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高三文科数学函数试题



高三文科数学函数试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题所给的四个选项中只有一 个是正确的) 1.已知 A ? B , A ? C , B ? ?1,2,3,5? , C ? ?0, 2, 4,8? ,则 A 可以是 A. ?1, 2? B. ?2, 4? C. ?2? ( D. ?4? )

2.设集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A, y∈A }中元素的个数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9 2 3.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x +错误!未找到引用源。 , f(-1)= ( ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2
4.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( A. y ? C. y ? a )



x2
loga x

B. y ?

x2 x

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? loga a x

5.设 0 ? a ? 1 , m ? loga (a2 ? 1) , n ? log a (a ? 1) , p ? log a (2a) ,则 m, n, p 的大小关 系是 ( ) B.m ? p ? n ) ④ y ?log a C.m ? n ? p D.p ? m ? n A.n ? m ? p

6.下列函数中是奇函数的有几个(

ax ?1 ①y? x a ?1
A. 1 B. 2
x

②y?

x l g (1 ? x2 ) ③y? x x ?3 ?3
D. 4

1? x 1? x

C. 3
?x

7.函数 y ? 3 与 y ? ?3 的图象关于下列那种图形对称( A. x 轴 B. y 轴 C.直线 y ? x

)

D.原点中心对称

第1页

8.已知 x ? x ?1 ? 3 ,则 x 2 ? x A. 3 3 B. 2 5

3

?

3 2

值为(



C. 4 5

D. ?4 5

9.函数 y ?

log 1 (3x ? 2) 的定义域是(
2



A. [1, ??) B. ( , ??)

2 3

C. [ ,1]

2 3

D. ( ,1]

2 3

10.三个数 0.76, 60.7, log0.7 6 的大小关系为( A. 0.76 ? log0.7 6 ? 60.7 C. log0.7 6 ? 60.7 ? 0.76



B. 0.76 ? 60.7 ? log0.7 6 D. log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7

11.为了得到函数 y ? f (?2x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移, 这个平移是( )

A.沿 x 轴向右平移 1个单位 C.沿 x 轴向左平移 1个单位

1 个单位 2 1 D.沿 x 轴向左平移 个单位 2
B.沿 x 轴向右平移 ( )

12.曲线 y=sinx+e x 在点(0,1)处的切线方程是 A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0 二.填空题(16 分)
2 ? ?2 x ? x (0 ? x ? 3) 13.函数 f ( x) ? ? 2 的值域是_______ ? ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0)

14. 函数 f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,则 这三个实根的和为 。

1 2

1 2

15.若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为______________.

2 16.若函数 f ( x) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? ______。

第2页

三.解答题(74 分)

17.已知 f ? x ? ? x ?

1? ? 1 ? ? ? x ? 0? , x ? 2 ?1 2 ?
⑵证明 f ? x ? ? 0 .

⑴判断 f ? x ? 的奇偶性;

18.设 x1 与 x 2 分别是实系数方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 和 ?ax2 ? bx ? c ? 0 的一个根, 且 x1 ? x2 , x1 ? 0, x2 ? 0 , 求证:方程

a 2 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x 2 之间。 2

19(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x) ? ax 2 ? bx? c(a ? 0), 不等式 f(x) ? ?2 x 的解集为(1,3). (Ⅰ)若方程 f(x) ? 6 a ? 0 有两个相等的实根,求 f(x) 的解析式; (Ⅱ)若 f(x) 的最大值为正数,求实数 a 的取值范围.

第3页

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=lnx,g(x)=ax+

b ,函数 f(x)的图像与 x 轴的交点 x

在函数 g(x)的图像上,且在此点处 f(x)与 g(x)有公切线. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)设 x>0,试比较 f(x)与 g(x)的大小.

21.(本小题满分 12 分)某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件,并且在生产
* 过程中产品的正品率 p 与每日生产产品件数 x ( x ? N )间关系为 P ?

4200? x 2 , 4500

每生产一件正品盈利 4000 元,每出现一件次品亏损 2000 元. (注:正品率=产品的正品件数÷ 产品总件数× 100%) (Ⅰ )将日利润 y (元)表示成日产量 x (件)的函数; (Ⅱ )求该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日利润的最大值.

22. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 8ln x , g ( x) ? ? x ? 14x .
2 2

(Ⅰ)若函数 y ? f ( x ) 和函数 y ? g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,求实数 m 的值.

第4页

高二文科数学模拟题十一答案 一选择题 CCADD 二填空题 13 ??8,1?
三.解答题
17.解: (1) f ( x) ? x(

DDBDD
3 2

DC

14

15. 3e

x

?4

16 . 4

1 1 x 2x ? 1 ? ) ? ? 2x ? 1 2 2 2x ?1

x x 2? x ? 1 x 2 ? 1 f (? x ) ? ? ? ? x ? ? x ? f ( x , ) ? f ( x) 为偶函数 2 2 ? 1 2 2? 1

x 2x ? 1 x (2) f ( x) ? ? x ,当 x ? 0 ,则 2 ? 1 ? 0 ,即 f ( x) ? 0 ; 2 2 ?1
x 当 x ? 0 ,则 2 ? 1? 0 ,即 f ( x ) ? 0 ,∴ f ( x ) ? 0 。

18.解:令 f ( x) ?

