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江苏省徐州市沛县第二中学2016-2017学年高一上学期第一次月考数学试题


沛县二中 2016 学情调查试卷高一数学试题
一、填空题:本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分。请将答案填在答题卡对应的横线上。

1.已知集合 A ? {1, a} , B ? {1,3, 4} ,且 A ? B ? {1,3} ,则实数 a 的值为 2.不等式 x(x﹣1)>0 的解集是 3.已知点 A(1,3) , B(4,1) ,则向量 AB 的模为 4.方程 log2(3x+2)=1+log2(x+2)的解为



??? ?

. . .

5. 执行如图所示的流程图, 会输出一列数, 则这列数中的第 3 个数是

?x ? y ? 2 ? 6.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 , ?0 ? y ? 3 ?
则目标函数 2 x ? y 的最大值是 . .

7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2S3-3S2=12,则数列{an}的公差是 8.已知 ? ? (0, ? ) , cos?

4 ? ? ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4



9. 已知函数 f ? x ? ? loga ? x ? b ? ( a ? 0, a ? 1, b ? R ) 的图像如图所示, 则a ?b 的值是 .
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

y f(x)=loga(x+b) -3
O

10.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P ? ?2,0? 的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切于点

x

T ,与圆 ? x ? a ? ? y ? 3
2

?

?

2

? 3 相交于点 R, S ,且 PT ? RS ,则正数 a 的

-2

值为


2

11.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6+a7+a8﹣a7 =0(a7≠0),则 S13=



12.数 12.设 E,F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点,已知 AB=6,AC=3,则 AE ? AF ? 13.已知函数
2 ? x?0 ? x ? sinx, f ( x) ? ? 2 是奇函数,则 sin? ? x ? 0 ? x ? cos ( x ? ? ), ? ?

??? ? ??? ?





14.若正数 x,y 满足 xy+2x+y=8,则 x+y 的最小值等于



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知集合 A ? x x ? x ? 12 ? 0 ,集合 B ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 ,集合 C ? {x | x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0}(a ? 0) .
2

?

?

?

2

?

(Ⅰ)求 A ? (C R B) ; (Ⅱ)若 C ? ( A ? B) , 试确定正实数 a 的取值范围.

15.在四边形 ABCD 中,AB= (1)求 BC 边的长; (2)求∠ABC 的大小.

,CD=2,∠BAD=135°,∠BCD=60°,∠ADB=30°.

17.已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . (1)当 时,求 tan( x ?

?

3 ? 4

?
4

) 的值;

(2)设函数 f ? x ? ? 2(a ? b) ? b ,当 x ? ?0,

? ? ?

? ?? ? 时,求 f ? x ? 的值域. ? 2?

18.已知圆 C:(x﹣3) +(y﹣4) =4,直线 l1 过定点 A (1,0). (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 的倾斜角为

2

2

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

,l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标;

( 3)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时 l1 的直线方程.

19. (16 分) 某单位因工作需要, 要制作一批操作台面, 台面上有两块大小相同的长方形钢化玻璃 (图中阴影部分) , 每块钢化玻璃的面积为 1800cm ,每块钢化玻璃需能放置半径为 15cm 的圆形器皿,每块钢化玻璃周围与操作台边缘 要留 20cm 空白,两块钢化玻璃的间距为 50cm,设钢化玻璃长为 xcm,操作台面面积为 S. (1)当操作台面长与宽分别为多少时,操作台面面积最小; (2)若每块钢化玻璃长至少比宽多 14cm,则操作台面长与宽分别为多少时,操作台面面积最小?
[来源:Zxxk.Com]

2

20.已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且满足 a1+a2+a3=9,b1b2b3=27. (1)若 a4=b3,b4﹣b3=m. ①当 m=18 时,求数列{an}和{bn}的通项公式; ②若数列{bn}是唯一的,求 m 的值; (2)若 a1+b1,a2+b2,a3+b3 均为正整数,且成等比数列,求数列{an}的公差 d 的最大值.

[来源:学+科+网]

高一抽测数学试卷(参考答案) 一、填空题:本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分。请将答案填在答题卡对应的横线上。

1. 3.

2. (﹣∞, 0) ∪ (1, +∞) . 3. 13 13. -1 14. 2 ﹣3.

4. 2.

5. 30.

6. 7

7. 4.

8.

1 7

9.

9 2

10. 4

11.12. 10

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15 ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 集 合 . (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 解:(Ⅰ)依题意得, ; ,试确定正实数 的取值范围. 或 ,

, 集 合

, 集 合

.……7 分

(Ⅱ)

,由于



,由



16.在四边形 ABCD 中,AB= (1)求 BC 边的长; (2)求∠ABC 的大小.

,CD=2,∠BAD=135°,∠BCD=60°,∠ADB=30°.

解:(1)在△ABD 中,由正弦定理得 解得:BD= 解得:BC=1+

=

,即

=



,在△BCD 中,由余弦定理得:BD2 =BC2+CD2﹣2BC?CDcos∠BCD,即 6=BC2+4﹣2BC, 或 BC=1﹣ (舍去),则 B C 的长为 1+ = ; = ,

(2)在△BCD 中,由正弦定理得

,即

解得:sin∠DBC=

,∴∠DBC=45°或 135°,在△BCD 中,∠BCD=60°,

∴∠DBC=45°,∵∠ABD=180°﹣135°﹣30°=15°,∴∠ABC=60°.

