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1.3算法案例1



1.3 算法案例 第一、二课时 辗转相除法与更相减损术

(1)教学目标 (a)知识与技能 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。 (b)过程与方法 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式 的方法,比较它们在算法上的区别,并从程序的学习中体会数学的严谨,领会数学算法计算 机处理的结合方式,初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。 (c)情态与价值 1.通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力, 在利用算 法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。 (2)教学重难点 重点:理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 (3)学法与教学用具 学法:在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律,并能 模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程 序。 教学用具:电脑,计算器,图形计算器 (4)教学设想 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经学过求最大公约数的知识,你能求出 18 与 30 的公约数吗? 2.接着教师进一步提出问题,我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数,如果公约 数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数,我们又应该怎样求它们的最大公约 数?比如求 8251 与 6105 的最大公约数?这就是我们这一堂课所要探讨的内容。 (二)研探新知 1.辗转相除法 例 1 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。 (分析: 8251 与 6105 两数都比较大, 而且没有明显的公约数, 如能把它们都变小一点, 根据已有的知识即可求出最大公约数) 解:8251=6105×1+2146 显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数,同样 6105 与 2146 的公约数也必是 8251 的约数,所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数。 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0

则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在 公元前 300 年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: 第一步:用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0 和一个余数 r0; 第二步:若 r0=0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 r0≠0,则用除数 n 除以余数 r0 得到 一个商 q1 和一个余数 r1; 第三步:若 r1=0,则 r1 为 m,n 的最大公约数;若 r1≠0,则用除数 r0 除以余数 r1 得到 一个商 q2 和一个余数 r2; ?? 依次计算直至 rn=0,此时所得到的 rn-1 即为所求的最大公约数。 练习:利用辗转相除法求两数 4081 与 20723 的最大公约数(答案:53) 2.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母·子之数,以 少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译出来为: 第一步:任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行 第二步。 第二步: 以较大的数减去较小的数, 接着把较小的数与所得的差比较, 并以大数减小数。 继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 解:由于 63 不是偶数,把 98 和 63 以大数减小数,并辗转相减,即:98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以,98 与 63 的最大公约数是 7。 练习:用更相减损术求两个正数 84 与 72 的最大公约数。 (答案:12) 3.比较辗转相除法与更相减损术的区别 (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为 主, 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少, 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的 区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减 损术则以减数与差相等而得到 4. 辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序 利用辗转相除法与更相减损术的计算算法, 我们可以设计出程序框图以及 BSAIC 程序来 在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数, 下面由同学们设计相应框图并相互 之间检查框图与程序的正确性,并在计算机上验证自己的结果。 (1)辗转相除法的程序框图及程序 程序框图:

开始

输入两个正 整数m,n

m>n? 否 是 x=n n=m m=x

r=m MOD n

n=r

m=n r=0? 否



输出n

结束

程序: INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m<n THEN x=m m=n n=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 5.课堂练习 一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数,并在自己编写的 BASIC 程序中验证。

(1)225;135 (2)98;196 (3)72;168 (4)153;119 二.思考:用求质因数的方法可否求上述 4 组数的最大公约数?可否利用求质因数的算 法设计出程序框图及程序?若能,在电脑上测试自己的程序;若不能说明无法实现的理由。 三。思考:利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数?试设计程序框图并转换成程 序在 BASIC 中实现。 6.小结: 辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。 (5)评价设计 作业:P38 A(1)B(2) 补充:设计更相减损术求最大公约数的程序框图



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