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北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练:导数及其应用



北京市 2016 届高三数学理专题突破训练

导数及其应用
1、(2015 年北京高考)已知函数 f ( x) ? ln (Ⅰ)求曲线 f ( x) 在点 ?0, f ?0?? 处的切线方程; (Ⅱ)求证:当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? 2? ?x ?
3

1? x . 1? x

?

? ? x ? (Ⅲ)设实数 k 使得 f ( x ) ? k ? ?x ? 3 ? ? 对 x ? ?0,1? 恒成立,求 k 的最大值. ? ?

x3 ? ?; 3? ?

2、(2014 年北京高考)已知函数

f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0, ] , 2

?

(1)求证: (2)若 a ?

f ( x) ? 0 ;

? sin x ? b 在 (0, ) 上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. 2 x

3、(2013 年北京高考)设 L 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.

4、(朝阳区2015届高三一模)已知函数 (1)当a = ?1时,求函数 f (x)的最小值; (2)当a≤1时,讨论函数 f (x)的零点个数。

5、(东城区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ? x ? a ? e (Ⅰ)当 a ? e 时,求 f ( x ) 在区间 [1,3] 上的最小值;
2

?x



(Ⅱ)求证:存在实数 x0 ?[?3,3] ,有 f ( x0 ) ? a .

6、(房山区 2015 届高三一模)已知 f ( x) ? ?

1 2 ax ? x ? ln(1 ? x) ,其中 a ? 0 . 2 (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在点 (3, f (3)) 处切线斜率为 0 ,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;
(Ⅲ)若 f ( x ) 在 ?0, ??? 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围.

7、(丰台区 2015 届高三一模)设函数 f ( x ) ? e x ? ax , x ? R . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 [0, a ] 上的最大值.

8、(海淀区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的零点及单调区间; (Ⅱ)求证:曲线 y ?

1 ? ln x . x2

ln x 存在斜率为 6 的切线,且切点的纵坐标 y0 ? ?1. x

9、(石景山区 2015 届高三一模)已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

1? a (a ? 0) . x

10、(西城区2015届高三一模)设n∈N*,函数

,函数

,x∈(0,+∞),

(1)当n =1时,写出函数 y = f (x) ?1零点个数,并说明理由; (2)若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线 l : y =1 的两侧,求 n 的所有可能取值。

11、(北京四中 2015 届高三上学期期中)已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?

x3 ? x 2 ? 2ax(a ? 0). 3

(Ⅰ)若 x ? 2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围.

12、(朝阳区 2015 届高三上学期期中)已知函数 f ( x) = (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (1, 2) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

x2 ,a ? R . x- a

13 、 ( 东 城 区 示 范 校 2015 届 高 三 上 学 期 综 合 能 力 测 试 ) 已 知 定 义 在 ?1, ? ?? 上 的 函 数 f ?x ? ? x ? ln x ? 2 ,

g ?x ? ? x ln x ? x 。
(I)求证: f ?x ? 存在唯一的零点,且零点属于(3,4); (II)若 k ? Z 且 g ?x? ? k ?x ? 1? 对任意的 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。

14、(昌平区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f (x) =ln x-a2x2+ax (a∈ R ). ( I ) 当 a=1 时,求函数 f (x)的单调区间; ( II ) 若函数 f (x)在区间 (1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围.

eax ,a?R . 15、(朝阳区 2015 届高三上学期期末)设函数 f ( x) ? 2 x ?1
3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; 5 1 (Ⅱ)设 g ( x) 为 f ( x ) 的导函数,当 x ? [ , 2e] 时,函数 f ( x ) 的图象总在 g ( x) 的图象的上方,求 a 的取值范围. e
(Ⅰ)当 a ?

16、(大兴区 2015 届高三上学期期末)已知 f ( x) ?

ax ? 2 ( a ? 0) . ( x ? 1) 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x)在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)确定函数 f ( x)的单调区间,并指出函数 f ( x) 是否存在最大值或最小值.

参考答案 1、解析:(Ⅰ) 因为

f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,所以

f ' ( x) ?
又因为

1 1 ? , 1? x 1? x

f ' (0) ? 2 .

f (0) ? 0 ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 2 x .

