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两个计数原理与排列、组合的基本问题



1.理解分类加法计数原理与分步乘 法计数原理,会用两原理解决简单实 际问题.

2.理解排列、组合的概念,掌握排 列数和组合数公式,并能应用解决简 单的实际问题.

1.分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1 种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方 法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那 么

完成这件事共有N=① m1+m2+m3+…+mn 种不 同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1 种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……, 做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 m N=② m1· 2·…·mn 种不同的方法.

3.分类和分步的区别 分类:完成一件事同时存在n类方法,每 一类都能独立完成这件事,各类互不相关.分 步:完成一件事须按先后顺序分n步进行,每 一步缺一不可,只有当所有步骤完成,这件 事才完成. 4.排列基础理论 (1)排列的定义. 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个不同元 素,按照一定的③ 顺序 排成一列,叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列数的定义.

从n不同元素中,任取m(m≤n)个不同元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取 m An 出m个元素的排列数,用符号④ 表示.
(3)排列数计算公式.

A
m≤n).

m =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤ n

n! (n ? m)!(其中

(ⅰ)若m=n,排列称为全排列,记

2· …· n=n!(称为n的阶乘); A =1· 3· (n-1)·
(ⅱ)规定0!=1.

n n

5.组合基础理论

(1)组合的定义.
从n个不同元素中,取出m(m≤n)个不同 元素组成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合数的定义. 从n个不同元素中,取出m(m≤n)个不同元 素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中 m 取出m个元素的组合数,用符号 Cn 表示.

(3)组合数计数公式. Anm n(n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? m ? 1) m Cn =⑥ =⑦ . m m! Am =⑧
n! . m !(n ? m)!
0 规定 Cn =1.

(4)组合数的两个性质.
n (ⅰ) Cnm = Cn ?m ; m m (ⅱ) Cn?1 = Cnm + Cn ?1 .

6.排列与组合的区别 排列与组合的共同点是“从n个不同元 素中,任取m个不同元素”;而不同点是排 列要“按照一定的顺序排成一列”,而组 合却是“只需组成一组(与顺序无关)”. 因此,“有序”与“无序”是排列与组合 有序 无序 的重要标志.⑨“ ”为排列问题,⑩ “ ”为组合问题.

1.将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有( A.53 C.3 种 B.35 D.15 种

)

【解析】每封信均有 3 种不同的投法,5 封信投入可 视为完成这件事分 5 步进行,由分步计数原理,不同投 法 N=3×3×3×3×3=35 种,故选 B.

2.书架上层放有 4 本不同的数学书,中层放有 5 本不同的 物理书,下层放有 6 本不同的英语书,从中任取一本书的 不同取法种数是( A.15 C.120 ) B.1 D.3

【解析】这是一个分类问题,由分类计数原理,不同的 取法种数 N=4+5+6=15 种.故选 A.

3.6 个人分别坐前后两排,前排 2 人,后排 4 人,不同的坐 法共有( ) B.720 种 D.1440 种

A.36 种 C.720 种

【解析】问题实为 6 个不同元素排 6 个不同位置.故 共有 A6=720 种.故选 C. 6

4.在某班学生中,选出 3 个组长的总方法数与只选出正、副 班长的总方法数之比为 14∶3,则该班学生的人数为( A.25 C.35 B.30 D.40 )

C3 14 n 【解析】设该班人数为 n 个,由已知的A2= 3 , n 解之得 n=30,故选 B.

5.下列等式中不成立的是( A.Cm=Cn n n
-m

) Am n B.Cm= n n! D.(n+2)(n+1)Am=Am+22 n n


C.Cr =Cr -1 +Cr -1 n n 1 n



Am n 【解析】Cm= ,故 B 错,选 B. n m!



简单的排列应用问题

【例 1】下面是某省高考第一批录取的一份志愿表:

现有 4 所重点院校,每所院校有三个专业是你较为满意 的选择,如果表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专 业也没有重复的话,你将有不同的填写方法的种数是( A.43· 2)3 (A3 C.C3(A2)3 4 3 B.43· 2)3 (C3 D.A3· 2)3 4 (A3 )

【分析】 有两条求解途径: 分两步:选学校后选专业,都与顺序有关,属于排列问题. 分三步:依次分三步填报第一志愿,第二志愿,和第三志 愿,再用乘法原理求解.

【解析】 方法 1:“有 4 所重点院校”,从中选三所填报 三个志愿,与顺序有关,所以有 A3种选择;而从所选院校的 3 4 个专业中选两个专业进行填报,也与顺序有关,有 A2×A2×A2 3 3 3 种填报方法;根据乘法原理共有 A3×A2×A2×A2=A3×(A2)3 4 3 3 3 4 3 种填报方法,故选 D.

