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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)练习:4章综合测试]



第四章综合测试
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若 x 是纯虚数,y 是实数,且 2x-1+i=y-(3-y)i,则 x+y 等于( 5 A.1+ i 2 5 C.1- i 2 [答案] D [解析] 设 x=it(t∈R 且 t≠0),

于是 2ti-1+i=y-(3-y)i, ∴-1+(2t+1)i=y-(3-y)i, 5 B.-1+ i 2 5 D.-1- i 2 )

? ?y=-1 ?t=-2 ? ∴? ,∴? ?2t+1=-?3-y? ? ?
5 ∴x+y=-1- i. 2

5 .

?y=-1

2.若 z1=(x-2)+yi 与 z2=3x+i(x、y∈R)互为共轭复数,则 z1 对应的点在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C
? ? ?x-2=3x ?x=-1 [解析] 由已知得? ,∴? . ? ? ?y=-1 ?y=-1

)

B.第二象限 D.第四象限

∴z1=-3-i,故选 C. 3.(2014· 太原五中月考)若复数 z 满足:iz=3+4i,则|z|=( A.1 C. 5 [答案] D 3+4i [解析] 因为 z= =-(3+4i)i=4-3i i 所以|z|= 42+?-3?2=5. 1-i 4.当 z= 时,z100+z50+1 的值等于( 2 A.1 C.i ) B.-1 D.-i B.2 D.5 )

[答案] D 1 [解析] z2= (1-2i-1)=-i,z50=(-i)25=-i,z100=(-i)2=-1,故原式=-i. 2 m-2i 5.复数 z= (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( 1+2i A.第一象限 C.第三象限 [答案] A [ 解析 ] z= m-2i ?m-2i??1-2i? 1 m-4 = = [(m - 4) - 2(m + 1)i] ,其实部为 ,虚部为 5 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 B.第二象限 D.第四象限 )

? ? ?m-4>0 ?m>4 -2?m+1? ,由? ,得? ,此时无解.故复数在复平面上对应的点不可能 5 ?m<-1 ?-2?m+1?>0 ? ?

位于第一象限. 6 . (2014· 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模 ) 已知复数 z = i+i2+i3+…+i2013 ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( 1+i A.第一象限 C.第三象限 [答案] A i n=4k+1, ? ?-1 n=4k+2, ∵i =? -i n=4k+3, ? ?1 n=4k,
n

)

B.第二象限 D.第四象限

[解析]

k∈Z,∴i+i2+i3+…+i2013=503×(i+i2+i3+

i4)+i2013=503×0+i=i, i?1-i? 1+i i 1 1 ∴z= = = ,在复平面内的对应点( , )在第一象限. 2 2 2 1+i ?1+i??1-i? a+3i 7.若复数 z= (a∈R),且 z 是纯虚数,则|a+2i|等于( 1-2i A. 5 C.2 5 [答案] B a+3i ?a+3i??1+2i? a+2ai+3i-6 a-6+?2a+3?i [解析] z= = = = , 5 5 5 1-2i
? ?a-6=0 当 z 为纯虚数时,? ,得 a=6, ?2a+3≠0 ?

)

B.2 10 D.40

∴a+2i=6+2i,

∴|a+2i|=2 10. 8.若 z=cosθ+isinθ(i 为虚数单位),则使 z2=-1 的 θ 值可能是( π A. 6 π C. 3 [答案] D
?cos2θ=-1 ? [解析] ∵z2=cos2θ+isin2θ=-1,∴? , ? ?sin2θ=0

)

π B. 4 π D. 2

∴2θ=2kπ+π (k∈Z), π ∴θ=kπ+ .令 k=0 知,D 正确. 2 9.(2013· 陕西理)设 z1、z2 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若|z1-z2|=0,则 z 1= z
2

)

