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江西省九江市九江实验中学高中数学 第七课时 圆的渐开线与摆线教学案 新人教A版选修4-4



江西省九江市九江实验中学高中数学 第七课时 圆的渐开线与摆线 教学案 新人教 A 版选修 4-4
一、教学目标: 知识与技能:了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线 的生成过程及它的参数方程. 过程与方法:学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点: 圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程 教学难点: 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法:讲练结 合, 启发、 诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入:复习:圆的参数方程 ( 二) 、新课探析: 1、以基圆圆心 O 为原 点,直线 OA 为 x 轴,建立平面直角坐标系,可得圆渐开线的参数方

? x ? r (cos? ? ? sin ? ) ? y ? r (sin ? ? ? cos? ) 程为 ?



? 为参数)
6

5

4

3

D
2

j

C

1

x -10

-8

-6

-4

-2

O
-1

B

2

O'

4

6

8

-2

-3

-4

-5

-6

2、在研究平摆线的参数方程中,取定直线为 x 轴,定点 M 滚动时落在直线上的一个位置为 原点,建立直角坐标系,设圆的半径为 r,可得摆线的参数方程为。

? x ? r (? ? sin ? ) ? ? y ? r (1 ? cos? )



? 为参数)

1

(三) 、例题与训练题: 例 1 求半径为 4 的圆的渐开线参数方程

??
变式训练 1 当

?

? x ? cos? ? ? sin ? ? 2 , ? 时,求圆渐开线 ? y ? sin ? ? ? cos?

上对应点 A、B 坐标并

求出 A、B 间的距离。

? ? x ? 2 (cost ? t sin t ) ? ? t? ? y ? 2 (sin t ? t cos t ) 4 对应的点的直角坐标。 变式训练 2 求圆的渐开线 ? 上当
例 2 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程

? x ? t ? sin t ? y ? 1 ? cost 0 ? t ? 2? 与直线 y ? 1 的交点的直角坐标 变式训练 3: 求摆线 ? 例 3、设圆的半径为 8,沿 x 轴正向滚动,开始时圆与 x 轴相切于原点 O,记圆上动点为 M
它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线 上纵坐标

y 的最大值,说明该曲线的对称轴。

(四) 、小结:本节课学习了以下内容: 1. 观察发现圆的渐开 线及圆的摆线的形成过程; 2.探析圆的渐开线的参数方 程,摆线的参数方程 3.会运用圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程 求解 简单问题。 (五) 、作业:课本 P47 页 1、2、3

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