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2014高考复习——专题三数列


1.(2011· 高考课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式; ?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列?b ?的前 n 项和. ? n? 解:(1)设数列{an}的公比为 q. 1 由 a2=9a2a6 得 a2=9a2,所以 q2= . 3 3 4 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an n(n+1) =-(1+2+…+n)=- . 2 1 1 1 2 故 =- =-2?n-n+1?, bn ? ? n(n+1) 1 1 1 + +…+ b1 b2 bn 1 1 1 1 1 =-2??1-2?+?2-3?+…+?n-n+1?? ? ? ? ?? ? ?? 2n =- . n+1 1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为- . bn n+1 13 2.(2011· 高考福建卷)已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= . 3 (1)求数列{an}的通项公式; π (2)若函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在 x= 处取得最大值,且最大值为 a3,求函数 6 f(x)的解析式. 3 13 a1?1-3 ? 13 1 解:(1)由 q=3,S3= 得 = ,解得 a1= . 3 3 3 1-3 1 - - 所以 an= ×3n 1=3n 2. 3 - (2)由(1)可知 an=3n 2,所以 a3=3. 因为函数 f(x)的最大值为 3,所以 A=3. π 因为当 x= 时 f(x)取得最大值, 6 π 所以 sin?2×6+φ?=1. ? ? π 又 0<φ<π,故 φ= . 6 π 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=3sin?2x+6?. ? ? 1 1 3.(2011· 高考大纲全国卷)设数列{an}满足 a1=0 且 - =1. 1-an+1 1-an (1)求{an}的通项公式;

n 1- an+1 (2)设 bn= ,记 Sn=∑ bk,证明:Sn<1. k=1 n 1 1 解:(1)由题设 - =1, 1-an+1 1-an ? 1 ? 1 1 即?1-a ?是公差为 1 的等差数列,又 =1,故 =n. 1-a1 1-an ? n? 1 所以 an=1- . n 1- an+1 n+1- n (2)证明:由(1)得 bn= = n n+1· n 1 1 = - , n n+1 n n 1 ? 1 ?1 Sn=∑ bk=∑ ? k- <1. ?=1- k=1 k=1 ? k+1? n+1 4.(2013· 山东师大附中月考)已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N*),a1=1,该数列 的前三项分别加上 1、1、3 后顺次成为等比数列{bn}的前三项. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 2n+3 1 a1 a2 an (2)设 Tn= + +…+ (n∈N*),若 Tn+ n - <c(c∈Z)恒成立,求 c 的最小值. b1 b2 bn 2 n 解:(1)设 d、q 分别为数列{an}的公差,数列{bn}的公比. 由题意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1、1、3 得 2、2+d、4+2d, ∴(2+d)2=2(4+2d),∴d=± 2. ∵an+1>an,∴d>0,∴d=2, ∴an=2n-1(n∈N*), 由此可得 b1=2,b2=4,∴q=2,∴bn=2n(n∈N*). 2n-1 a1 a2 an 1 3 5 (2)Tn= + +…+ = + 2+ 3+…+ n ,① b1 b2 bn 2 2 2 2 2n-1 1 1 3 5 ∴ Tn= 2+ 3+ 4+…+ n+1 .② 2 2 2 2 2 2n -1 1 1 1 1 1 1 由①-②得 Tn= + + 2+ 3+…+ n-1- n+1 , 2 2 2 2 2 2 2 1 1- n-1 2 2n-1 2n-1 1 ∴Tn=1+ - n =3- n-2- n 1 2 2 2 1- 2 2n+3 =3- n , 2 2n+3 1 1 ∴Tn+ n - =3- <3. 2 n n 2n+3 1 ∴使 Tn+ n - <c(c∈Z)恒成立的 c 的最小值为 3. 2 n 5.(2013· 长沙重点中学联考)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,长沙市计 划用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电 力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆,计 划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆. (1)求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n); (2)若该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值. 解:(1)设 an、bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量, 3 依题意知,数列{an}是首项为 128,公比为 1+50%= 的等比数列,数列{bn}是首项为 2

400,公差为 a 的等差数列. 3 128×?1-?2?n? ? ? ?? 3 所以数列{an}的前 n 项和 Sn= =256??2?n-1?,数列{bn}的前 n 项和 Tn ?? ? ? 3 1- 2 n?n-1? =400n+ a. 2 所以经过 n 年,该市更换的公交车总数 3 n?n-1? S(n)=Sn+Tn=256??2?n-1?+400n+ a. ?? ? ? 2 (2)若用 7 年的时间完成全部更换,则 S(7)≥10000, 3 7×6 即 256??2?7-1?+400×7+ a≥10000, ?? ? ? 2 3082 即 21a≥3082,所以 a≥ . 21 * 又 a∈N ,所以 a 的最小值为 147. 6.(2013· 江苏扬州中学月考)设数列{an}满足 a1=0,4an+1=4an+2 4an+1+1,令 bn= 4an+1. (1)试判断数列{bn}是否为等差数列; 1 (2)若 cn= ,记{cn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn<3; an+1 (3)是否存在 m,n(m,n∈N*,m≠n),使得 1,am,an 依次成等比数列?若存在,求出 m,n;若不存在,说明理由. 解:(1)由已知得 4an+1+1=4an+1+2 4an+1+1, 所以 b2+1=b2+2bn+1,即 bn+1=bn+1. n n 又 b1= 4a1+1,a1=0,所以 b1=1, 故数列{bn}为等差数列. (2)证明:由(1)知,bn+1=bn+1,且 b1=1,所以 bn=n, n2-1 即 4an+1=n,化简得 an= , 4 1 1 4 4 则 cn= = =2?n-n+2?, 2 ? ?n+1? -1 n?n+2? ? 则 Sn=c1+c2+…+cn 1 1 1 1 1 =2?1-3?+2?2-4?+…+2?n-n+2? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ? 2?2n+3? =2?1+2-n+1-n+2 =3- , ? ? ?n+1??n+2? 2?2n+3? 因为 >0,所以 Sn<3. ?n+1??n+2? n2-1 ?m2-1?2 (3)假设存在 m,n(m,n∈N*,m≠n)满足条件,则有 1·n=a2 ,即 1· a = m 4 ? 4 ?, 整理得 4(n2-1)=(m2-1)2,易知 m2-1 必为偶数. 设 m2-1=2t(t∈Z),则 n2-1=t2,即(n-t)(n+t)=1, ?n+t=1 ?n+t=-1 ? ? ∴? 或? . ? ? ?n-t=1 ?n-t=-1 又 n∈N*,∴解得 n=1,t=0, ∴m2-1=2t=0,又 m∈N*, ∴m=1,这与已知 m≠n 矛盾. 故不存在 m,n(m,n∈N*,m≠n),使得 1,am,an 成等比数列.


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