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北京市2014-2015学年高中数学 离散型随机变量及其分布列(二)课后练习 新人教A版选修2-3

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专题 离散型随机变量及其分布列(二) 课后练习
主讲教师：王春辉 一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后 放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 ξ 次球，则 P(ξ ＝12)＝( ) 3 ?5?2 10?3?10 9 ?3?9?5? 2 A．C12? ? ·? ? B．C11? ? ? ? · ?8? ?8? ?8? ?

8? 8

?3?2 9 ?5?9 C．C11? ? ·? ? ?8? ?8?

?5?2 9 ?3?9 D．C11? ? ·? ? ?8? ?8?

题一：设不等式 x2 ? y2 ? 4 确定的平面区域为 U， x ? y ? 1 确定的平面区域为 V． (Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域 U 内任取 3 个整点，求这些整点中恰有 2 个整 点在区域 V 的概率； (Ⅱ)在区域 U 内任取 3 个点，记这 3 个点在区域 V 的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 题二：某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的 1 概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2 min. 3 (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布列及均值． 题三：张先生家住 H 小区，他在 C 科技园区工作，从家开车到公司上班有 L1，L2 两条路线(如图)，

L1 路线上有 A1，A2，A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
各路口遇到红灯的概率依次为

1 ；L2 路线上有 B1，B2 两个路口， 2
A1 H B1 A2 L1 L2 B2 A3 C

3 3 ， ． 4 5

(Ⅰ)若走 L 1 路线，求最多 遇到 1 次红灯的概率； ．． (Ⅱ)若走 L2 路线，求遇到红灯次数 X 的数学期望； (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生 从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由． 题四：某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为 p1 ?

2 ，乙的命中率为 p2 ，在射击比武活动 3

中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发， 则称该射击小组为“先进和谐组”； (Ⅰ)若 p2 ?

1 ，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； 2

(Ⅱ)计划在 2011 年每月进行 1 次检测，设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数 ? ， 如果 E? ? 5 ，求 p2 的取值范围. 题五：盒子中装有大小相同的 10 只小球，其中 2 只红球，4 只黑 球，4 只白球．规 定：一次摸出 3 只球，如果这 3 只球是同色的，就奖励 10 元，否则罚款 2 元． (Ⅰ)若某人摸一次球 ，求他获奖励的概率； (Ⅱ)若有 10 人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回 ，记随机变量 ? 为获奖励的人数， (i)求 P(? ? 1)
-1-

1 ? 14 ? (ii)求这 10 人所得钱数 的期望．(结果用分数表示，参考数据： ? ? ? ) 2 ? 15 ? 题六：“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老 游戏，其规则是：用三种不同的手势
分别表示石头、 剪刀、 布； 两个玩家同时出示各自手势 1 次记为 1 次游戏， “石头”胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、 乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． (Ⅰ)求出在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率； (Ⅱ)若玩家甲、乙双方共进行了 3 次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量 X ，求 X 的分布列及其期望． 题七： A 、 B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由 4 只小白鼠 组成，其 中 2 只服用 A ，另 2 只服用 B ，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用 A 有效的小 白鼠的只数比服用 B 有效的多， 就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 服用 B 有效的概率为

10

2 ， 3

1 . 2

(Ⅰ )求一个试验组为甲类组的概率； (Ⅱ)观察 3 个试验组，用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求 ? 的分布列和数学期望.

专题 离散型随机变量及其 分布列(二) 课后练习参考答案
-2-

题一： B.

详解：
9 2 P(ξ ＝12)表示第 12 次为红球，前 11 次中有 9 次为红球，从而 P(ξ ＝12)＝C9 11·? ? ? ? × ?8? ?8? 8

?3? ?5?

3

题二：

(Ⅰ) P ?

1 C52 .C8 40 ? 3 C13 143

(Ⅱ) X 的分布列为：

X P
∴ X 的数学期望：

0

1
3 3

2
2

3

? 2? ?1?
8?
3 2?

