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对一道物理竞赛题的两种互异解答的探讨



2 0 1 5年 第 7期 

物 理 通 报 

物 理 问 题 讨 论 

对 一 道 物 理 竞 赛题 的 两 种 互 异 解 答 的探 讨 
郑  金 
( 凌 源 市 职 教 中 心  辽 宁 朝 阳  1 2 2 5 0 0 )  

( 收 稿 日期 : 2 0 1

5 —0 2— 2 5 )  



要: 针 对 一 道 竞 赛 题 的两 种 不 同 的解 答 得 出 两 个 相 反 的 结 果 , 通过 深入辨析原 因 , 多 角 度 探 究 了 恒 速 参 考 

系 中做 往 复 运 动 物 体 的 机 械 能 守 恒 的 条 件 以及 弹 簧 的弹 性 势 能 与 系统 的 弹性 势 能 的 异 同 .  
关键词 : 竞 赛 题  参 考 系  机 械 能 守恒 

对 于第 2 6届全 国 中学生 物理 竞 赛 复赛 第 三 题 

动 , 位; l 多为 X 一 一 u t , 则 墙 壁 对 弹 簧 所 做 的功 为 

第 1小题 , 原参 考答 案 虽然 正 确 , 但 只有 定 性 分 析 ,  
没有 进行 定量 解答 ; 此外, 在 一些 文献所 给出 的答 案  中, 既有 正确 的 , 也有错误的, 下 面 对 两 种结 果 不 同  的解 法进 行 探讨 .  

W —F x : ~ F  U  ̄ C O S   o ) t一 一 f( t ) t  

这是 功 的 瞬 时 值 , 为 了求 总功 , 需 求 出 函 数 

厂(   ) =u F  C O S   c o t 对 时 间的平 均值 , 根据 正 弦半波 平  均值 等 于最 大值 的  倍 , 则 由对 称性 可知 函数 厂 (   )   在  1周 期 内的平 均值 为 

【 题 目】 一 质量 为 m 的小球 与一 劲度 系数 为  的  弹 簧相 连组 成一体 系 , 置于 光滑 水平 桌面 上 , 弹簧 的  另 一端 与 固定 墙 而 相 连 , 小 球 做 一 维 自由振 动 . 试 
问: 在一 沿此 弹簧 长 度 方 向 以速 度 “做 匀 速 运 动 的 



= = =  

参 考系 里观 察 , 此 体 系 的机 械能 是否 守恒 , 并说 明理 
由.  

所 以墙壁 的 弹力所 做 的功为 
w = 一  = = = 一  T
“ 
. 

= 

参 考答 案 : 否. 原 因是 墙壁 对 于该 体 系而 言是 外 
界, 墙壁 对 弹簧有 作用 力 , 在运 动参 考系 里此 力 的作 



7 c  

_ 4



一  

∞ 

用 点有 位移 , 所 以对体 系做 功 , 从 而改变 这一 体系 的 
机 械能 .   从 该答 案 来看 , 原题 是一 道 比较简 单 的竞赛题 .   下 面展 示两 种难 度较 大 的定 量 解 法 , 并 指 出其 中的 
不 足之 处.  

再来 计 算 一 下 系统 机 械 能 的变 化. 在 沿 弹簧 长 
度 方 向以速 度 “做匀 速 运 动 的参 考 系 中 , 弹簧 压 缩 

至 最 短 时 , 弹 性 势 能 最 大 值 为 丢   ( △   ) 。 , 小 球 与 参   考 系 同 速 , 速 度 大 小 为   , 动 能 为 丢 m U   2 ; 弹 簧 恢 复 原  
长时, 弹性势 能 为零 , 小球 速度 最 大为  , 方 向与参  考 系运 动方 向相 同 , 因此小 球 的动能 为 

解法 1 : 由于小球 做周 期性 运 动 , 墙 壁 对 弹簧 的 

力 也是 周期 性 变化 的 , 因 此 只 需计 算 弹簧 从 压 缩 最 
1  

短到恢复原长的÷ 周期 内墙壁的弹力所做 的功.  
设 弹簧 位 于墙壁 的 右侧 , 参 考 系 向右运 动 , 弹簧 
的形 变量 为 
Ax = Ax  C OS   wt  

