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《三角函数模型简单应用》一课一练



1.6 三角函数模型简单应用
一、选择题 1.函数的 y ? cos2 x ? 3cos x ? 2 最小值为( A.2 B.0 C. ? )

1 4

D.6

2. f ( x) ? x ? cos x ? 5 sin x ? 2 ,若 f (2) ? a ,则 f (?2) 的值为( ) . A.-a

B.2+a C.2-a D.4-a ) D. ?

3.设 A、B 都是锐角,且 cosA>sinB 则 A+B 的取值是 ( A. ?

?? ? ,? ? ?2 ?

B.

?0, ? ?

C. ? 0,

? ?? ? ? 2?

?? ? ? , ? ?4 2?

4. 若函数 f ( x) 是奇函数, 且当 x ? 0 时, 有 f ( x) ? cos3x ? sin 2 x , 则当 x ? 0 时, f ( x) 的表达式为( ) A. cos 3x ? sin 2 x C. cos 3 x ? sin 2 x B. ? cos 3x ? sin 2 x D. ? cos 3x ? sin 2 x )

5.下列函数中是奇函数的为( A.y=

x 2 ? cos x x 2 ? cos x

B. y=

sin x ? cos x sin x ? cos x

C. y=2cosx

D. y=lg(sinx+ 1 ? sin 2 x )

二、填空题 6.在满足

sin π x =0 的 x 中,在数轴上求离点 6 最近的那个整数值是 π 1 ? tan x 4



7. 已知 f ? x ? ? a sin x ? b 3 x ? 4 (其中 a、 b 为常数) , 若 f ?2? ? 5 , 则 f ? ?2 ? ? __________. 8.若 cos ? ? cos 30? ,则锐角 ? 的取值范围是_________.

9. 由函数 y ? 2 sin 3x? 形的面积是_________.

5? ? ?? 这个封闭图 ?x? ? 与函数 y=2 的图象围成一个封闭图形, 6 ? ?6

10.函数 y ?

1 2

sin(2 x ? ? ) 的图象关于 y 轴对称的充要条件是

三、解答题 11.如图,表示电流强度 I 与时间 t 的关系式 I ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0), 在一个周 期内的图象. ①试根据图象写出 I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式 ②为了使 I ? A sin(?t ? ? ) 中 t 在任意一段

1

100 秒的时间内 I 能同时取最大值|A|和最小值-|A|,
那么正整数 ? 的最小值为多少?

12.讨论函数 y=lgcos2x 的的定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性等函数的基本性质

13.函数 f ( x) ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2sin 2 x 的最小值为 g (a), (a ? R) (1)求 (2)若 g ( a ) ?

1 ,求 a 及此时 f ( x ) 的最大值 2

14.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且 f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

(1)试证 f(x)是周期函数.

(2)若 f(3)= ? 3 ,求 f(2005)的值.

15 .已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图象关于点

? 3π ? ? π? M? ,0 ?对称,且在?0, ? 上是单调函数,求 ?和? 的值. 4 ? ? ? 2?

参考答案
一、选择题 1.B 2.D 二、填空题 6.1 7.3 8. 0? ? ? ? 30 ? 9. 3.C 4.B 5.D

4 ? 3

10. ? ? k? ?

?
2

,k ?Z

三、解答题

11. (1) I ? 300 sin(100?t ? 12.定义域:(kπ-

?
3

) (2) ? ? 629

? ? ,kπ+ ),k∈Z;值域 (??,0] ;奇偶性:偶函数;周期性:周期函数, 4 4 ? ? 且 T=π;单调性:在(kπ- ,kπ ] (k∈Z)上递增,在[kπ,kπ+ ) 上递减 4 4
13. f ( x) ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2sin 2 x ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2(1 ? cos2 x)

a a2 ? 2 cos2 x ? 2a cos x ? 1 ? 2a ? 2(cos x ? ) 2 ? 1 ? 2a ? ( a ? R) 2 2
(1)函数 f ( x ) 的最小值为 g (a )

a a a2 1. 当 ? ?1时 即a ? ?2时 ,由cos x ? ?1得 g (a) ? 2(?1 ? ) 2 ? 1 ? 2a ? ?1 2 2 2
2. 当 ? 1 ? a a a2 ? 1时 即 ? 2 ? a ? 2时 , 由 cos x ? 得 g (a) ? ?1 ? 2a ? 2 2 2

a a a2 3. 当 ? 1时 即a ? 2时 , 由cos x ? 1 , 得g (a) ? 2(1 ? ) 2 ? 1 ? 2a ? = 1 ? 4a 2 2 2

(a ? ?2) ?1 ? a2 ? (?2 ? a ? 2) 综上所述得 g (a ) ? ?-1 ? 2a ? 2 ? ? ?1 ? 4a ( a ? 2)

(2)

a2 1 -1-2a ? ? 得 a 2 ? 4a ? 3 ? 0 2 2

? a ? ?1或a ? ?3 (舍)
1 1 a a2 得f ( x) ? 2(cos x ? ) 2 ? 将a ? ?1代入f ( x) ? 2(cos x ? )2 ? 1 ? 2a ? 2 2 2 2

当cos x ? 1 即 x ? 2k? (k ? Z )时 得 f ( x)max ? 5
14.(1)由 f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

,故 f(x+4)=

1 1 ? f ( x ? 2) =? f ( x) 1 ? f ( x ? 2)

f(x+8)=f(x+4+4)= ?

