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高中数学联赛模拟题3



高中数学联赛模拟题三
一试
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分)

? x? a 1. 已知 a ? ?2 , 且A? x ? 2
若 C ? B ,则 a 的取值范围是

?

? ,B ? ? y y ? 2 x ? 3, x ? A? ,C ? ?t t ? x , x ?

A? ,
2

??? ? ???? ??? ? 2. 在 ?ABC 中 , 若 AB ? 2 , AC ? 3 , BC ? 4 , O 为 ?ABC 的 内 心 , 且 ??? ? ??? ? ??? ? . AO ? ? AB ? ? BC ,则 ? ? ? ?
?x ? ?2 ? 1, ? x ? 0 ? , 3. 已知函数 f ? x ? ? ? 若关于 x 的方程 f ? x ? ? x ? a 有且只有两个不相等 f x ? 1 , x ? 0 , ? ? ? ? ? ?



的实数根,则实数 a 的取值范围是 。 4. 计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键,会等可能的将 其替换为 0~n?1 中的任意一个数。如果初始时显示 2011,反复按这个按键使得最终显示 0, 那么这个过程中,9、99、999 都出现的概率是 。 2 2 x y ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过椭圆的右焦点作一条直线 l 交椭圆 5. 已知椭圆 4 3 于点 P、Q,则△ F1PQ 内切圆面积的最大值是 . 6. 设 ?an ? 为 一 个 整 数 数 列 , 并 且 满 足 : ? n ? 1? an?1 ? ? n ? 1? an ? 2 ? n ? 1? , n ? N ? . 若 . 2008 a2007 ,则满足 2008 an 且 n ? 2 的最小正整数 n 是 7. 如图,有一个半径为 20 的实心球,以某条直径为中心轴挖去 一个半径为 12 的圆形的洞,再将余下部分融铸成一个新的实心 球,那么新球的半径是 。 8. 在平面直角坐标系内,将适合 x ? y, x ? 3, y ? 3, 且使关于 t

? 的 方 程 ( x ? y ) t ? ( 3x
3 3 4

2 y) ? t

1 ? x? y

0 有实数根的点 没


( x, y ) 所成的集合记为 N, 则由点集 N 所成区域的面积为
二、解答题(本题满分 56 分) 9. (本小题满分 16 分) 对正整数 n ? 2 , 记 an ?
n?1

? n ? k ? 2k ?1 ,求数列 ?an ? 中的最大值.
k ?1

n

1

10.(本小题满分 20 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 过定点 A(1,0) ,且焦点在 x 轴上,椭 a2 b2
2 ? e 2 ? 1 时,求实数 m 的取值范围。 3

圆与曲线 y ? x 的交点为 B、C。现有以 A 为焦点,过 B,C 且开口向左的抛物线,其顶点 坐标为 M(m,0) ,当椭圆的离心率满足

11.(本小题满分 20 分)映射 f 的定义域是 A ? ?1, 2,?, 20? 的全体真子集,值域包含于

?1,2,?,10? ,满足条件:对任意 B, C ? A ,都有 f ? B ? C ? ? min ? f ? B? , f ?C ?? ,求这
二试

种映射的个数.

一、 (本题满分 40 分)

B、 C、 D、 E 为直线 l 上顺次排列的五点, 设 A、

FC 并延长至点 G ,恰使 ?FAC ? ?AGD , ?FEC ? ?EGB 同时成立. 求证: ?FAC ? ?FEC 。

AC BC , F 在直线 l 外的一点,连结 ? CE CD

二、 (本题满分 40 分) 已知: a, b, c

? 0,a ? b ? c ? 2 , bc ca ab ? ? ?1 求证: 1 ? abc ? a ? b ? 1 ? abc ? b ? c ? 1 ? abc ? c ? a ?



三、 (本题满分 50 分) 设正整数 n 大于 1,它的全部正因数为 d1,d2,…,dk,满足 1=d1<d2<…<dk = n。再设 D = d1d2+d2d3+…+dk-1dk。 (i) 证明:D<n2; (ii) 确定所有的 n,使得 D 整除 n2。 四、 (本题满分 50 分) 设圆周上有一些红点和蓝点,可以进行如下操作:加上一个红点,并改变其相邻两点的 颜色;或去掉一个红点,并改变原先与之相邻的两点颜色.已知开始时只有两个点,均为红 点,那么是否有可能经过若干次操作,使得圆周上只有两个点,且均为蓝点.

模拟试题三参考答案
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1. 答: ? ,3? . B ? ? ?1,2a ? 3? ,要使 C ? B ,只需 C 中的最大元素在 B 当中,所以 ?2 ?
2 ? 1 ?? ?2 ? ? 2a ? 3, ,得 ? a ? 3 。 ? 2 2 ? ? a ? 2a ? 3

?1

?

