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因式分解—完全平方公式



完全平方公式
-利用完全平方公式因式分解

1.我们共学过几种方法因式分解
提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)

能否提公因式 2.分解因式时,通常先考虑_____________ 能否进一步分解因式 然后再考虑___________________. 3.

分解因式一直到不能分解为止.所以分解

后一定检查括号内是否能继续分解.

因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分 解因式即: 2 2

a -b =(a+b)(a-b)

例如: 2 2 4a -9b = (2a+3b)(2a-3b)

回忆完全平方公式 2 2 2 ? a ?b ? ? a ? 2ab ?b

? a ?b ?

2

? a ? 2ab ? b
2

2

a ? 2ab ? b ? ? a ?b ? 2 2 a ? 2ab ? b ? ? a ?b ?
2 2

现在我们把这个公式反过来
2
2

很显然,我们可以运用以上这 个公式来分解因式了,我们把 它称为“完全平方公式”

a ? 2ab ? b a ? 2ab ? b
2 2

2

2

我们把以上两个式子 叫做完全平方式
两个“项”的平方和加 上(或减去)这两“项” 的积的两倍

a ? 2ab ? b a ? 2ab ? b
2 2

2

2

完全平方式的特点



1、必须是三项式 2、有两个“项”的平方 3、有这两“项”的2倍或-2倍

2 2 首 ? 2?首?尾 ? 尾

2 2 1 a ? b ? 2ab 是 ? ? 2 2

下列各式是不是完全平方式

? 2 ?? 2 xy ? x ? y 是 ? 3? x ? 4 xy ? 4 y 是 ? 4 ?a ?6ab ?b 否
2 2 2 2

1 ? 5? x ? x? 是 4 2 2 否 6 a ? 2 ab ? 4 b ? ?
2

a ? 2ab ? b ? ? a ?b ? 2 2 a ? 2ab ? b ? ? a ?b ?
2 2

2

2

我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式 我们称之为:运用完全平 方公式分解因式

例1:把下列式子分解因式
? ?2 x ? ? 2 ? ?2 x ?? ?3 y ? ? ?3 y ?? ? 2 x ? 3 y ?
2 2

2 2 4x +12xy+9y

2

2 2 2 =( 首±尾 ) 首 ? 2?首?尾 ? 尾

例2、把下列多项式分解因式。

⑴、x2+14x+49 解:原式=x2+2· x· 7+72 =(x+7)2 ⑵、(m+n)2-6(m +n)+9

解:原式= (m+n)2 -2· (m +n)· 3 +32
= (m+n-3)2

通过解这两题,你得到什么启示?

解例2可以发现:

在因式分解过程中,先把多项式化成符合完 全平方公式: a2±2ab+b2 = (a±b)2 的形式,然后再根据公式分解因式.公式中 的a

, b可以是单项式,也可以是多项式. ;

随堂练习


把下列多项式因式分解

x2-12xy+36y2

解:原式=x2-2· x· 6y+(6y)2 =(x-6y)2



16a4+24a2b2+9b4

解:原式=(4a2)2+2· 4a2· 3b2+(3b2)2 =(4a2+3b2)2

随堂练习
⑶ -2xy-x2-y2
解:原式=-(x2+2xy+y2) =-(x+y)2



4-12(x-y)+9(x-y)2
解:原式=22-2×2×3(x-y)+[3(x-y)]2 =[2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2

完全平方式具有:

小结:

1、是一个二次三项式 2、有两个“项”平方,而且有这 两“项”的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公 式来进行因式分解

作业
P69 习题7.2 4、5 、6



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