22 ? S ? ?396 396 13 12 13 12 13 1? 36 n36 1 36 1 n ? 36 n) 1 36 213 2 25 ? a a ? a ? a a ? 2 a2 a ?? a ? 3 a > 0, a ? 100, 求 lg a ? lg ? ? lg a 例 6. ?4( ? 2n 4 3a 5 4a 6 ? 31 a 3 5 5 2 2 2 ? a a ? 2 a a ? a a ? ? a a ? a ?的值。 25 1 100 2 2 4 3 5 4 6 3 3 5 5 100 ? n ? 36 ? a ? 5 50 50 3 ? 5 lg ?alg a ... aa ...a ?( lg a a )50)50 ? lg 100 ? 100 解: a ?a a ?a ?5 ? 100, 求 lg a ? ? ? lg a? 的值。 ? lg aa a a a ? lg a (a ? lg 100 ? 100
1 2 3 4 n n ?1 n ?2 n ?3 ? S 最大 13 n4 (a1 ? an ) 求a3 ? a5的值。 例 5.等比数列 求 S36 求 S a > , a若 ,n 且 an0? 0,a2 a4 ? 2a3a5 ? a ?1? ?中 6 ? 25, 36( a1? ?n a36 ) ? 36 4(a1 ? an )??n88 ?a ? 396 ? 16 1 ? an ? 22 ? S n ? 2 2 ? 4( a ? a ) ? 88 ? a ? a ? 22 ? S ? 2 解: a ? a ? a ? a ? 21, a ? a ? a ? a ? 67 解: S ? S ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? 0 解: a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? 67 a ? 21, a ? a ? a ? a ? 67 条件改为 S36 ? S ? 解: S ? S ? aa ? a35 a a a14 a15 ? a16 ? 0 ? 396 1 1 36 36 ? 2 3 36 35? 34 33 1 2 36 35 34 33 9 17 10 11 12 13 14 15 16 9 17 10 11 12 13 14 15 16 1 2 44 36 34 33 解: a9 a ? a ;a ? a 2 2? 93 16 9 17 10 11 12 13 ? 17 10 11 12 13 14 15 16

解: S ?S S ?a a ? a11 ? a ? a ? a ?? aa ?? a16 ?? a ?? 0 ?a a ? a ? a ? a15 ? a? ? a17 ?0 0 解: SS ? a ? a a a 9? 17 ? 10 ? 11 12 13 14 15 17 99 17 10 11 ? 12? 13 14 16 a 170 解: ? S a ? a ? a ? a 9 17 10 12 13 17 ? a 10 ? a11 12 13 1414 15 15 16 16 17 ?

an>0, a1a100

课后总结:

3 1

5

2

100

1 21 32 3 99 99 100 100

1 100 1 100

? a ? a99 ? a98 ? ... ?a ?a a 1a100 2 a? 99 a 3 a? 98 ... 1a 100 2? 3a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
50 对 50 对

5050 50 ? lg a ... a99 a100 a100 )50 ? 100 ?? 100 lg aa a ... a lg( (a a ?lg lg 100 100 1a 99a 100 ? lg 1 1a 22 33 1a 100 ) ? ?a a22a a99 a98 ? ... aa ? ... 1a 100 ? 99 ? a3 1a 100 3 ? 98 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 50对 对 50



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