1 =f(x),即 8 为函数 f ( x ) 的周期 f ( x ? 4)

(2)由 f(x+4) = ?

1 3 1 3 ,得 f(5) = ? ∴f(2005)=f(5+250× 8)=f(5)= ? f ( x) 3 f (1) 3

15. 由 f(x)为偶函数,知|f(0)|=1,结合 0 ? ? ? ? ,可求出 ? ? 又由图象关于 M ? 又? ? 0 及

?
2



? 3? ? ,0 ? 对称,知 ? 4 ?

? 3? f? ? 4

3?? ? ?0 ? ? 0 ,即 cos 4 ?

3?? ? 2 ? ? k? ?k ? 0,1,2,??,? ? ? ?2k ? 1??k ? 0,1,2? . 4 2 3
2 ? ?? ? ?? ,2 时,易验证 f(x)在 ?0, ? 上单减;k≥2 时,f(x)在 ?0, ? 上不 3 ? 2? ? 2?

当 k=0,1 即 ? ?

是单调的函数.综上所述 ? ?

2 ? 或2, ? ? 3 2

1.6 三角函数模型简单应用

1. 你能利用函数 y ? sin x 的奇偶性画出图象吗?它与函数 y ? sin x 的图象有什么联系?

-?
2

y 1

? 2

1 ? ? ?? 2.已知: sin ? ? ? ,若(1) ? ? ? ? , ? ; (2) ? ? (0, 2? ) ; 2 ? 2 2?
(3)α 是第三象限角;(4)α∈R.分别求角 α。

2 3.已知 ? ? ?0, 2? ? , sin ? , cos ? 分别是方程 x ? kx ? k ? 1 ? 0 的两个根,求角 ? .

4.设 A、B、C、D 是圆内接四边形 ABCD 的四个内角,求证: (1)sinA=sinC; (2)cos(A+B)=cos(C+D) ; (3)tan(A+B+C)=-tanD.

5.某商品一年内出厂价格在 6 元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知 3 月份达到最高 价格 8 元,7 月份价格最低为 4 元,该商品在商店内的销售价格在 8 元基础上按月份随正弦曲 线波动,5 月份销售价格最高为 10 元,9 月份销售价最低为 6 元,假设商店每月购进这种商品 m 件,且当月销完,你估计哪个月份盈利最大?

6.把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上,卷上几圈.用剪刀斜着 将纸筒剪断,再把卷着的纸 .. 展开, 你就会看到: 纸的边缘线是一条波浪形的曲线, 试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗?

7.如图,铁匠师傅在打制烟筒弯脖 时,为确保对接成直角,在铁板上的下 x 剪线正好是余弦曲线: y ? a cos 的一 a 个周期的图象, 问弯脖的直径为 12 cm 时, a 应是多少 cm ?

8.已知函数 f (x)= 1 ? cos 2 2 x ,试作出该函数的图象,并讨论它的奇偶性、周期性以及 区间[0,

? ]上的单调性。 2

9、 (14 分)如图,扇形 AOB 的半径为 2 ,扇形的圆心角为 形,设∠AOP=θ, (1) 试用 θ 表示矩形 PQRS 的面积 y;

? ,PQRS 是扇形的内接矩 4

(2)利用正、余弦的和(差)与倍角公式化简矩形面积表达式 y.

B Q P

O

R

S

A

10.某人用绳拉车沿直线方向前进 100 米,若绳与行进方向的夹角为 30° ,人的拉力为 20 牛, 则人对车所做的功为多少焦.

,单位:时) 11.某港口水的深度 y(米)是时间 ( t 0 ? t ? 24 ,记作 y=f(x),下面是某日
水深的数

t (时)

0 10

3 13

6 9.9

9 7

12 10

15 13

18 10

21 7

24 10

y (米)
据:

?t ? b 的图象。 经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y ? Asin

12.已知△ABC 的两边 a, b ,它们的夹角为 C 1?试写出△ABC 面积的表达式; 2?当?C 变化时,求△AABC 面积的最大值。

13 .已知定义在区间 [ ? ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ?
3 x ?[ ?

2

?
6

对称,当

?