2. 答:

7 9

设 AO 交 BC 于点 D,由角平分线定理知

3. 答: ? ??,1? 4. 答:

AO AB AC AB ? AC 5 ? ? ? ? , OD BD CD BD ? CD 4 ? ? ?5 ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ?1 ? 所 以 A O ? A? D A ?B ? A C 9 3 9 3 7 ??? ? 。 9
利用函数图象进行分析易得结果。

???? 3 ??? ? 2 ???? BD AB 2 ? ? ,于是 AD ? AB ? AC ,又 5 5 DC AC 3 ? ? ?? ? 5 ? ??? ?? ? 2 ???? ? ? ?? ? ? ?? A ? BAB ? B C AC , 因 此 9 9

2 A B ?? ? ?9

若计算器上显示 n 的时候按下按键,因此时共有 1~n?1 共 n 种选择,所以产生给定的 数 m 的概率是

1 106

1 。如果计算器上的数在变化过程中除了 2011,999,99,9 和 0 以外,还产 n

生了 a1, a2 ,?, an ,则概率为

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? ,所以所求概率为 2011 a1 a2 an 999 99 9

p??
?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? 2011 a1 a2 an 999 99 9
1 ?? 1? ?? 20? 1? 0 1 ? ? ? ? 1 ?? 20 ? 0 9? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ?? 9? 8 ? 1? 0 1 1 ? ? 1 ? ?1 ?? ? ? ?? 1?0 0 0 999 ? ? 998 ? 1 ? ?1 ??? 1 ? 1 ? ? ? 9? 8 ?

1 ? ?1 ? 2 0 1? 1

1 ? 1 ? ? ?? 1 ?1 ? ?? ? 1 0 0? 9 9 ? 注意到 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1? ?1 ? ??1 ? ?? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ???1 ? 1? 2011 ? 2010 ?? 2009 ? ? 1000 ? ? 999 ? ? 998 ? 1 1 1 1 ? ? ? 两式相除即得 p ? 。 1000 100 10 106
5. 答:

9 ? 16

因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍,且△ F1PQ 的周长是定值 8,所以只需求出△ F1PQ 面积的最大值。设直线 l 方程为 x ? my ? 1 ,与椭圆方程联立得

?3m

2

? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 则 y1 ? y2 ? ?
9 3m 2 ? 4
2

?

6m , 3m 2 ? 4

y1 y2 ? ?

,于是 S?F1PQ ?

1 F1F2 ? y1 ? y2 ? 2
?

? y1 ? y2 ?2 ? 4 y1 y2 ? 12
1

m2 ? 1

?

3m2 ? 4

?

2



因为

m ?1

?3m
?

2

?4

?

2

?

1 1 9m2 ? 15 ? 2 m ?1

1 ,所以内切圆半径 ? 1 16 2 9m ? 9 ? 2 ?6 m ?1

8 6. 答:501

r?

2S?F1PQ

9 3 ,因此其面积最大值是 ? 。 4 16
an ?1 an an 2 ? ? , 令 bn ? ,则有 n ? n ? 1? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ? n ? 1 ?n

当 n ? 2 时,将原式变形为

bn ?1 ? bn ?

n ? n ? 1? 2 ?1 1? a2 ? ? n ? 1?? n ? 2 ? 。 ,叠加可得 bn ? b2 ? 2 ? ? ? ,于是 an ? 2 ? n ? 1? n ?2 n?

? 2007 ? 2006 ? 由 2008 a2007 ,得 2008 ? a2 ? 2006 ? 2005 ? ,化简得 a2 ? 6 ? mod 2008? 。 2 ? ?
a2 ? ? n ? 1?? n ?2 ? ? 0m ?od2008 ? ,将上述关于 a2 的结果代入得 2 ? n ? 1?? n ? 1? ? 0 ? mod1004? ,于是质数 251 ? n ?1?? n ? 1? 且 n 是奇数,所以满足条件的最小
由 2008 an , 得 的 n 是 501。 7. 答:16 将题目所得几何体的上半部分与半径为 16 的半球作比较,将它们的底面置于同一水平 面, 并考察高度为 h 的水平面与两个几何体所截的截面面积。 与第一个几何体形成的截面是 圆环,外径是 202 ? h2 ,内径是 12,所以面积是 ? 202 ? h 2 ? 122 ? ? 162 ? h 2 ,这正是 与第二个球体形成的截面圆的面积,由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。

n ? n ? 1?

?

? ?

?

8. 答:

81 5
2

令 u ? t ,原方程化为 ( x ? y )u ? (3x ? y )u ?
3 3 2

1 ? 0. x? y



? ? (3x ? y)2 ? 4( x3 ? y 3 ) ?