专   (  一  
在 此 过 程 中 , 动 能 的 增 量 为 丢 研  一 7 ) 2 / 2 , 7 3 m 其  
中前 一项 由弹性 势 能转换 而来 ; 后 一项为 


则 墙 壁对 弹簧 的弹 力为 
F= , c?Ax =  ?△  C OS   c o t  
mU ' U   = 一  “ ∞ .△  : 一 
r a t  

△z 

在运 动 参 考 系 中 , 弹簧 与墙 壁 的接 触 点 向左 运 

这恰好 等 于墙 壁弹力 对 弹簧所 做 的功.  
— —  

1   0Q

— — 

2 0 1 5年 第 7期 

物 理通报 

物 理 问 题 讨 论 
As i n   wt一 “  

由此 可 见 , 在 运动 参考 系 中 , 系 统 的机械 能确 实 
不 守恒 , 即系 统动 能 的 增 加量 与势 能 的减 少 量不 相  等, 原 因是外 力做 的功 不 为零 , 机械 能守 恒 的条件 不 





 

n  = 一 c £ , 。 AC O S   c o t   a  

f一  n  = 一  ( c J 。 Ac o s   c o t= 一 船  

再满足了. 但由于  

=-  ̄( a x   ) 。 , 外力做的功  

小 球 的 动 能 为 

在 数值 上恰 好等 于机 械能 的增 量.   求墙 壁 弹力所 做 的功 还有 一种 方法 .   设 弹簧 的伸 长量 为 A x, 在 从原 长状 态 到最大 伸 
长 量 的过程 中 , 墙 壁对 弹簧 的 弹力 为 
F 一 一   △z 一 一   △z s i n   wt  

E   ( £ ) 一 号   一   1  ( 一   A   s i n   £ 一 “ )   一  

号  s i n 2   w t +  “ A   s i n   £ +   1   m “  
由于 弹簧 的弹性 势 能 与 弹簧 的形 变 量有 关 , 考 
虑 到 弹力做 正 功时 弹性 势 能 减 少 , 则 弹性 势 能 可 用  微 分来 表示 为 
a E' p ( £ )一 一 fd x  一船 d ( x— u t )一 
船 d x 一 “ A dt c o s   wt— 

弹簧与 墙壁 接触 点 的位 移 为  一 一 u t , 是关 于 
时 间 的一 次 函数 , 因 此墙壁 弹 力所做 的功 为 
一  

0 

W — F  z  = - 竺 _ F u t一   △  “ _ T


I C UA



d ( ÷ 船  r n m u A s i n ∞   ) 一  
d ( 1  ̄ A 。 c o s z w t — m w u A   s i n ∞ f 1  
由于当 t 一0时 
( £ )一 E ( o )一  以 z  



T Cm

—  

“ 

【  

( 1J  

这表 明 , 在 恒速 参考 系 中 , 墙 壁弹 力对 弹簧 所做  的功 与小球 的质量 、 速度 以及 参考 系 的速度 有关 . 也 

可说 成是 墙壁 对小球 间接做 功 , 称为“ 借物 传功 ” .   解法 2 : 如图 1 所示 , 水 平 弹 簧振 子 在 平 衡位 置  0( 设 为 地 面坐 标 系 原点 ) 两 侧 做 简谐 运 动 , 小 车 以  速度 “向右 运动 , 以小 车 为 参 考 系 , 即坐 标 原 点 o ,  
在小 车 中心 , 刚开 始时 0   与 0重 合 , 且坐标 轴  随 

则积 分 常数 C= = = 0 , 因此 在时 刻 t 弹簧 的 弹性 势能 为 
E ( £ )一  c o s  mt— m wu A  s i n   wt  

则 系统 的机 械能 为 
E  ( £ )一 E  ( £ )+ E  k ( £ )一  1   。+  1   2  

小车 一起 向右 运 动 , 则墙 壁对 弹簧 的作 用 点 以 速度 
U向左运 动 , 发 生位 移 , 因此 墙 壁对 弹簧 的 作用 力 是 
做功 的.  

