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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):2.4函数的奇偶性与周期性



课时跟踪检测(七) 函数的奇偶性与周期性

1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y=-x3,x∈R C.y=x,x∈R B.y=sin x,x∈R 1 D.y=?2?x,x∈R ? ?

)

2.(2011· 陕西高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x)

,则 y=f(x)的图像 可能是( )

? ?1,x为有理数, 3.(2012· 福建高考)设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是( ? ?0,x为无理数,

)

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数

B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

5 4. (2013· 考感统考)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 0≤x≤1 时, 当 f(x)=2x(1-x), f?-2? 则 ? ? =( ) 1 A.- 2 1 C. 4 1 B.- 4 1 D. 2

5.已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)=-f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减少 的,那么 f(x)在[1,3]上是( A.增加的 C.先增后减的 ) B.减少的 D.先减后增的

?-x2+x?x>0?, ? 6.(2012· 吉林模拟)已知函数 f(x)=|x+a|-|x-a|(a≠0),h(x)=? 2 则 f(x), ?x +x?x≤0?, ?

h(x)的奇偶性依次为( A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数

) B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

7.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 8.设函数 f(x)与 g(x)的定义域是{x|x∈R 且 x≠± 1}, f(x)是偶函数, g(x)是奇函数, f(x) 且 1 +g(x)= , f(x)的解析式为__________, 则 g(x)的解析式为________. x-1 9.(2013· 安徽“江南十校”联考)定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在(0,2] 上的图像如图所示,则不等式 f(x)>x 的解集为________.

?-x +2x,x>0, ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ?x2+mx,x<0 ?
(1)求实数 m 的值;

2

是奇函数.

(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

a 11.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性.

12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图像关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x(0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式.

1. f(x)是奇函数, 设 且在(0, +∞)内是增函数, f(-3)=0, x· 又 则 f(x)<0 的解集是( A.{x|-3<x<0,或 x>3} B.{x|x<-3,或 0<x<3} C.{x|x<-3,或 x>3} D.{x|-3<x<0,或 0<x<3}

)

2.(2012· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=

?ax+1,-1≤x<0, ? 1 3 其中 a,b∈R.若 f?2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ?bx+2 ? ? ? ? ? x+1 ,0≤x≤1, ?
3.设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M?D),有 x+l∈ D,且 f(x+l)≥f(x),则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数. (1)如果定义域为[-1,+∞)的函数 f(x)=x2 为[-1,+∞)上的 m 高调函数,求 m 的取 值范围. (2)如果定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,当 x≥0 时, f(x)=|x-a2|-a2,且 f(x)为 R 上的 4 高调函数,求实数 a 的取值范围.





课时跟踪检测(七) A级 1.A 2.选 B 由 f(-x)=f(x)知 f(x)是偶函数,由 f(x+2)=f(x)知 f(x)是周期为 2 的函数,再 结合图像可知 B 正确. 3.选 C 若 x 为无理数,则 x+1 也是无理数,故有 D(x+1)=0=D(x);若 x 为有理数, 则 x+1 也是有理数,故有 D(x+1)=1=D(x).综上,1 是 D(x)的周期,故 D(x)不是周期函 数的结论是错误的,应选 C. 5 5 5 1 1 1 1 4.选 A 由题意得 f?-2?=-f?2?=-f?2-2?=-f?2?=-2× ×?1-2?=- . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 5.选 D 由 f(x)在[-1,0]上是减少的,又 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(x)在[0,1]上是增 加的. 由 f(x+1)=-f(x), 得 f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),故 2 是函数 f(x)的一个周期. 结合以上性质,模拟画出 f(x)部分图像的变化趋势,如下图.

由图像可以观察出,f(x)在[1,2]上是减少的,在[2,3]上为增加的. 6.选 D f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-f(x),故 f(x)为奇函数. 画出 h(x)的图像可观察到它关于原点对称或当 x>0 时,-x<0,则 h(-x)=x2-x=-(- x2+x)=-h(x),当 x<0 时-x>0,则 h(-x)=-x2-x=-(x2+x)=-h(x). x=0 时,h(0)=0,故 h(x)为奇函数.

7.解析:当 x∈(-∞,0)时,
?x>0, ?x<0, ? ? f(x)=-f(-x)=-lg(-x),f(x)>0?? 或? ?x∈(-1,0)∪(1,+ ? ? ?lg x>0, ?-lg?-x?>0,

∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 8.解析:∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),且 g(-x)=-g(x). 而 f(x)+g(x)= 1 , x-1 1 , -x-1

得 f(-x)+g(-x)= 即 f(x)-g(x)=

1 1 =- , -x-1 x+1

1 x ∴f(x)= 2 ,g(x)= 2 . x -1 x -1 1 x 答案:f(x)= 2 g(x)= 2 x -1 x -1 9.解析:依题意,画出 y=f(x)与 y=x 的图像,如图所示,注意到 y=f(x) 2 2 2 2 的图像与直线 y=x 的交点坐标是?3,3?和?-3,-3?,结合图像可知,f(x)>x ? ? ? ? 2 2 的解集为-2,- ∪?0,3? ? 3 ? 2 2 答案:?-2,-3?∪?0,3? ? ? ? ? 10.解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图像知? ? ?a-2≤1,

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 11.解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2, f(-x)=f(x),函数是偶函数. a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R),取 x=± 1, x 得 f(-1)+f(1)=2≠0;

f(-1)-f(1)=-2a≠0, 即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若 f(1)=2,即 1+a=2,解得 a=1, 1 这时 f(x)=x2+ . x 任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 1 1 2 2 则 f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ? ? ? ? ?
1 2

x2-x1 =(x1+x2)(x1-x2)+ x1x2 1 =(x1-x2)?x1+x2-x x ?. ? 1 2? 由于 x1≥2,x2≥2,且 x1<x2. 1 故 x1-x2<0,x1+x2> , x1x2 所以 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在[2,+∞)上是增加的. 12.解:(1)证明:由函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,得 f(x+1)=f(1-x), 即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x). 故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=- -x,又 f(0)=0, 故 x∈[-1,0]时, f(x)=- -x. x∈[-5,-4],x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时, 函数 f(x)=- -x-4. B级 1.选 D 由 x· f(x)<0,

?x>0, ?x<0, ? ? 得? 或? ? ? ?f?x?>0 ?f?x?<0,

而 f(-3)=0,f(3)=0,
? ? ?x<0, ?x>0, 即? 或? ?f?x?>f?-3? ?f?x?<f?3?, ? ?

所以 x· f(x)<0 的解集是{x|-3<x<0,或 0<x<3}. 3 1 2.解析:因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,所以 f?2?=f?-2?, ? ? ? ? 1 b+2 1 ?1?=f?-1?,从而2 且 f(-1)=f(1),故 f?2? ? 2? =- a+1,3a+2b=-2.① 1 2 +1 2 b+2 由 f(-1)=f(1),得-a+1= , 2 故 b=-2a.② 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. 答案:-10 3.解:(1)f(x)=x2(x≥-1)的图像如图①所示,要使 f(-1+m)≥f(-1), 只要 m≥2;此时 x≥-1 时,恒有 f(x+m)≥f(x),所以实数 m 的取值范围为 [2,+∞); (2)由 f(x)为奇函数及 x≥0 时的解析式知 f(x)的图像如图②所示,

∵f(3a2)=a2=f(-a2), 由 f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2), 得-a2+4≥3a2,从而 a2≤1, 又 a2≤1 时,恒有 f(x+4)≥ f(x),故 a2≤1 即可. 所以实数 a 的取值范围为[-1,1].



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