1 x? y

? 5 x 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? (5 x ? 3 y)( x ? y).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,

? x ? y, ? x ? y, ? ? ? x ? 3, ? ? x ? 3, 或 ? y ? 3, ? ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0, ? y ? 3, ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0 ? ? ? ?3 x ? y ? 0.
点集 N 所成区域为图中阴影部分,其面积为

S ? S?ABO ? S?BCO 1 24 1 81 ? ? ?3 ? ? 6?3 ? . 2 5 2 5
二、解答题(本题满分 56 分) 9. (本小题满分 16 分) 解:经计算知 a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? a5 ?

10 ,下面用数学归纳法证明:当 n ? 5 时,有 3

an ?

n ?1 n ?1 1 n ?1 1 n ?1 1 10 ? n ? 5? ,则 an?1 ? n ? n ? 1 ? 2 ? n ? 2 ? 2 ? ? ? 1 ? n?1 2 2 3 n ?1 n ?1? n n 1 n 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n?2 ? ? n 2n ? n ? 1 n ? 2 2 1 2 ? n ?1 n ?1 ? ? an n 2n n ? 1 n ? 1 10 n ? 1 8 6 8 10 ? ? ? ? ? ? ? ? 。 n 2n 3 n 3 5 3 3 10 所以数列 ?an ? 中的最大值是 a4 ? a5 ? 。 3
假设 an ? 10.(本小题满分 20 分) 解:椭圆过定点 A(1,0) ,则 a ? 1 , c ? 1 ? b 2 , e ? 1 ? b 2 , ∵

10 。 3

由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线 y ? x ( x ? 0) 的交点,就必过椭圆与射线

2 3 ? e 2 ? 1 ,∴ 0 ? b ? 。 3 3

y ? ? x ( x ? 0) 的交点。

? y ? x ( x ? 0) b ? 联立方程 ? 2 y 2 ,解得 x ? y ? 。 1 ? b2 ?x ? 2 ? 1 b ?

1 3 ,∴ 0 ? x ? 。 2 3 2 设抛物线方程为: y ? ?2 p( x ? m) , p ? 0 , m ? 1 。 p ? m ? 1 , ∴ y 2 ? (1 ? m)(x ? m) 又 ∵ ① 2 1 1 m ? 1, 0? x? 0? x? 。 把 y?x , 代入①得 x 2 ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) ? 0 , 2 2 1 令 f ( x) ? x 2 ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) , m ? 1 , 0 ? x ? , 2 ? 1? ∵ f ( x) 在 ? 0 , ? 内有根且单调递增, ? 2? ? f (0) ? ?4m(m ? 1) ? 0 ?m ? 1 或 m ? 0 ? ? ∴? ?1? 1 ? ?3 ? 2 3? 2 〈m 〈 ? f ? 2 ? ? 4 ? 2(m ? 1) ? 4m(m ? 1) ? 0 ? 4 ? 4 ? ? ? 3? 2 综上得: 1 ? m ? 。 4
∵0 ? b ? 11.(本小题满分 20 分) 解:记 Ai ? A / ?i? ,其中 i ? 1, 2,?, 20 。

A / B ? ?ai1, ai 2 ,?, ain ? ,则

首先任意设定 f ? A ?, ? f A ? 的值,则对于 A 的任意真子集 B,记 1 ? , f? A 2? , 20

因此,映射 f 可由 f ? A 1 ? , f ? A2 ? ,?, f ? A20 ? 的值完全确定。

f ? B? ? f ? Ai1 ? Ai 2 ??? Ain ? ? min? f ? Ai1 ? , f ? Ai 2 ? ,?, f ? Ain ?? ,

下面证明这样的映射满足条件。 ? ? 对任意 B, C ? A ,有 f ? B ? ? f ? ? Ai ? ? min ? f ? Ai ?? , ? ? ? i?A / B ? i?A / B ? ? f ?C ? ? f ? A ? ? i ? ? ? min ? f ? Ai ?? , ? i?A / C ? i?A / C ? ? f ? B ? C ? ? f ? ? Ai ? ? min ? f ? Ai ?? , ? i?A / ? B ?C ? ? i?A / ? B ?C ? ? ? 由 ? A / B ? ? ? A / C ? ? A / ? B ? C ? 知 f ? B ? C ? ? min f ? B ? , f ?C ? 。
20

?

?