a 2 x ? bx ? c, 由题意可知 ax12 ? bx1 ? c ? 0, ?ax22 ? bx2 ? c ? 0 2 a a a bx1 ? c ? ?ax12 , bx2 ? c ? ax22 , f ( x1 ) ? x12 ? bx1 ? c ? x12 ? ax12 ? ? x12 , 2 2 2 a a 3a 2 f ( x2 ) ? x2 2 ? bx2 ? c ? x2 2 ? ax2 2 ? x2 , 因为 a ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0 2 2 2 a 2 ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0 ,即方程 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x 2 之间。 2

19.解: (Ⅰ)∵不等式 f(x) ? ?2 x 的解集为(1,3) ∴ x ? 1 和 x ? 3 是方程 ax 2 ? (b? 2) x ? c ? 0(a ? 0) 的两根
b? 2 ? ?4 a c ?3 a



∴ b ? ?4 a ? 2, c ? 3 a …………… 2 分

第5页

又方程 f(x) ? 6 a ? 0 有两个相等的实根 ∴△= b 2 ? 4 a(c? 6 a) ? 0 ∴ 4(2a ? 1)2 ? 4 a? 9 a ? 0

[来源:学*科*网]

即 5 a 2 ? 4 a?1 ? 0

1 ∴ a ? ? 或 a ? 1(舍)……………………4 分 5 1 6 3 ∴ a ? ? , b ? ? ,c ? ? 5 5 5

1 6 3 f(x) ? ? x 2 ? x ? …………………………6 分 5 5 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x) ? ax 2 ? 2(2a ? 1) x ? 3 a ∵a ?0,
? a 2 ? 4a ? 1 ……………8 分 a

∴ f(x) 的最大值为

∵ f(x) 的最大值为正数
a?0



……………………… 10 分 ? a 2 ? 4 a?1 ?0 a
a?0 a 2 ? 4a ? 1 ? 0



解得 a ? ?2 ? 3 或 ? 2 ? 3 ? a ? 0

∴所求实数 a 的取值范围是 (??,?2 ? 3 ) ? (?2 ? 3,0) ……… 12 分

1 b , g ' ( x) ? a ? 2 , …………2 分 x x ?a ? b ? 0 1 1 ∴由题意可得: ? …………5 分 ? a ? ,b ? ? 。 2 2 ?a ? b ? 1 1 1 1 1 (11)由(I)可知 g ( x ) ? ( x ? ) ,令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? Inx ? ( x ? ) 。 2 x 2 x 1 1 1 1 1 2 1 1 2 ∵ F ' ( x ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? (1 ? 2 ? ) ? ? (1 ? ) ? 0 , …………8 分 x 2 2 x 2 x x x ∴ F ( x ) 是(0,+∞)上的减函数,而 F(1)=0, …………9 分 ∴ 当 x ? (0,1) 时 , F ( x) ? 0 , 有 f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? (1,??) 时 , F ( x) ? 0 f ( x) ? g ( x) ;当 x=1 时, F ( x) ? 0 ,有 f ( x) ? g ( x) 。 …………12 分
20.【解析】 : (I)∵

f ( x) ?

,有

第6页

21 解: (I) y ? 4000? =3600 x -

4200? x 2 4200? x 2 ? x ? 2000 (1 ? ) ? x .……4 分 4500 4500

4 3 x 3 4 3 x +3600 x ( x ? N * , 1≤x≤40).…………6 分 3

∴ 所求的函数关系是 y=-

(II)显然 y? ? 3600? 4 x 2 , 令 y′=0,解得 x=30.

?当 1 ? x ? 30时, y? ? 0;当30 ? x ? 40时, y? ? 0.
∴ 函数 y=-

4 3 x +3600x(x∈ N*,1≤x≤40)在 [1,30) 上是单调递增函数, 3
…………………………9 分

在 (30,40] 上是单调递减函数. ∴ 当 x=30 时,函数 y=- -

4 3 x +3600x(x∈ N*,1≤x≤40)取最大值,最大值为 3

4 × 303+3600× 30=72000(元). 3

∴ 该厂的日产量为 30 件时,日利润最大,其最大值为 72000 元.……12 分

22. (Ⅰ ) 解: 当0 ? 要使

f '( x) ? 2 x ?

x ? 2 时,

8 2( x ? 2)( x ? 2) ? (x ? 0 ) x x f '( x) ? 0 ,当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,

f ( x) 在 (a, a ? 1) 上递增,必须 a ? 2 g ( x) ? ? x2 ? 14x ? ?( x ? 7)2 ? 49 如使 g ( x ) 在 (a, a ? 1) 上递增,必须 a ? 1 ? 7 ,即 a ? 6 由上得出,当 2 ? a ? 6 时 f ( x ) , g ( x ) 在 (a, a ? 1) 上均为增函数 ……………6 分
(Ⅱ )方程
2 ? y ? 2 x ? 8ln x ?14 x 8 2 2 设 h( x) ? 2 x ? 8ln x ?14 x h '( x ) ? 4 x ? ? 14 ? (2 x ? 1)( x ? 4) x x h '( x), h( x) 随 x 变化如下表 x (0, 4) (4, ??) 4

f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解 ? ?

?y ? m

有唯一解

(x

?0)

h '( x )

?
?

0
极小值 ?24 ? 16 ln 2

?

? 由于在 (0, ??) 上, h( x) 只有一个极小值,? h( x) 的最小值为 ?24 ? 16 ln 2 , 当 m ? ?24 ? 16 ln 2 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解. ……14 分 c.o.

h( x )

第7页



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