由于这 是一 个恒 定值 , 所以, 在 小车 参考 系上 观 
察时, 弹簧振 子体 系 的机 械能仍 然 守恒 .  
探讨 : 在上述两种解法 中, 出 现 两 个 不 同 的 结 

果, 那 么其 中必 有一 种解 法是 错误 的.  
对 于解 法 2 , 把  (   ) 视 为 由弹簧 和小 球组 成系 

统 的弹性 势能 是不 确切 的 , 因为 d x   =d x—u d t 并非 
1 圣 I   1  

开始相 对运 动 后 , 当t =0时 , 将 小 球 向右拉 至  最 大位 移 即振 幅 A并 放 手 , 使 之做 简谐 运动 , 在小 车 
参 考 系上 观察 ( 即 以小 车 参 考 系 为静 止 参 考 系) , 地  面参 考 系及小 球都 以速 度  相对 于小车 沿 z轴 负方 

弹簧的形变量 , 那么 E , p ( £ ) 关 系式不是弹簧的弹性 
势能 , 而是 由弹簧 、 小球 和墙 壁所 组成 系统 的 弹性势 
能.  

或者 说 , 由于 在运 动参 考 系 中, 弹簧对 小 球 的弹  力不 是保 守力 , 所 以小球 对 弹簧 所 做 的 功 不 是 二体  系统 的 弹性势 能. 再者 , 弹簧 的 弹性势 能 只与 自身 的 
形 变量 有关 , 不应 随参 考 系而变 化 , 即为 

向匀 速运 动 , 同时小 球还 有相 对 于地 面的速 度 .  

设在 小车 参考 系上 观察 时 , 小 球 的位置 坐标 、 速  度、 加 速度 、 受 到 的力 、 动能、 势 能 分别 为  ,  , n   ,  
厂, E   k ( £ ) , E  ( £ ) , 则有 
=  — u t= Ac o s   c c J t一 


E p ( £ ) 一告  。 c o s   m t  
由伽 利 略变换 及 不变 性可 知 

】 】 0

~  

2 0 1 5年 第 7期 
z = = :   0一 u t = 一 ut  

物 理 通报 

物理 问题 讨论 

时刻 对应 的机 械能 总 量 始 终保 持 不 变 , 如果 将 某 一  过程 中只有两 个时 刻对 应 的机械 能 总量 相 等也称 为  机 械能守 恒 , 那么该 题 还有 其他 解法 , 现探 讨如 下.  

f —f   一f 墙一, , 墙 =一   (   一z   。 )  
墙壁 和小 球对 弹簧 的弹力所 做 的总功 为 
d W  =   d ( x' o -z 。 ) 一f   d x   =f   d   一f   d x  

即弹性 势能 的增 量为 
d E' p 弹一 一 f   d ( x  一  )  

对于 解法1 , 选择的 时间 段 是÷周 期, 得出 结 果  
是 系统 的机 械能 不守 恒 , 如 果 选择 时 间段 是 半个 周 
期, 那 么得 出结果 是 系统 的机械 能守 恒 , 这是 因为 在 

所 以弹簧 的弹性 势能 为 

E   一 号   ( z , 一 z   ) 。 一   1  z  
这表 明 , 弹簧 所 受 的一 对 弹 力在 恒 速 参考 系 中 

半个 周期的 时间内, 其中 前 寺周 期内 墙壁弹 力对弹  

簧 做 负 功, 后{周 期内 墙 壁 弹 力 对弹 簧 做 正 功, 代  
数和 功 为零 , 或者 说 , 余 弦 半 波 的平 均 值 等 于零 , 则  墙壁 作用 力 的平均 值为 零 , 因此所 做 的功 为零 , 所 以  在半 个周 期 内系统 的机 械能 守恒 . 同理 , 由于在一 个 

是保 守力 , 做 功 的多少 与路 径无 关 , 只与 弹簧两 端点 
的位 置有 关.  

