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13.3角的平分线的性质(2)



1、学会用尺规作角的平分线. 学会用尺规作角的平分线. 2、角的平分线的性质: 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述: ∵ OC是∠AOB的平分线 是 的平分线 PD⊥OA,PE⊥OB ⊥ , ⊥ ∴ PD=PE =
A D O 1 2 E B P C

?

反过来, 反过来,到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢? 是否一定在这个角的平分线上呢?

已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=QE. 求证:点Q在∠AOB的平分线上.

已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=QE. 求证:点Q在∠AOB的平分线上.
证明: 证明 ∵ QD⊥OA,QE⊥OB(已知), ⊥ , ⊥ (已知), ∴ ∠QDO=∠QEO=90°(垂直的定义) = = ° 垂直的定义) 在Rt△QDO和Rt△QEO中 △ 和 △ 中 QO=QO(公共边) = (公共边) QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO(HL) △ ≌ △ ( ) ∴ ∠ QOD=∠QOE = ∴点Q在∠AOB的平分线上

到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 在角的平分线上。
用数学语言表示为: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD=QE

如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明:过点 作 ⊥ 于 , 证明:过点P作PD⊥AB于D, PE⊥BC于E,PF⊥AC于F ⊥ 于 , ⊥ 于 ∵BM是 的角平分线, ∵BM是△ABC的角平分线,点P 的角平分线 BM上 在BM上,
B A ND P E M F C

∴PD=PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等). (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. 同理,PE=PF. ∴PD= ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB BC、CA的距离相等 AB、 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

如图,已知△ 的外角∠ 如图,已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F, 求证: 的平分线上. 求证:点F在∠DAE的平分线上.
证明: 过点F作FG⊥AE于G, G FH AD H FM BC M FH⊥AD于H,FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上, M FG⊥AE, FM⊥BC ∴FG=FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上, FH⊥AD, FM⊥BC ∴FM=FH ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上

如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F,且BE=CF。 求证:AD是△ABC的角平分线。
A

E B D

F C

利用结论,解决问题
练一练 1、如图,为了促进当 地旅游发展,某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?

拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处

分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。

到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 在角的平分线上。
用数学语言表示为: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD=QE

拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M C D F A E B N



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