2 ? ? , ? ]时,函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) , 2 2 6 3
2 3

其图象如图所示. 求函数 y ? f ( x ) 在 [ ? ? , ? ] 的表达式; y
1
?


x??? 6

?

o

? 6

2? 3

?

x

14.绳子绕在半径为 50cm 的轮圈上,绳子的下端 B 处悬挂着物体 W,如果轮子按逆时 针方向每分钟匀速旋转 4 圈,那么需要多少秒钟才能把物体 W 的位置向上提升 100cm?

15.如图,是正弦函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期的图像. (1)写出 f(x)的解析式; (2)若 g(x)与 f(x)的图像关于直线 x=2 对称,写出 g(x)的解析式. (1)试根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似表达式; (2) 一般情况下, 船舶航行时, 船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的 (船 舶停靠时,船底只需不碰海底即可) ,某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该 船希望在一天内安全进出港, 请问, 它至多能在港内停留多长时间? (忽略进出港所需的时间)

参考答案
1. 略 2 . (1) ? ? ?

?
6

(2) ? ?

7? 6

或? ?

11? 6

(3) ? ?

7? 6

? 2k? , k ? Z (4) ? ?

7? 6

? 2 k? , k ? Z 或

? ??

?
6

? 2 k? , k ? Z 。

(1) 2 ?sin ? ? cos ? ? k 3.由已知得: ? (1) ? 2 ? (2) 得 1 ? 2(k ? 1) ? k 2 ?sin ? cos ? ? k ? 1 (2)
∴k2-2k-3=0 即 k=3 或 k=-1. 又 sin ? ? 1, cos ? ? 1 则 sin ? ? cos ? ? k ? 2 ,因此 k=3 舍去。 或? ? ? 2 4.由已知 A+C=?,A+B+C+D=2? ? 得 A=?-C,则 sinA=sin(?-C)=sinC, ∴k=-1, 则 sin ? ? cos ? ? ?1 , sin ? cos ? ? 0 , ∴ ? ? 又 A+B=2?-(C+D) , 故 cos(A+B)=cos[2?-(C+D)]=cos(C+D). tan(A+B+C)=tan(2?-D)=-tanD. 5.设出厂价波动函数为 y1=6+Asin(ω1x+φ1) 易知 A=2 T1=8 ω1=

3?

? 4 ? 4

3? ? ? +φ1= ? φ1=4 2 4 5? 3? ? +φ2= ? φ2=4 4 2

∴y1=6+2sin(

? ? x- ) 4 4

设销售价波动函数为 y2=8+Bsin(ω2x+φ2) 易知 B=2 T2=8 ω2= ∴y2=8+2sin(

? 3? x) 4 4

每件盈利 y=y2-y1=[8+2sin( =2-2 2 sin 当 sin

? 3? ? ? x)]-[6+2sin( x- )] 4 4 4 4

? x 4

? ? ? x=-1 ? x=2kπ- ? x=8k-2 时 y 取最大值 4 4 2
∴估计 6 月份盈利最大

当 k=1 即 x=6 时 y 最大 6.略

7.弯脖的直径为 12 cm,则周长为 12? cm ,周长正是函数 y ? a cos
T ? 2? a ? 12? ,得 a ? 6cm .

x a

的一个周期,即

8.解:f (x)=|sin2x| f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x) ∴f (x)为偶函数 T=

? 2

1

在[0,

? ? ? ]上 f (x)单调递增;在[ , ]上单调递减 4 4 2

9.解: (1)在直角三角形 OPS 中 SP= 2 sinθ,OS= 2 cosθ 矩形的宽 SP= 2 sinθ 因∠ROQ=

? 4

所以 OR=RQ=SP= 2 sinθ 矩形的长 RS=OS-OR= 2 cosθ- 2 sinθ 所以面积:y=( 2 cosθ- 2 sinθ) 2 sinθ (0﹤θ<

? ) 4

10. 1000 3 11.1) y ? 3 sin 2)由 3 sin

? t ? 10 6

? ? 1 ? ? 5? t ? 10 ? 11 .5 ,即 sin t ? ,解得 ? 2k? ? t ? ? 2k?, k ? z 6 6 2 6 6 6

12k ? 1 ? t ? 12k ? 5(k ? z) ,在同一天内,取 k=0,1 得 1 ? t ? 5,13 ? t ? 17
∴该船希望在一天内安全进出港, 可 1 时进港, 17 时离港, 它至多能在港内停留 16 小时。 -? B a C D b c A
??

o

?

x

12.解:

1?如图:设 AC 边上的高 h=asinC
1 ∴[S△ABC]max= ab 2

2?当 C=90?时[sinC]max=1

13. (1)当 x ? [ ?

?

2 ? ? ] 时, f ( x) ? sin( x ? ) ,当 x ? [ ? ? , ? ] 时 f ( x) ? ? sin x 3 3 6 3

,

2

14.设需 x 秒上升 100cm .则

x 15 ? 4 ? 2? ? 50 ? 100 ,? x ? (秒) 60 ?

15. (1)f(x)=2sin(

? ? ? ? x+ ) (2)g(x)=2sin( x- ) 4 4 4 4



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