B.若 z1= z 2,则 z 1=z2
2 2 D.若|z1|=|z2|,则 z2 1=z2

C.若|z1|=|z2|,则 z1·z 1=z2·z [答案] D

[解析] 本题考查复数相等,共轭复数. 设 z1=a+bi,z2=c+di,a、b、c、d∈R,若|z1-z2|=0,则 z1-z2=0,∴a=c,b=d, 所以 z 1= z 2,故 A 项正确.若 z1= z 2,则 a=c,b=-d,所以 z 1=z2,故 B 项正确.若
2 2 2 2 |z1|=|z2|,则 a2+b2=c2+d2,所以 z1 z 1=z2·z 2,故 C 项正确.z2 1=a -b +2abi,z2=c -

d2+2cdi,在 a2+b2=c2+d2 的条件下,不能得出 a2-b2=c2-d2,2ab=2cd,故 D 项错误. - 10.(2014· 广东文,10)对任意复数 ω1、ω2,定义 ω1]2,其中 ω 2 是 ω2 的共轭复数,对 任意复数 z1、z2、z3,有如下四个命题: ①(z1+z2)*z3=(z1]( A.1 C.3 [答案] B [解析] ∵w1]. ∴①左边=(z1+z2) z 3,右边=z1 z3 +z2 z3 =(z1+z2) z3 ,左边=右边,正确. ②左边=z1( z2+z3 )=z1( z2 + z3 ),右边=z1 z2 +z1 z3 =z1( z2 + z3 ),左边=右边, 正确. ③左边=(z1 z2 ) z3 ,右边=z1(z2 z3 )=z1( z2 z3),左边≠右边,不正确. ) B.2 D.4

④左边=z1 z2 ,右边=z2 z1 ,左边≠右边,不正确,选 B. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,将正确答案填在题中横线上) 11.已知 a、b∈R,且 a-1+2ai=4+bi,则 b=________. [答案] 10
? ? ?a-1=4 ?a=5 [解析] 由已知得? ,得? . ?2a=b ?b=10 ? ?

z1 12.若 z1=a+2i,z2=3-4i,且 为纯虚数,则实数 a 的值为________. z2 [答案] [解析] = 8 3 z1 a+2i ?a+2i??3+4i? = = z2 3-4i ?3-4i??3+4i?

3a+4ai+6i-8 3a-8 4a+6 = + i, 25 25 25

3a-8 =0 ? 25 z ∵ 为纯虚数,∴? z 4a+6 ? 25 ≠0
1 2

8 ,∴a= . 3

13.若复数 m(3+i)-(2+i)的对应点在复平面内位于第四象限,则实数 m 的取值范围 是________. [答案] 2 m<1 3

[解析] ∵m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i 在复平面内的对应眯(3m-2,m-1)位于
?3m-2>0, ? 2 第四象限,∴? ∴ <m<1. 3 ? ?m-1<0,

14.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1· z2 是 实数,则 z2=________. [答案] 4+2i [解析] ∵(z1-2)(1+i)=1-( ,∴z1=2-i. 设 z1=a+2i,a∈R, 则 z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∴z1· z2∈R,∴a=4,∴z2=4+2i. 15.对于 n 个复数 z1、z2、…、zn,如果存在 n 个不全为零的实数 k1、k2、…、kn,使得 k1z1+k2z2+…+knzn=0,就称 z1、z2、…、zn 线性相关.若要说明复数 z1=1+2i,z2=1-i, z3=-2 线性相关,那么可取{k1,k2,k3}=________.(只要写出满足条件的一组值即可) )

3 [答案] {1,2, }或{2,4,3}等 2 [解析] 由 k1z1+k2z2+k3z3=0 得 k1(1+2i)+k2(1-i)+k3(-2)=0, 即(k1+k2-2k3)+(2k1-k2)i=0.
?k1+k2-2k3=0, ? ∴? ?2k1-k2=0. ?

∴k1 k2 k3=

3 . 2

3 故填{1,2, }或{2,4,3}等. 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分)m 为何实数时,复数 z=(2+i)m2-3(i+1)m-2(1-i)是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数? [答案] (1)1 或 2 (2)m≠1 且 m≠2 1 (3)- 2

[解析] z=(2+i)m2-3(i+1)m-2(1-i) =2m2+m2i-3mi-3m-2+2i =(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i. (1)由 m2-3m+2=0 得 m=1 或 m=2, 即 m=1 或 2 时,z 为实数. (2)由 m2-3m+2≠0 得 m≠1 且 m≠2, 即 m≠1 且 m≠2 时,z 为虚数.
?2m2-3m-2=0 ? 1 (3)由? 2 ,得 m=- , 2 ? m - 3 m + 2 ≠ 0 ?