方法 2:先填第 1 志愿学校有 4 种填报方法,从 3 个专业 选择两个专业填报有 A 2 种填报方法,所以填报第一志愿有 3 4×A2种填报方法; 3 再填第二志愿,因规定”学校没有重复,同一学校的专业 也没有重复”,所以填报学校只有 3 种填报方法,从 3 个专业 选择两个专业填报有 A 2 种填报方法,所以填报第二志愿有 3 3×A2种填报方法; 3

最后填报第三志愿, 学校只有 2 种填报方法, 3 个专业 从 选择 2 个专业进行填报,有 A2种填报方法,所以填报第 3 志 3 愿有 2×A2种填报方法; 3 故填报方法有 4×A2×3×A2×2×A2=A3×(A2)3 种填报 3 3 3 4 3 方法,故选 D.

【点评】 审题是关键, 若本题的解题过程中忽略填报 志愿与顺序有关这一特点,可能会误选 B 或 C;忽略学 校没有重复, 同一学校的专业也没有重复这一规定, 可能 会误选 A 或 B.

素材1

现有 3 名男生,4 名女生,分别求符合下列各条件 下的不同排列方法总数. (1)排成前后三排: 前排 2 人, 中排 3 人, 后排 2 人; (2)全体排成一排:甲不站排头也不站排尾; (3)全体排成一排:男女相间.

【解析】(1)由排列的概念可知,排成三排可转化为排 成一排后,前二人站第一排,中间三人站第二排,最后二人 站第三排,故共有 A7=5040 种排法. 7 (2)先满足甲的要求,在一排中间五个位置中选一个位 置站甲,有 A1种,然后让其余的人站剩下的位置,有 A6种, 5 6 故共有 A1· 6=3600 种排法. 5 A6 (3)先将女生排好,共有 A4种,然后在女生之间(不含首 4 末位置)的三个位置插入男生,共有 A3种,故共有 A4· 3= 3 4 A3 144 种排法.

二 简单的组合应用问题
【例 2】为了参加学校的元旦文艺汇演,某班决定从爱好 唱歌的 4 名男同学和 5 名女同学中选派 4 名参加小合唱节目, 如果要求男女同学至少各选派 1 名, 那么不同的选派方法有多 少种?

【解析】方法 1:按选派的男同学的人数分三类: ①选派一名男同学,三名女同学有 C1· 3=40 种方法; 4 C5 ②选派两名男同学,两名女同学,有 C2· 2=60 种方法; 4 C5 ③选派三名男同学,一名女同学,有 C3· 1=20 种方法; 4 C5 由分类计数原理,共有不同的选派方法 40+60+20=120 种.

方法 2:在这九名同学中任选四名,有 C4=126 种方法.其中 9 四人都是男同学的有 C4=1 种方法; 四人都是女同学的有 C4= 4 5 5 种方法,因此符合要求的选派方法有 126-1-5=120 种.

【点评】有限制条件的组合应用题的限制条件主要表现 在 被 选 出的 元 素 “含 ”或 “不 含 ”某些 元 素 ,或 是 “至 少”“至多”等类型的组合问题,对于这类组合应用题解题 的总体思路为:

(1)用直接法 一般是从整体分类,然后再局部分步.对于较复杂的从 若干个集合里选元素的问题,首先应以其中一个集合为基准 进行分类(当然,为了使类别尽量少,这个集合里的元素较少 为好),分类时要做到不重不漏,也就是各类的并集是全集, 任意两类的交集为空集,在合理正确分类的前提下,在每一 类中,依据题目的要求进行分步,分步要做到步步连续,各 步之间相互独立.

(2)用间接法 当正面求解较为困难时,也可采用正难则反的思想用 “间接法”求解,但要注意找准对立面.

素材2
(1)为制作某电视剧封面宣传画将该剧组的 7 位身高各不 相同的主演以伞型(中间高两边低)排列,若忽略名气等因素, 则可以制作______幅不同宣传画( A ) A.20 C.10 B.40 D.42

(2)设编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五 个盒子,现将这五个球投放到五个盒子内,要求每个盒子 内投放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同, 则这样的投放方法总数为 20 .

【解析】 (1)下图第四个位置排个子最高的演员,只有一 种排法;再从剩下的演员中选 3 位排左边,因高矮顺序确定, 与顺序无关,有 C3=20 种,剩下的三位演员只排右边,故总 6 共有 20 种不同的排法,能制作 20 幅不同的宣传画.