由d E ; 弹 =一f   d ( x   一z   ) 可知 

d E ; 弹 ≠一厂   d  
且有 等式 
一  

周期 的时间 内 , 余 弦全 波 的平均 值等 于零 , 则墙 壁作 
用力 的平 均值 为零 , 因此所做 的功为零 , 所 以在一 个 

d x t —d E " 博 一f  

周期 内系统 的机 械能 守恒 . 在匀 速运 动 的参考 系 中 ,  

这表明, 由弹簧 、 小球 和墙壁 所 组成 系统 的弹性 

由于简 谐运 动 的周期 性 , 外 力 做 功 的正 负 及 多少 与 
时 间段 有关 , 所 以系 统 的 机 械 能是 否 守 恒 与 时 间段  有 关. 可见 , 如果 考虑 到 简谐运 动 的周期性 以及 运 动 
过 程 的时 间段 , 那么 答案 具有 不确 定性 .   从 解法 2的推 导过程 可 知 , 当 U:0时 

势 能等 于 弹簧 的弹性 势能 与 弹簧对 墙壁所 做 的功 之  和. 所 谓系 统 的弹性 势能  是指 除 动能之 外 的机械 能 
总 和.  

当弹 簧处 于 拉 伸状 态 时 , 受 到墙 壁 的 作用 力 方 

向 向左 , 而 弹簧 的固 定端 点 在 匀 速 运 动 的参 考 系 中 
运动 方 向向左 , 因此 做正 功 , 由于 相对 于地 面 的速度 

E   (   ) 一E p ( £ ) 一告   c o s 。 c o t  
当 U≠ 0时 , 只有 当 c o t —  (  为 自然数 )时 , 才 有 
E  ( £ )一 Ep ( £ )  

大小 为 口 一a , As i n   c o t , 利用 “ 借 物传 功 ”的结 论 可知  墙壁 作用 力对 小球 间接 做 的功为 
W : 优  一  z ‘  A s i n ∞ 

或者 说 , 对于  ( £ ) 关 系式 , 只有 当 
c o t= 

也 可视 为墙 壁对 弹 簧所 做 的功 , 那 么弹 簧 弹力 
对墙 壁所 做 的功 为 
V   一 一 m uo A As i n   c o t  
C D 

即  一   一要丁时, 弹力对墙壁所做的功为零, 此时 
由小 球 和 弹簧组 成系 统 的弹性 势能 为 

由于墙 壁 的动能保 持 不变 , 所 以 由弹簧 、 小球 和 
墙 壁组 成 系统 的机械 能始 终守 恒.   原 题 中的 由弹 簧和小 球组 成 系统 的机械 能应 为 
E  (   )= E。 ( £ ) + E (   )一 

E   ( £ ) 一寺 
小 球 的动 能为 

z + m w u A s i n   c o t + 丢 m   2 =  
丢  z + m o  ̄ u v +   1   “ z  
由于在式 中含 有 速度  不是 常数 , 因 此 在运 动  参考 系 中 由弹簧 和小球 组 成系统 的机 械能 不守 恒.  


E k ( £ ) 一去 “  
所 以系统 的机械 能 总量 为 

丢   。 +   1  
即当t 一   C  :要T时, 系统的机械能守恒.  
或 由此可 知 , 当  = 1 时 


般来 说 , 机 械 能 守 恒是 指 整 个 过程 中 的各个 

】 】 】

一  

2 0 1 5年 第 7 期 

物 理 通 报 

物 理 问题 讨 论 

2 0 1 4年 课 标 全 国卷 Ⅱ 第 2 1题 答 案再 商讨 
朱 木 清  何 崇荣 
4 3 0 3 0 0 )  

( 武 汉 市 黄 陂 区 第 一 中学  湖北 武 汉 ( 收稿 日期 : 2 0 1 5 一 O l 一 1 9 )  

摘  要 : 文 章 指 出 了 文献 [ 1 ]关 于 2 0 1 4年 课 标 全 国 卷 Ⅱ 第 2 1 题 选 项 D 论 证 中存 在 的 问题 , 并提出不同观点.   关键 词 : 二 极 管  视 在 功 率  有 功功 率  有 效 值 

2 0 1 4年 高考 结 束 后 , 围绕 课 标 全 国卷 Ⅱ 第 2 1   题选 项 D是 否 正 确 , 引 发很 大 争论 . 为此 , 文献 E I - I  
做 了深入 研讨 , 并 对答 案作 了解读 论 证. 但 读 后仍 觉  疑惑 难解 , 作 为学 术争 鸣 , 故再作 商 讨.  