1 即 m=- 时,z 为纯虚数. 2 17.(本题满分 12 分)已知复数 z 满足 z z -i( 3z )=1+3i,求 z. [答案] -1 或-1+3i [解析] 将方程两边化成 a+bi 的形式,根据复数相等的充要条件来解. - 2 2 设 z=x+yi(x、y∈R),则 z· z =x +y , 3z=3x+3yi 3z =3x-3yi ∴x2+y2-3y-3xi=1+3i,
?x2+y2-3y=1 ? 由复数相等得? , ?-3x=3 ?

? ? ?x=-1 ?x=-1 解得? ,或? . ?y=0 ?y=3 ? ?

∴z=-1 或 z=-1+3i. 18.(本题满分 12 分)设 a、b 为共轭复数,且(a+b)2-3abi=4-6i,求 a 和 b. [答案] a=1+i,b=1-i;a=-1+i,b=-1-i; a=1-i,b=1+i;a=-1-i,b=-1+i. [解析] ∵a、b 为共轭复数,∴设 a=x+yi(x、y∈R) 则 b=x-yi, 由(a+b)2-3abi=4-6i,得 (2x)2-3(x2+y2)i=4-6i,
?4x2=4 ? 即? , 2 2 ?-3?x +y ?=-6 ? ?x2=1 ?x=± 1 ? ? ∴? 2 , ∴? . ? ? 1 ?y =1 ?y=±

∴a=1+i,b=1-i;a=-1+i,b=-1-i; a=1-i,b=1+i;a=-1-i,b=-1+i. 19.(本题满分 12 分)设 z 是 z 的共轭复数,若存在复数 z 满足 z · z+2i·z =3+ai,求 实数 a 的取值范围. [答案] -4≤a≤4 [解析] 设 z=x+yi(x,y∈R),则 z =x-yi 代入 z · z+2i·z =3+ai.得 x2+y2+2i(x-
?x2+y2+2y=3 ? a2 yi)=3+ai, 所以? 消去 x 得 y2+2y+ -3=0, Δ=16-a2≥0, 所以-4≤a≤4, 4 ? 2 x = a ?

所以当-4≤a≤4 时,存在复数 z,使 z · z+2i z =3+ai 成立. 20.(本题满分 13 分)已知 1+i 是方程 x2+bx+c=0 的一个根(b、c∈R). (1)求 b、c 的值; (2)试证明 1-i 也是方程的根. [答案] (1)b=-2,c=2 (2)略 [解析] (1)∵1+i 是方程 x2+bx+c=0 的根 ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0, 即 b+c+(2+b)i=0,
?b+c=0 ?b=-2 ? ? ∴? ,解得? . ?2+b=0 ?c=2 ? ?

(2)由(1)知方程为 x2-2x+2=0,

把 1-i 代入方程左边得 左边=(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边,即方程成立 ∴1-i 也是方程的根. 1 21.(本题满分 14 分)设 z=log2(1+m)+ilog (3-m)(m∈R). 2 (1)若 z 在复平面内对应的点在第三象限,求 m 的取值范围; (2)若 z 在复平面内对应的点在直线 x-y-1=0 上,求 m 的值. [答案] (1)-1<m<0 (2)1± 2 [解析] (1)由已知,得 log ?1+m?<0, ? ? 2 ? 1 ? ?log2?3-m?<0, ① ②

解①得-1<m<0. 解②得 m<2. 故不等式组的解集为{x|-1<m<0}, 因此 m 的取值范围是{x|-1<m<0}. 1 (2)由已知得,点(log2(1+m),log (3-m))在直线 x-y-1=0 上, 2 1 即 log2(1+m)-log (3-m)-1=0, 2 整理得 log2(1+m)(3-m)=1. 从而(1+m)(3-m)=2,即 m2-2m-1=0, 解得 m=1± 2,且当 m=1± 2时都能使 1+m>0,且 3-m>0. 故 m=1± 2.



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