综上所述,由于确定 f ? A 1 ? , f ? A2 ? ,?, f ? A20 ? 的值有 10 种选择,所以这种映射的个 数也为 1020 。

二试
一、 (本题满分 40 分) 证法一:过 B 作 BH∥AF,交 CF 于 H ,则

CH CB CB CD CH CD ? ? ? ,又由 ,故 。 CF CA CA CE CF CE 连结 HD ,知 HD ∥ FE ,延长 HB, HD 分别交 AG, EG 于 I . J ,连结 IJ 。 因为 ?IBA ? ?FAC ? ?AGD ,故 I 、 B 、 D 、 G 共圆; 因为 ?JDE ? ?FEC ? ?EGB ,故 J 、 D 、 B 、 G 共圆,

∴ I 、 B 、 D 、 J 、 G 五点共圆,故 ?HBC ? ?DJI 。

GI GH GJ ? ? ,故 IJ ? AE , ?DJI ? ?EDJ , GA GF GE ∴ ?FAC ? ?HBC ? ?DJI ? ?EDJ ? ?FEC 。 证法二:作 ?EBG 外接圆 C1 ,交射线 CF 于 P ,则 BC ? CE ? GC ? CP 。 又由 BC ? CE ? AC ? CD ,知 AC ? CD ? GC ? CP ,所以 P 、 A 、 G 、 D 共圆,记该 圆为 C2 。 下证 P 必在 CF 内.用反证法,假设 P 不在 CF 内。 连结 PA 、 PE ,则 ?AFE ? ?APE ? ?APG ? ?EPG ? ?ADG ? ?EBG ? 180? ? ?BGD 又 ?FAE ? ?AGD , ? ? ? ∴ 180 ? ?AFE ? FAE ? 180 ? ?BGD ? ?AGD ? 180 ,矛盾! 于是, F 在 GP 延长线上. ∵ ?FAC ? ?AGD , ?FEC ? ?EGB ,∴ FE 为 C1 切线, FA 为 C2 切线,
∵ IH ? AF , JH ? EF ,∴ ∴ FA2 ? FP ? FG ? FE 2 ? AF ? EF ,故 ?FAC ? ?FEC 。 二、 (本题满分 40 分) 证明: 1 ? abc ∵ a , b, c ∴c

? 0,a ? b ? c ? 2 ,

? a ? b? ? ? ab ? bc ? ca ? ? ? ?1 ? c ? a ? b?? ? ? ?1 ? ab? ,

? a ? b? ? 1, ab ? 1 。 ∴ 1 ? abc ? a ? b ? ? ab ? bc ? ca , 同理 1 ? abc ? b ? c ? ? ab ? bc ? ca , 1? a b c ? ?a ? a ? b b? c。 c a ? c
那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。 三、 (本题满分 50 分) 解:(i) 若 d1,d2,…,dk 是 n 的全部正因数,则 n/d1,n/d2,…,n/dk 也是 n 的全部正因数, 且当 1=d1<d2<…<dk=n 时,有 dj=n/dk-j+1。则 n2/d2=n2/(d1d2)≤D = d1d2+d2d3+…+dk-1dk=n2{1/(dk-1dk)+1/(dk-2dk-1)+…+1/(d1d2)} ≤n2{(1/dk-1-1/dk)+(1/dk-2-1/dk-1)+…+(1/d1-1/d2)} =n2(1/d1-1/dk)=n2(1-1/n)=n2-n。 (*) (ii) 在(i)的证明中已指出 n2/d2≤D≤n2-n。若 D 整除 n2,由上式知 n2=qD,1<q≤d2。(**) 因为 d2 是 n 的最小的大于 1 的除数,所以,d2 是素数。d2 当然也是 n2 的素除数,并且 2 n 没有比 d2 更小的大于 1 的除数。那么由式(**)就推出 q=d2。因此,k=2,n 的全部正因数 是 1 和 n 本身,即 n 是素数。 四、 (本题满分 50 分) 解:对于圆周上任意一种状态,按下列方式定义该状态的特征值: 考察圆周上的 n 个蓝点将圆周分成的 n 段圆弧,将这 n 段圆弧依次赋值?1,?1,?1, ?1,……并在每个红点处标上所在弧的数值,再将所有红点上的数值相加即得 S 值。 下面考察各种加点的操作: (1) 若在两个相邻红点(原本标有+1)间增加一个红点,则标有+1 的这两个红点变为蓝点, 新增加的红点应标?1,且其他红点不受影响,所以 S 值减少 3。若两个红点原本标有?1,

则类似可知 S 值增加 3; (2) 若在两个相邻蓝点间增加一个红点,则这三个红点都将标上相同的数值,且其他红点不 受影响,所以 S 的变化量仍然是 3 的倍数; (3) 若在两个相邻的异色点间增加一个红点,则两个端点红蓝交换,因此端点处的红色点标 数变为原来的相反数,而且新增的红点与它的标数相同,所以 S 的变化量仍然是 3 的倍 数; 对于各种减点的操作, 因为都是加点操作的逆向操作, 所以 S 值的变化量始终是 3 的倍 数,因此 S 值除以 3 的余数应该是不变的。 在初始状态中,只有两个红点, S ? ?2 ;而在只有两个蓝点的状态中, S ? 0 ,这说明 不可能经过若干次操作,使圆周上只有两个点,且均为蓝点。



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