3 ? 2? ? 1? 8? 3

3 ? 2? ? 1? 8? 3

1 8? 3

详解： (Ⅰ)依题可知平面区域 U 的整点为

?0,0? , ?0, ?1? , ?0, ?2? , ? ?1,0? , ? ?2,0? , ? ?1, ?1? 共有 13 个，
1 C52 .C8 40 ? 3 C13 143 1 (Ⅱ)依题可得：平面区域 U 的面积为 ? ? 22 ? 4? ，平面区域 V 的面积为 ： ? 2 ? 2 ? 2 ， 2 2 1 ? 在区域 U 内任取 1 个点，则该点在区域 V 内的概率为 ， 4? 2? 1，， 2 3 ，且 易知： X 的可能取值为 0，

平面区域 V 的整点为 ? 0,0? , ? 0, ?1? , ? ?1,0? 共有 5 个，

∴P?

3 ? 2? ? 1? 1 ? ? 2? ? 1? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? P ( X ? 0) ? C ? ? ，P( X ? 1) ? C3 ?? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 3 8? 8? 3 ? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? ? 2? ?
0 3 3 1 2 0 3

2

? 1 ? P( X ? 2) ? C ? ? ? ? 2? ?
2 3

2

1 ? 3 ? 2? ? 1? ? 3 ? 1 ? ? ?1 ? ，P( X ? 3) ? C3 ?? ? ? ? 3 8? ? 2? ? ? 2? ?
1

3

1 ? 1 ? ? ?1 ? ? ? 3 ∴X ? 2? ? 8?
3

3

的分布列为：

X P
∴ X 的数学期望：

0

1
3

2
2

? 2? ?1?
8? 3
3

3 ? 2? ? 1? 8? 3
2

3 ? 2? ? 1? 8? 3

1 8? 3

3 ? 2? ? 1? 3 ? 2? ?1? 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? 3 = 3 3 3 8? 8? 8? 8? 2? 1 1 3 ) ，故 EX ? np =3 ? ? (或者： X ~ B (3, ) 2? 2? 2?
题三： (1)

? 2? ?1? EX ? 0 ?

4 ? 27

(2)ξ 的分布列是
-3-

8 ξ 的均值是 . 3 详解： (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生 在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，

P( A) ?

2 2 1 4 . ? ? ? 3 3 3 27

(2)由 题意，可得 ξ 可能的取值为 0，2，4，6，8(单位：min)． 事件“ξ ＝2k”等价于事件“该学生在路上遇 到 k 次红灯”(k＝0，1，2，3，4)，
k?1?k?2?4－k ∴P(ξ ＝2k)＝C4? ? ? ? (k＝0，1，2，3，4)， ?3? ?3?

∴ξ 的分布列是

16 32 8 8 1 8 ∴ξ 的均值是 E(ξ )＝0× ＋2× ＋4× ＋6× ＋8× ＝ . 81 81 27 81 81 3

题四： (Ⅰ)

1 27 ．(Ⅱ) ． 2 20

(Ⅲ)选择 L2 路线上班最好． 详解：(Ⅰ)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件， 则 P ( A)=C3 ? ( ) ? C3 ?
0 3 1

1 2

1 1 2 1 ?( ) ? ． 2 2 2 1 ． 2

所以走 L1 路线，最多遇到 1 次红灯的概率为 (Ⅱ)依题意， X 的可能取值为 0，1，2．

3 3 9 3 3 1 3 3 3 3 9 P( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? ， P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ， P ( X =2)= ? ? ． 4 5 20 4 5 10 4 5 4 5 20 故随机变量 X 的分布列为： 0 1 2 X 1 9 9 P 10 20 20 1 9 9 27 EX ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ． 10 20 20 20
-4-

(Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ，随机变量 Y 服从 二项分布， Y ? B(3, ) ， 所以 EY ? 3 ?
题五：

1 2

1 3 ? ． 2 2 1 (Ⅰ) P ? 3

因为 EX ? EY ，所以选择 L2 路线上班最好．

(Ⅱ)

3 ? p2 ? 1 . 4
1

详解：(Ⅰ) P ? (C2 ?

