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第八章 第一节 直线的倾斜角与斜率



1.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的 值为 A.1 C.1或3
m- 4 解析:由 =1,得 m=1. -2-m

( B.4 D.1或4

)

答案:A

2.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x等于 ( )

>A.-1
C.-3

B.1
D.3

7-5 x-5 x-5 解析:因为 kAB= =2,kAC= =- . 4 4-3 -1-3 A、B、C 三点共线,所以 kAB=kAC, x- 5 即- =2,解得 x=-3. 4

答案:C

3.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,

则a等于
A.2 C. 0 B.1 D.-1

(

)

解析:由题知(a+2)a=-1?a2+2a+1=(a+1)2=0, ∴a=-1.也可以代入检验. 答案:D

4.已知直线l1过A(2,3)和B(-2,6),直线l2过点C(6,6)和 D(10,3).则l1与l2的位置关系为________.
6-3 6-3 3 3 解析:∵kl1= =- ,kl2= =- , 4 4 -2-2 6-10 ∴k1=k2,结合图知 l1 与 l2 不重合,∴l1∥l2.

答案:l1∥l2

5.已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l过点P(-1,6),且与线 段AB相交,则该直线倾斜角的取值范围是________.

解析:如图所示, 6-3 kPA= =-1, -1-2 ∴直线 PA 的倾斜角为 3π , 4

6-2 π kPB= =1,∴直线 PB 的倾斜角为 , 4 -1-?-5? π 3π 从而直线 l 的倾斜角的范围是[ , ]. 4 4
π 3π 答案:[ , ] 4 4

1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的角α叫做直 线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定 它的倾斜角为 0° .

(2)倾斜角的范围为 [0,π) .

2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的 斜率,斜率常用小写字母k表示,即k= tanα ,倾斜角

是90°的直线斜率不存在.
(2)过两点的直线的斜率公式. 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 y2-y1 为k= . x2-x1

3.两条直线的斜率与这两条直线平行与垂直的关系 两条 对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别 直线 为k1、k2,则有l1∥l2? k1=k2 .特别地,当直 平行 线l1、l2的斜率都不存在时,亦有l1∥l2;

如果两条直线l1、l2的斜率存在,设为k1、k2, 两条 k2=-1 .特别地,当其中一条 则有l1⊥l2? k1· 直线 直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0 垂直 时,亦有l1⊥l2.

考点一

直线的倾斜角及应用

π π (2011· 长沙模拟)直线 2xcosα-y-3=0(α∈[ , ])的倾 6 3 斜角的变化范围是 π π A.[ , ] 6 3 π π C.[ , ] 4 2 π π B.[ , ] 4 3 π 2π D.[ , ] 4 3 ( )

[自主解答] 直线 2xcosα-y-3=0 的斜率 k=2cosα,由于 α π π 1 3 ∈[ , ],所以 ≤cosα≤ ,因此 k=2cosα∈[1, 3].设直 6 3 2 2 线的倾斜角为 θ,则有 tanθ∈[1, 3],由于 θ∈[0,π),所以 π π π π θ∈[ , ],即倾斜角的变化范围是[ , ]. 4 3 4 3

[答案] B

若本例中直线为xcosα + 3y+2=0, 则其倾斜角的范围 3 3 ∵-1≤cosα≤1,∴- ≤k≤ . 3 3 多少?
3 线斜率k=- cosα. 3 设直线的倾斜角为 θ,则- 3 3 ≤tanθ≤ . 3 3

解:由xcosα+ 3y+2=0得直

π π π 5π 结合正切函数在 [0 , ) ∪ ( , π) 上的图象可知, 0≤θ≤ 或 2 2 6 6 ≤θ<π.

直线 xsinα-y+1=0 的倾斜角的变化范围是 π A.(0, ) 2 π π C.[- , ] 4 4 B.(0,π) π 3 D.[0, ]∪[ π,π) 4 4

(

)

解析:直线 x·sinα-y+1=0 的斜率是 k=sinα, 又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1, π 当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是[0, ] 4 3 当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是[ π,π). 4 答案:D

考点二

直线的斜率及应用

(2011· 临沂模拟)已知直线l过P(-1,2),且与以A (-2,-3)、B(3,0)为端点的线段相交,求直线l的斜率的 取值范围.

