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六安市2011—2012学年第一学期期末考试高二理科数学试卷



六安市 2011—2012 学年第一学期期末考试高二理科数学试卷 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 A. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 C. ?x ? R, x 2 ? 2

x ? 4 ? 0 ( B. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ) D.7 ) D. 5 ? 4 x ) )

2、若等差数列{ an }的前三项和 S 3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a3 等于( A.4 B.5
2

C.6

2 3、若 2 x ? 5x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(

A. 4 x ? 5 4、 在等比数列中, a1 ?

B. ? 3

C. 3

9 1 2 , a n ? , q ? ,则项数 n 为( 8 3 3

A.3 B.4 C.5 D.6 5、设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? 2 ,则抛物线的方程是 ( A. y 2 ? ?8x B. y 2 ? 8x C. y 2 ? ?4 x



D. y 2 ? 4 x )

6、在 ?ABC 中, AB ? 5, BC ? 6, AC ? 8 ,则 ?ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形

D.非钝角三角形

? y ? x, ? 7、已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1. ?
A . ?3 B.

)

?

3 2


C.

3 2

D. 3

8、在 ?ABC 中,一定成立的等式是( A. a sin A ? b sin B C. a sin B ? b sin A 中与 BM 相等的是(

B. a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A

9、如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 AB ? a, AD ? b , AA 1 ? c , 则下列向量 )

?

?

?

1? 1? ? ? a? b ?c A. 2 2 1? 1? ? ? a? b ?c C. 2 2

1? 1? ? B. a ? b ? c 2 2 1? 1? ? D. a ? b ? c 2 2
A

D1 A1

M B1

C1

D B

C

10、椭圆 C1 :

y2 x2 y 2 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) C : x ? ? 1 有公共的焦点, C2 的一条 与双曲线 2 a 2 b2 4
)

渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆交于 A, B 两点,若 C1 将线段 AB 三等分,则( A. a ?
2

13 2

B. a ? 13
2

C. b ?
2

1 2

D. b ? 2
2

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、已知向量 a

?

? ? ? ? (2,?1,3),b ? (?4,2, x) ,若 aa // b ,则 x ?
2 8 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为 x y
.

.

12、已知 x ? 0, y ? 0 且满足

13、设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为 9 a2

.

14、某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔船沿 东偏南 15°方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 海里,则舰艇到达渔 船的最短时间是 15、下列命题正确的是 小时. .

①.命题“若 lg x ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 lg x ? 0 ” 。 ②.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题。 ③.在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 对应的三边,则“ ?ABC 是直角三角形”是
2 2 2 “ a ? b ? c ”的充要条件。

④. “ x ? 2 ”是“

1 1 ? ”的充分不必要条件。 x 2

2 2 ⑤.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分) 等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项 和 Sn 。

17、(本小题满分 12 分)

已知锐角三角形 ABC 中,边 a、 b 为方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,角 A、B 满足
2

2 sin(A ? B) ? 3 ? 0 。
(Ⅰ)求角 C 与边 c ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积。

18、(本小题满分 12 分) 2 学校要建一个面积为 392 m 的长方形游泳池,并且在四周要修建出宽为 2m 和 4 m 的 小路(如图所示) 。问游泳池的长和宽分别为多少米时,占地面积最小?并求出占地面积的 最小值。
2 m

4 m

4 m

2 m

19、(本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= (Ⅰ)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ ; (Ⅱ)求二面角 Q—BP—C 的余弦值。

1 PD. 2

20、(本小题满分 13 分) 已知数列 ?bn ? 前 n 项和 S n ? 列 ?cn ? 满足 cn ? an bn 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

3 2 1 n ? n .数列 ?an ? 满足 (an ) 3 ? 4?(bn ?2) (n ? N ? ) ,数 2 2

21、(本小题满分 13 分)

过 点 C (0,1) 的 椭 圆

3 x2 y 2 ,椭圆与 x 轴交于两点 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 2 a 2 b2

A(a,0) 、 B(?a,0) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与
直线 BD 交于点 Q. (I)求椭圆的方程 (Ⅱ )当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (Ⅲ )当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值.



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