A. 【 , 曲: U( d =  1 : 7 z 2  

B . 增 大负 载 电阻 的阻值 R, 电流 表 的读数 变 小  C . 负 载 电阻 的阻值 越小 ,   间 的电压 U  越 大  D. 将 二极管 短路 , 电流表 的读 数加 倍 

【 题 目】如 图 1 , 一 理想 变压 器原 、 副 线 圈的 匝数 

分别 为  和 。 . 原线 圈通过 一理 想 电流表 ③ 接正 弦 
交 流 电源 , 一 个二 极管 和 阻值 为 R 的负 载 电 阻 串联 
后接 到 副线 圈的 两端 . 假设 该 二极 管 的正 向 电阻 为 

零, 反 向 电阻为无 穷 大. 用 交流 电压 表测 得 n , b端 和 
c , d端 的电压分 别 为 U曲和 U , 则  标 准 答案 : B, D  

随 
图 1  



吾  

总之 , 对 于匀 速 运 动 车厢 外 的弹簧 振 子 的简谐 

运动 , 当以地 面为参 考 系时 , 系 统 的机 械 能 守 恒 ; 当  以匀 速运 动 的车厢 为 参 考 系 时 , 对 于 由弹 簧 和 小 球 
组成 的 系统 , 机械 能不 总是 守恒 , 只有在 半周 期 的整 

即在半 个周 期 内机 械能 守恒 . 当 一  一   时, 正整 
数 ”不 存 在 , 则机械能不守恒 , 这 正 是 解 法 1的结 
果.  

数倍 的各 时 刻 , 系统 的 机 械 能 才 守 恒 ; 而 对 于 由弹 
只有 经历 半 个 周 期 或一 个 周 期 的 时 间 , 墙 壁作  簧、 小球 和墙 壁组 成 的 系统 , 机 械 能 始终 守 恒 . 系 统 

用力对 弹簧所 做 的功 为 零 时 , E   。 ( f )才 表 示 弹簧 的 
弹 性 势 能 
E (   )一  z  

机械 能 是否 守恒 , 不仅 与惯 性参 考 系 的选 择有 关 , 还  与 系统 的组 成有 关 ; 对 于 往 复 运 动 系统 的机 械 能 守 
恒 有时 还与 时 间段有 关.   参 考 文 献 
1   袁芳 , 朱 炯明. 功、 动能和机械能. 物理教学 , 2 O 1 2 ( 7 ) : 7   2   李学生 , 师 教 民. 对 一 道 中 学 生 物 理 竞 赛 试 题 答 案 的 商 
榷. 物理通报 , 2 0 1 4 ( 9 ) : l 1 9  

此时 E   ( £ ) 一E   。 ( £ ) +E   k ( £ ) 表 示机 械能 总量 , 即为 

÷   。 +   1  2 , 是 恒 定 量 .  
从 这个 角度 而言 , 原参 考答 案是 不 完整 的 , 没 有  考 虑到 在一 个周 期 时 间 内的 初 、 末 状 态 的机 械 能 守 

3   李卫平 , 罗洁. 注 意力 的保 守 性 与 参 照 系 的 关 系. 中学 物 
理, 2 0 1 3 ( 3 ) : 4 2  

恒. 再者 , 试 题本 身 也不 完 善 , 没 有 明确 指 出在 恒 速  参 考系 中所 研究 的 系统是 指 弹簧 和小球 两个 物体 还 
是 指小 球 、 弹簧 和墙 壁 3 个 物 体.  


4   朱 如 曾. 弹簧振 子相对 于运动 惯性 系 的机械 能守恒 . 物 
理通报 , 2 0 1 ( 3 4 ) : 1 0 1  

】 1   2

一  



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