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2015年高考备考:广东省12大市2013届高三二模理科数学试题分类汇编2:函数



广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 2:函数
一、选择题 1 .下列函数为奇函数的是


x ?x



A. y ?| sin x |

B. y ? 2 ? 2
2

C. y ? ln | x |

/>D. y ? ln

?? x ?? x
( )

2 .函数 f(x)= (x-1)cosx 在区 间[0 ,4 ]上的零 点个数是

A.4

B.5
2

C.6 C.y = -x

D.7
( )

3 .下列函数中既是奇函数,又在(0,+ ? )上单调递增的是

A.y = x

B.y = x3

D.y = tanx
( )

4 .下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间 (0,1) 内单调递增的是

A. y ?
5

x

B. y ? e ? e
x

?x

C. y ? x sin x

D. y ? lg

1? x 1? x

.已知函数

f ? x ? 是 R 上 的 奇 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有 f ? x ? 2 ? ? f ( x) ,
( )

当x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? 时, f ? ?2013? ? f ? 2012 ? 的值为
A. ?2
6 .函数 f ( x) ?

B. ?1

C.1

D.2 ( D. [2,3) ? ? 3, ?? ? )

x?2 ?

1 的定义域是 x ?3
C. (??,3) ? (3, ??)

A. [2, ??)

B . [2,3)

7 . (已知函数

f ( x) ?

1 ,则 y ? f ( x) 的图象大致为 x ? ln( x ? 1)

8.已知函数

f ? x ? ? 3x ? x ? 9 的零点为 x0 , 则 x0 所在区间为
1? ?
B. ? ? , ? 2 2





A. ? ? , ? 2 2?

? 3 ?

? 1 1? ? ?

C. ? , ? 2 2

?1 3? ? ?

D. ? , ? 2 2

?3 5? ? ?

9.记实数 x1 , x2 ,, xn 中的最大数为 max

? x1 , x2 ,…,xn ? ,最小数为 min ? x1 , x2 ,…,xn ? ,则

max min ? x ? 1,x 2 ? x ? 1, ? x ? 6? ?

?

?





A.

3 4

B.1

C.3

D.

7 2
( )

10.函数 f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内的零点个数为

A.0
二、填空题

B.1

C.2

D.3

11.已知函数

?2 x ( x ? 0) f ( x) ? ? ?log 3 x( x ? 0)

1 f [ f ( )] 3 =_______ ,那么

12.若对任意 x ? A, y ? B, ( A ?

R, B ? R )有唯一确定的f ( x, y )与之对应, 则称f ( x, y )

为关于 x、 y 的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x、 y 的广 义“距离”; (1)非负性: f ( x, y ) ? 0, 当且仅当x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立. 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 x、y 的广义“ 距离”的序号: ① f ( x, y ) ?| x ? y | ;② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ;③ f ( x, y ) ?
2

x ? y.

能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数的序号是____________.
三、解答题 13.某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对

环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,个单位的固体碱在水中逐 渐 溶 化 , 水 中 的 碱 浓 度 f ( x) 与 时 间 x ( 小 时 ) 的 关 系 可 近 似 地 表 示

x 6 ? 2? ? ? ? 6 x?3 为: f ( x) ? ? x ?1 ? ? ? 6

0? x?3
, 只有当污染河道水中碱的浓度不低 于

3? x ?6

1 时, 3

才能对污染产生有效的抑制作用. (1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

1 时,马上再投放 1 个 3

单位的固体碱,设第二次投放后 水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的 ...... 最大值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加 ) ..

参考答案
D 解析: y ? cos x 是偶函数,, y ? 2 x 和 y ? x ? ?? 是非奇非偶函数,故选 D. C B B B D 令 g ( x) ? x ? ln( x ? 1) ,则 g '( x) ? 1 ?

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1 x ,由 g '( x) ? 0, 得 x ? 0, 即函数 g ( x) 在 ? x ?1 x ?1

(0, ??) 上单调递增,由 g '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 0 ,即函数 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,所
以当 x?0 时,函数

g ( x) 有 最 小 值 , g ( x)min ? g (0) ? 0 , 于 是 对 任 意 的

x ? ( ?1 , 0 )

(? 0? , ,有 g)( x) ? 0 ,故排除 B、D,因函数 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,则

函数 f ( x ) 在 (?1, 0) 上递增,故排除 C,所以答案选 A.
8. 【解析】因为 f ? x ? 为增函数, 又f ( ) ?

3 2

27 ?

3 ? 9 ? 0, 2

5 ?5? f ? ? ? 243 ? ? 9 ? 0 . 2 ?2?

故选 D .
9. D 10. C 11.

1 2

12. ①

0? x?3 ? ? 3? x ?6 ? ? 13. ⑴由题意知 ? x 6 1 或? x 1 2? ? ? 1? ? ? ? ? 6 x?3 3 ? 6 3
解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时 ⑵由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 当 4? x?6 时 , 第 一 次 投 放 1 单 位 固 体 碱 还 有 残 留 , 故

? 11 x 6 6 ? x ? ? ( x ? 4) g ? x ? = ?1 ? ? + ? 2 ? = ? ? ; ? ? 6 ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ? 1 ? 6 ? ?
当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 当 6 ? x ? 7 时, g ( x) ? 2 ? 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) ? 1 ?

8 x 6 ( x ? 4) 6 = ? ? ; ? 6 ( x ? 4) ? 3 3 6 x ? 1

x?4 5 x ? ? ; 6 3 6
4? x?6 6? x?7 7 ? x ? 10
时 ,

6 ?11 x ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 6 ?8 x 所以 g ( x) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 ? ?5 x ?3 ? 6 ?


4? x?6

g ( x) ?


10 x ? 1 6 10 x ?1 6 11 x 6 10 ?( ? )? ?2 ? = = ? ? ? 2 2 ; 当且仅 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 3 x ?1 3

x ?1 6 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ? [4, 6] (函数值与自变量值各 1 分) ? 3 x ?1 当 6 ? x ? 10 时,第一次投 放 1 单位固体碱已无残留,
当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ?

6 1 ( x ? 5)(7 ? x) ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2

当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数;故 g ( x) max = g (7) ? 又(

1 , 2

10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 ? 2 2) ? ? = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时,水中碱浓 3 2 6 6

度的最大值为

10 ?2 2 3 10 ?2 2 3

答:第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第一次投 放

1 ? 3 2 小时后, 水中碱浓度的达到最大值为



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