(Ⅱ)令 g ( x) ?

f ( x) ? 2( x ?
2

x3 ), 3

2x4 则 g ( x) ? f ( x) ? 2(1 ? x ) ? . 1? x2
' '

因为 g

'

( x) ? 0(0 ? x ? 1) ,所以 g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增.所以 g ( x) ? g (0) ? 0 , x ? (0,1) ,
f ( x) ? 2( x ? x3 ). 3

即当 x ? (0,1) 时,

x3 ) 对 x ? (0,1) 恒成立. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 k ? 2 时, f ( x) ? k ( x ? 3 x3 ) ,则 当 k ? 2 时,令 h( x) ? f ( x) ? k ( x ? 3 h ' ( x) ? f ' ( x) ? k (1 ? x 2 ) ?
所以当 0 ?

kx4 ? (k ? 2) . 1? x2

x?4

k ?2 k ?2 ' ) 上单调递减. 时, h ( x) ? 0 ,因此 h( x) 在区间 (0, 4 k k

k ?2 x3 ). 当0? x ? 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? k ( x ? 3 k
4

所以当 k ? 2 时,令 f ( x) ? k ( x ?

x3 ) 并非对 x ? (0,1) 恒成立. 3

综上可知, k 的最大值为 2 . 2、⑴证明: f ? ? x ? ? cos x ? x ? ? sin x ? ? cos x ? ? x sin x ,
? π? ? π? x ? ?0 ? ? 时, f ? ? x ? ≤ 0 ,从而 f ? x ? 在 ? 0 ? ? 上单调递减, ? 2? ? 2? ? π? 所以 f ? x ? 在 ? 0 ? ? 上的最大值为 f ? 0? ? 0 , ? 2?

所以 f ? x ? ≤ f ? 0? ? 0 . ⑵法一: 当 x ? 0 时,“

sin x sin x ? b ”等价于“ sin x ? bx ? 0 ”, ? a ”等价于“ sin x ? ax ? 0 ”;“ x x 令 g ? x ? ? sin x ? cx ,则 g ? ? x ? ? cos x ? c .
? π? 当 c ≤ 0 时, g ? x ? ? 0 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立. ? 2?

? π? ? π? 当 c ≥ 1 时, 因为对任意 x ? ? 0 ? ? ,g ? ? x ? ? cos x ? c ? 0 , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0 ? ? 上单调递减.从而 g ? x ? ? g ? 0 ? ? 0 ? 2? ? 2? ? π? 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立. ? 2? π? ? 当 0 ? c ? 1 时,存在唯一的 x0 ? ? 0 ? ? ,使得 g ? ? x0 ? ? cos x0 ? c ? 0 , 2? ? π? ? 且当 x ? ? 0 ? x0 ? 时,g ? ? x ? ? 0 ,g ? x ? 单调递增; 当 x ? ? x0 ? ? 时,g ? ? x ? ? 0 ,g ? x ? 单调递减。 所以 g ? x0 ? ? g ? 0? ? 0 。 2? ? π 2 ? π? ?π? 进一步,“ g ? x ? ? 0 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立”当且仅当 g ? ? ? 1 ? c ≥ 0 ,即 0 ? c ≤ . 2 π ?2? ? 2? 2 ? π? 综上所述,当且仅当 c ≤ 时, g ? x ? ? 0 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立; π ? 2? ? π? 当且仅当 c ≥ 1 时, g ? x ? ? 0 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立. ? 2? sin x 2 ? π? 所以,若 a ? ? b 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立,则 a 的最大值为 , b 的最小值为 1 . x π ? 2?

法二:
sin x ? π? ? x??0 ? ? , x ? 2? cos x ? x ? sin x 则 g?? x? ? ,由⑴知, g ? ? x ? ≤ 0 , x2 ? π? ?π? 2 故 g ? x ? 在 ? 0 ? ? 上单调递减,从而 g ? x ? 的最小值为 g ? ? ? , ? 2? ?2? π 2 2 故 a ≤ , a 的最大值为 . π π b 的最小值为 1 ,下面进行证明: ? π? h ? x ? ? sin x ? bx , x ? ?0 ? ? ,则 h? ? x ? ? cos x ? b , ? 2? ? π? 当 b ? 1 时, h? ? x ? ≤ 0 , h ? x ? 在 ? 0 ? ? 上单调递减,从而 h ? x ?max ? h ? 0? ? 0 , ? 2?

令 g ? x? ?

所以 sin x ? x ≤ 0 ,当且仅当 x ? 0 时取等号. sin x ? π? 从而当 x ? ? 0 ? ? 时, ? 1 .故 b 的最小值小于等于 1 。 x ? 2? ? π? 若 b ? 1 ,则 h? ? x ? ? cos x ? b ? 0 在 ? 0 ? ? 上有唯一解 x0 ,且 x ? ? 0 ? x0 ? 时, h? ? x ? ? 0 , ? 2? 故 h ? x ? 在 ? 0 ? x0 ? 上单调递增,此时 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,
sin x ? b 与恒成立矛盾,故 b ≥ 1 , x 综上知: b 的最小值为 1 . sin x ? bx ? 0 ?

3、解:(1)设 f ? x ? ?

ln x 1 ? ln x ,则 f ? ? x ? ? . x x2

所以 f′(1)=1. 所以 L 的方程为 y=x-1. (2)令 g