[自主解答] 法一:设 PA 与 PB 的倾斜角分别为 α、β,直线 PA 的斜 1 率是 k1=5,直线 PB 的斜率是 k2=- .当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴 2 平行的位置 PC 时,它的倾斜角由 α 增至 90° ,斜率的取值范围为[5, +∞).

当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时, 它的倾斜角由 90° 增至 β,斜率的变化 1 范围是(-∞,- ]. 2 1 故斜率的取值范围是(-∞,- ]∪[5,+∞). 2

法二:设直线 l 与线段 AB 相交于点 M(x,y),且 M 不同于 A、B 两 ???? ? ???? 点.设 AM =λ MB (λ>0). 3λ-2 -3 由向量相等可得 M( , ). 1+λ 1+λ 又∵直线 l 过点 P(-1,2), -3 -2 1+λ -5-2λ ∴直线 l 的斜率 k= = , 3λ-2 -1+4λ -?-1? 1+λ

k-5 整理得 λ= . 4k+2 k-5 ∵λ>0,∴ >0, 4k+2 1 解得 k>5 或 k<- . 2 2-?-3? 当 M 与 A 重合时,kPA= = 5, -1-?-2? 2-0 1 当 M 与 B 重合时,kPB= =- . 2 - 1- 3 1 综上所述,直线 l 的斜率 k 的取值范围是(-∞,- ]∪[5,+∞) . 2

已知点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是直线 AB的倾斜角的2倍,求直线l的斜率.

解:∵由于 A(-1,-5),B(3,-2), -2+5 3 ∴kAB= = . 3+1 4 设直线 AB 的倾斜角 θ, 3 即 tanθ= ,直线 l 的倾斜角为 2θ, 4 2tanθ 24 ∴tan2θ= = . 1-tan2θ 7 即 l 的斜率为 24 . 7

考点三

两条直线平行与垂直的判定及应用

已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-

1)y+a2-1=0.
(1)试判断l1与l2是否平行; (2)l1⊥l2时,求a的值.

[自主解答]

(1)法一:当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,

l2:x=0.l1 与 l2 不平行. 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不平行. 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 a 1 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1). 2 1- a 1 ? a ?- = 由 l1∥l2 得? 2 1-a ,解得 a=-1. ? ?-3≠-?a+1? 综上可知当 a=-1 时,l1∥l2.

法二:由 a· (a-1)-2· 1=0 得 a=2 或 a=-1. 由 2· (a2-1)-(a-1)· 6≠0 得 a≠1 且 a≠2. ∴当 a=-1 时,l1∥l2. (2)法一:①当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0. 显然 l1 不垂直于 l2. a 1 ②当 a≠1 时,l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 2 1-a a 1 2 由(- )· =-1,得 a= . 2 1-a 3 2 ∴由①与②可知当 a= 时,l1⊥l2. 3

法二:由 A1A2+B1B2=0 得,a+2(a-1)=0, 2 ∴a= . 3 2 ∴当 l1⊥l2 时,a= . 3

已知直线x+a2y+6=0与直线(a-2)x+3ay+2a=0平行,
则a的值为 A.0或3或-1 C.3或-1 B.0或3 D.0或-1 ( )

解析:法一:当 a=0 时,l1:x+6=0,l2:x=0,l1∥l2 1 6 当 a≠0 时,两直线可化为:l1:y=- 2x- 2, a a a- 2 ? 1 ?-a2=- 3a a-2 2 l2:y=- x- .由 l1∥l2,得:? 3a 3 ?- 62≠-2 3 ? a 解得 a=-1 综上可知当 a=-1 或 0 时,l1∥l2.



法二:由1×3a-a2(a-2)=0得:a=0或a=3或a=-1 由1×2a-6×(a-2)≠0得:a≠3,

∴当a=0或a=-1时l1∥l2.
答案:D

本节主要以选择、填空题的形式出现,属于中低档题

目.其中直线的倾斜角和斜率、两直线的位置关系是高考
的热点.2009年高考全国卷Ⅰ将直线的倾斜角和两直线位置 关系相结合,考查了数形结合的思想.

[考题印证]

(2009·全国卷Ⅰ)若直线 m 被两平行线 l1: x-y

+1=0 与 l2: x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则m的 倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是_______.(写出所有正确答案的序号)

[规范解答]

求得两平行线间的距离为 2, 则 m 与两平行线

的夹角都是 30° ,而两平行线的倾斜角为 45° ,则 m 的倾斜 角为 75° 或 15° .