17.已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . (1)当 时,求 tan( x ?

?

3 ? 4

?
4

) 的值;

(2)设函数 f ? x ? ? 2(a ? b) ? b ,当 x ? ?0, 解:

? ? ?

? ?? ? 时,求 f ? x ? 的值域. ? 2?

(1)? a / / b ? cos x ? sin x ? 0, tan x ? ?

?

?

tan x ? 1 ? ?7 ................6 分 4 1 ? tan x ? ? ? ? 3 (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2 sin(2 x ? ) ? ................10 分 4 2 ? tan( x ? )?

?

3 4

3 , 4

? ? ? 5? 2 ? ? x ? [0, ], ? 2 x ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4 4 4 2 4
1 3 1 3 ? ? f ( x) ? ? 2 , f ? x ? 的值域为 [ , ? 2]. 2 2 2 2
................14 分

18.已知圆 C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,直线 l1 过定点 A (1,0). (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 的倾斜角为 ,l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的坐标;

(3)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时 l1 的直线方程. 解:(1)解:①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 x=1,圆的圆心坐标(3,4),半径为 2,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y=k(x﹣1),即 kx﹣y﹣k=0. 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2,即: ,

解之得

.所求直线方程是:x=1,或 3x﹣4y﹣3=0.

(2)直线 l1 方程为 y=x﹣1.∵PQ⊥CM,∴CM 方程为 y﹣4=﹣(x﹣3),即 x+y﹣7=0. ∵ ∴ ∴M 点坐标(4,3).

(3)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,设直线方程为 kx﹣y﹣k=0 , 则圆 .

[来源:Zxxk.Com]

又∵三角形 CPQ 面积

∴当 d=

时,S 取得最大值 2.∴



∴直线方程为 y=x﹣1,或 y=7x﹣7.

19. (16 分) 某单位因工作需要, 要制作一批操作台面, 台面上有两块大小相同的长方形钢化玻璃 (图中阴影部分) , 每块钢化玻璃的面积为 1800cm2,每块钢化玻璃需能放置半径为 15cm 的圆形器皿,每块钢化玻璃周围与操作台边缘 要留 20cm 空白,两块钢化玻璃的间距为 50cm,设钢化玻璃长为 xcm,操作台面面积为 S. (1)当操作台面长与宽分别为多少时,操作台面面积最小; (2)若每块钢化玻璃长至少比宽多 14cm,则操作台面长与宽分别为多少时,操作台面面积最小?

解:(1)由题意,宽为 S=(2x+90)( ≥2 (当且仅当 80x=

cm, +7200

+40)=80x+ +7200=14400.

,即 x=45 时,等号成立);

∵ ∴30≤x≤60,



∴当 x=45 时,操作台面面积最小;此时操作台面长与宽分别为 180cm,80cm. (2)由题意, 解得,x≥50; ∴50≤x≤60, ≤x﹣14,

∵函数 S=(2x+90)(

+40)在[50,60]上单调递增,
2

∴当 x=50 时,操作台面面积最小,最小值为 14440cm , 此时,操作台面 长为 190cm,宽为 76cm. 20.已知数列{an}是等 差数列,{bn}是等比数列,且满足 a1+a2+a3=9,b1b2b3=27. (1)若 a4=b3,b4﹣b3=m. ①当 m=18 时,求数列{an}和{bn}的通项公式; ②若数列{bn}是唯一的,求 m 的值; (2)若 a1+b1,a2+b2,a3+b3 均为正整数,且成等比数列,求数列{an}的公差 d 的最大值. 解:(1)①由数列{an}是等差数列及 a1+a2+a3=9,得 a2=3, 由数列{bn}是等比数列及 b1b2b3=27,得 b2=3. 设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q, 若 m=18, 则有 解得 或 , …

所以,{an}和{bn}的通项公式为 an=3n﹣3,bn=3
2 2

n﹣1

或 an=﹣ n+12,bn=3?(﹣2)

n﹣2



②由题设 b4﹣b3=m,得 3q ﹣3q=m,即 3q ﹣3q﹣m=0(*). 因为数列{bn}是唯一的,所以 若 q=0,则 m=0,检验知,当 m=0 时,q=1 或 0(舍去),满足题意; 若 q≠0,则(﹣3) +12m=0,解得 m=﹣ ,代入(*)式,解得 q= , 又 b2=3,所以{bn}是唯一的等比数列,符合题意. 所以,m=0 或﹣ . (2)依题意,36=(a1+b1) (a3+b3), 设{bn}公比为 q,则有 36=(3﹣d+ )(3+d+3q),(**) 记 m=3﹣d+ ,n=3+d+3q,则 mn=36. 将(**)中的 q 消去,整理得:d2+(m﹣n)d+3(m+n)﹣36=0 d 的大根为 而 m,n∈N*,所以 ( m,n)的可能取值为: (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1). 所以,当 m=1,n=36 时,d 的最大值为 . = … …
2


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