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2.3-圆的切线的性质及判定定理2



思考1

【温故知新 】
直线与圆的位置关系有哪些? 怎么判断? 这些判断是从哪些角度来思考的?

r



O ┐d

r


O

r


O

d ┐ 相切<

br />
d ┐ 相离

相交

?几何—圆心到直线的 ? 距离与半径的关系 ? 直线与圆的位置关系— ?代数—直线与圆的方程联立 ? 的方程组的解的个数 ?
思考2 如果要画出过圆上某点的切线,该怎 样画? 能否仿照上节研究圆内接四边形的判 定定理的方法来得出一个圆的切线的判定 定理呢?
3

【温故知新 】

【温故知新 】

切线
的性质

切线的
判定定理

切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径

【切线的性质定理 】

反证法
l
A M

证明:假设l与OA不垂直, 作OM⊥ l于M 因“垂线段最短”, 故OA>OM, 即圆心到直线的距离小于半径. 这与“直线l是圆O的切线”矛盾. 故直线l与圆O一定垂直.

O

【切线的性质定理 】 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直, 所以,经过圆心垂直于切线的直线一定过切点; 反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心 .由此得到: l A M
推论1: 经过 圆心且垂直于 切线的直线必 经过切点. 推论2:经过切 点且垂直于切 线的直线必经 过圆心.

O

思考2 切线的性质定理的逆命题是什么? 是否成立?

6

切线的判定定理: 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线.

【切线的判定定理 】

l

A

B

在直线上任取异于A的点B. 连OB. 则在Rt△OAB中 OB>OA=r

O

故B在圆外 直线与圆只有一个公共点, 是切线.

【例题解析】
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD. ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90? ∴∠ODE=90? 又∵D在圆周上,OD是半径
A O B

∵BD=CD,OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线,
E

C

D

∴DE是⊙O的切线..

【例题解析】
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过 C点的切线互相垂直,垂足为 D,求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
D C

∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD,
∴OC//AD. 由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.

A

O

B

【例题解析】
例3 作经过一定点C的圆的切线.
(2)点C在圆外.
P

(1)点C在圆上. A

O

你能 C 证明吗?
B

O.

O1 P′

C

作法:连接OC,过 点C作AB⊥OC.则 直线AB就是所要作 的切线.

作法:连接OC,以OC为直径 的圆为⊙O1,与⊙O 相交于 两点P和P′.连接CP和CP′,则 CP和CP′都是过已知点C所引 ⊙O的切线.

【巩固练习】
练习1.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交⊙O于 C,直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C= 30°. 求证:直线AB是⊙O的切线.
证明:连结OB, ∵OB=OC,AB=BC,∠C=30° ∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60° ∴∠ABO=180°-(∠AOB+∠A) =180°-(60°+30°) =90° ∴ AB是⊙O的切线. 题目中“半径”已有, 只需证“垂直”,即可 得直线与圆相切.
C O B A

【巩固练习】
练习2.已知:如图,AB是⊙O的直径,D在AB的延长 线上,BD=OB,C在圆上,∠CAB=30°,求证:DC 是⊙O的切线.
证明:连OC、BC, ∵AO=OC, ∴∠OCA=∠A=30°, ∴∠BOC=60°. ∴△BOC是等边三角形. ∴BD=OB=BC, ∠D=∠BCD=30°. ∴∠DCO=90°. ∴DC⊥OC. ∴DC是⊙O的切线.

C A O B D

【巩固练习】
练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°.延长斜边AB 到D,使BD等于⊙O的半径,求证:DC是⊙O的切线.

分析:如图
300 A
300

C
600 0 600 120. 600 O B

D

习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O 与腰AB相切于点D.

求证:AC与⊙O相切.
D

A
E

B

O

C

2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA 上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切 线交OA的延长线于R,. 求证:RP=RQ
B

O Q

P

A R

∠AQO= ∠APQ

3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC 平行于弦AD. 求证:DC是⊙O的切线.
C

D
3 1 4 2

A

O

B

△COD与COB全等

圆内角定理: AB与CD相交于圆内一点P. ⌒ ⌒ AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.
C D A P P A B C D B

思考:

E

当P由圆内移动到圆外是,有何结论? ⌒ ⌒ BC与AD的度数差的一半等于∠APD的度数. 1⌒ 1 ⌒ 证明: ∵∠ACD= AD ∠CAB= 2 BC 2 且∠BAC= ∠P+ ∠ACP ∴ ∠P= ∠BAC- ∠ACP ⌒ ⌒ 即∠APD的度数等于 BC与AD度数的一半.



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