2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ? )(C2 ? ? ) ? ( ? )( ? ) ? 3 3 2 2 3 3 2 2 3

(Ⅱ)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率

2 2 8 4 1 2 1 1 P ? (C2 ? ? )[C2 ? p2 (1 ? p2 )] ? ( ? ) p2 2 ? p2 ? p2 2 3 3 3 3 9 9 8 4 2 3 而 ? ? B(12, P) ，所以 E? ? 12P ，由 E? ? 5 知 12( p2 ? p2 ) ? 5 ，解得 ? p2 ? 1 . 9 9 4
题六： (Ⅰ)

1 15

(Ⅱ) ?12 .. .

详解： (Ⅰ) p ?
3 2C4 1 = 3 C10 15

（ 10, (Ⅱ)(i)由题意知 ? ? B

1 ) ，则 15

14 10 1 14 1 1 ) ? C10 ? ? ( )9 ? 15 15 15 7 1 14 6 ? 10 ? ? 2 ? ? ， (ii)设? 为在一局中的输赢，则 E? ? 15 15 5 6 所以 E (10? ) ? 10 E? ? 10 ? ( ? ) ? ?12 ，即这 10 人所得钱数的期望为 ?12 . 5 1 题七： (Ⅰ) ． 3 ( Ⅱ) X 的分布列如下： 0 1 2 3 X 8 12 6 1 P 27 27 27 27 EX ? 1 ． P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? (
详解： (Ⅰ)玩家甲、 乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果是： (石头， 石头)； (石头， 剪刀)； (石头，布)；(剪刀，石头)；(剪刀，剪刀)；(剪刀，布)；(布，石头)；(布，剪刀)；(布，布)．共 有 9 个基本事件， 玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：(石头，剪刀 ) ； ( 剪刀， 布 )；(布， 石头 ) ， 共有 3 个． 所 以，在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率 P ?

3 1 ? ． 9 3
-5-

(Ⅱ) X 的可能取值分别为 0，1，2，3．

8 ?2? 1 ?1? ， P ? X ? 1? ? C3 P ? X ? 0? ? C ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? 27 ? 3?
0 3

3

1

? 2 ? 12 ， ?? ? ? ? 3 ? 27
3

2

?1? P ? X ? 2? ? C ? ? ? ? 3?
2 3

2

6 1 ? 2? 3 ?1? ． ? ? ? ? ， P ? X ? 3? ? C3 ?? ? ? ? 3 ? 27 ? 3 ? 27
0 1 2 3

1

X 的分布列如下： X

8 12 6 1 P 27 27 27 27 8 12 6 1 1 1 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 (或： X ~ B (3, ) ， EX ? np ? 3 ? ? 1 )． 27 27 27 27 3 3
题八： (Ⅰ)

4 9
`0 125 729 1 100 243 2 80 243 3 64 729

(Ⅱ)?的分布列为 ?

P
数学期望 E? ?

4 . 3 详解：(Ⅰ)设 Ai 表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠有 i 只”，i=0，1，2；

Bi 表示事件“一个试验组中，服用 B 有效的小白鼠有 i 只”，i=0，1，2 1 2 4 2 2 4 1 1 1 ) ?2 ? ? 依 题 意 有 P ( A1 ? ， P( A2 ) ? ? ? ， P( B0 ) ? ? ? ， 3 3 9 3 3 9 2 2 4 1 1 1 P ( B1 ) ? 2 ? ? ? ， 2 2 2 1 4 1 4 1 4 4 所求 的概率为 P ? P ( B0 A1 ) ? P ( B0 A2 ) ? P ( B1 A2 ) ? ? ? ? ? ? ? 4 9 4 9 2 9 9 4 k 4 k 5 3? k (Ⅱ)?的可能取值为 0，1，2，3，且 ?~ B(3， )， P(? ? k ) ? C3 ( ) ( ) , k ? 0,1, 2,3 9 9 9
∴ ?的分布列为 ? `0 125 729 1 100 243 2 80 243 3 64 729

P
所以数学期望 E? ? 3 ?

4 4 ? . 9 3

-6-



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