[答案] ①⑤

1.斜率与倾斜角的关系 已知倾斜角的范围,求斜率的范围, 实质上是求k=tanα的值域问题.已 知斜率k的范围求倾斜角的范围,实

质上是在[0,π)上解关于正切函数的三角不等式问
题.由于函数k=tanα在[0,π)上不单调,故一般借助 该函数图象来解决此类问题.

2.直线的斜率公式 (1)斜率是个比值,与两点的顺序无关,即两点的横、纵坐 标在公式中的前后次序相同,也可以同时颠倒. y2-y1 (2)垂直于 x 轴的直线没有斜率,这从斜率公式 k= 中 x2-x1 的 x1≠x2 也可以看出来,而在设直线的点斜式或斜截式 方程求解问题时,常常会漏掉这种情况.解题时应引起 注意.

3.两直线垂直与平行的判定及应用

(1)直线l:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2,“l1∥l2?k1=k2
且b1≠b2”的前提条件是l1,l2的斜率都存在,因此,当l1, l2中某直线的斜率可能不存在时,应对其进行分类讨论:

当l1,l2中有一条存在斜率,而另一条不存在斜率时,l1与
l2不平行;当l1,l2的斜率都不存在(l1与l2不重合)时,l1∥l2; 当l1,l2均有斜率且k1=k2,b1≠b2时,有l1∥l2.为避免分类

讨论,可采用直线方程的一般式,利用一般式方程中的
“系数比”的形式来判断两直线是否平行. (2)l1⊥l2时,可分斜率不存在与斜率存在,且k1· k2=-1解 决问题,如果利用A1A2+B1B2=0,可避免分类讨论.

1.已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋转 60° 所得的直线的斜率是 A.0 C. 3 3 B. 3 D.- 3 ( )

解析:由已知得直线 PQ 的倾斜角为 120° ,旋转后的直线的倾 斜角为 120° -60° =60° ,∴斜率为 tan60° = 3.

答案:C

2.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0, 则a、b满足 ( )

A.a+b=1
C. a + b = 0

B.a-b=1
D. a - b = 0

解析:∵sinα+cosα=0,α 是倾斜角,∴tanα=-1, a ∴k=-b=tanα=-1,∴a-b=0. 答案:D

3.(2011· 天津模拟)a=1是直线y=ax+1和直线y=(a-2)x -1垂直的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解析:若a=1,则直线y=x+1和直线y=-x-1的斜
率乘积为-1,所以两条直线互相垂直;若直线y=ax +1和直线y=(a-2)x-1垂直,则有a(a-2)=-1,解 得:a=1. 答案:C

4.已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,
a3)共线,则a=________.
解析:∵A、B、C 三点共线, a2+a a3-a2 ∴kAB=kBC,即 = ,又 a>0,∴a=1+ 2. 2-1 3-2

答案:1+ 2

5.(2011· 南京模拟)若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线 的倾斜角α为钝角,则实数a的取值范围为_______.
π 解析:∵直线的倾斜角为钝角,即 α∈( ,π), 2 2a-?1+a? a-1 ∴k= = <0, 3-?1-a? 2+a a-1 ∴ <0,即-2<a<1,∴a 的取值范围为(-2,1). 2+a

答案:(-2,1)

6.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)、Q(2,2),

若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,求m的范围.
解:法一:直线 x+my+m=0 恒过 A(0,-1)点. -1-1 kAP= =-2, 0+1 - 1- 2 3 kAQ= = , 0-2 2

1 3 1 则-m≥ 或-m≤-2, 2 2 1 ∴- ≤m≤ 且 m≠0. 3 2 又 m=0 时直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点, 2 1 ∴所求 m 的范围是- ≤m≤ . 3 2

2- 1 法二:过 P、Q 两点的直线方程为 y-1= (x+1), 2+ 1 1 4 即 y= x+ ,代入 x+my+m=0,整理得: 3 3 (3+m)x+7m=0, ∴x=- 7m (显然 m≠-3), m+ 3 7m ≤2, m+ 3

由已知-1≤-

2 1 解得:- ≤m≤ . 3 2

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