故选 A.

(2)从五个球中任意取出两个放入和它们编号相同的盒子 中有 C2种方法,再从剩下的 3 个球中取出一个放入和它编号 5 不同的两个盒子中的一个有 C1种方法,最后剩下的两个球只 2 能有一种放法,所以共有 C2C1=20 种放法. 5 2

三 计数原理及应用
【例 3】(1)某电视台”快乐女生”节目某次淘汰赛的 观众评审席有如图所示的 A,B,C,D 四个区域,每个区 域的观众必须穿相同颜色的服装,相邻区域必须穿不同颜 色的服装,且不相邻区域颜色可以相同,现有五种不同颜 色的服装供选用,问有多少种选择的方法( A.180 种 B.120 种 C.96 种 D.60 种 )

(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边为 11,则 这样的三角形的个数有______个.( A.25 C.36 B.26 D.37 )

【解析】(1)按区域分四步:第一步 A 区域有 5 种颜色 可选;第二步 B 区域有 4 种颜色可选;第三步 C 区域有 3 种颜色可选;第四步 D 区域由于可重复使用区域 A 中已有 过的颜色,故也有 3 种颜色可选用.由分步计数原理,共 有 5×4×3×3=180 种涂色方法.

(2)设另两边长为 x、y,且 1≤x≤y≤11,(x、y∈Z),构 成三角形,则 x+y≥12,当 y 取 11 时,x=1、2、3,?,11, 有 11 个,当 y 取 10 时,x=2,3,?,10,有 9 个,当 y 取 9 时,x=3,4,?,9,共 7 个,当 y 取 6 时,x 也只能为 6,有 1 个,故满足题设的三角形共有:11+9+7+5+3+1=36 个, 故选 C.

【点评】(1)是分步问题,用分步计数法计算. (2)是分类问题,问分类计数法解决.

素材3

(1)(2010· 湖南卷)在某种信息传输过程中,用 4 个数字 的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示 不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有 两个对应位置上的数字相同的信息个数为( B ) A.10 C.12 B.11 D.15

(2)(2010· 浙江卷)有 4 位同学在同一天的上、下午参加 “身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、 “台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项 目, 且不重复. 若上午不测“握力”项目, 下午不测“台阶” 项目,其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式 共有 264 种(用数字作答).

【解析】(1)与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相 同的信息包括三类: ①与信息 0110 有两个对应位置上的数字相同, C2=6 种; 有 4 ②与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同, C1=4 种; 有 4 ③与信息 0110 没有对应位置上的数字相同,有 C0=1 种. 4 所以与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信 息个数为 6+4+1=11.

(2)设 A、B、C、D、E 依次代表题设中的五个测试项目. 上午的总测试方法有 A4=24 种. 4 若上午测试 E 的同学下午测试 D,则上午测试 A 的同学 下午只能测试 B、C,确定上午测试 A 的同学后其余两个同学 上、下午的测试共有 2 种;若上午测试 E 的同学下午测试 A、 B、C 中一个,则上午测试 A、B、C 中任何一个的下午都可以 测试 E, 安排完该同学后, 其余两同学的测试方法只能有 3 种, 故共有 3×3=9 种测试方法. 由乘法原理和加法原理,总的测试方法共有 24×(2+9) =264 种.

备选例题

解下列方程: (1)A4 +1=140A3; 2x x
x 1 (2)Cx+3=Cx+1+Cx+1+Cx+2. x 1 x x 2
+ - -

【解析】 (1)根据排列的意义及公式得
?4≤2x+1 ? ?3≤x ? ??2x+1?2x?2x-1??2x-2?=140x?x-1??x-2? ?x≥3 则有? , ??4x-23??x-3?=0



解之并检验得 x=3.

(2)由组合数的性质可得 Cx+1+Cx+1+Cx+2=C2+1+C1+1+C4+2=C2+2+C4+2. x 1 x x 2 x x x x x 又 Cx+1=C2+3,所以 C2+3=C2+2+C4+2, x 3 x x x x 即 C1+2+C2+2=C2+2+C4+2, x x x x 所以 C1+2=C4+2,所以 5=x+2,x=3,经检验知 x=3. x x
+ - -

【点评】凡遇到解排列、组合的方程,不等式问题时, 应首先应用性质和排列、组合的计算公式进行变形与化简, 并注意有关解排列、组合的方程、不等式问题,最后结果都 需要检验.

1.解决有关排列、组合应用题时, 应分析:①要完成做一件什么事;②这 件事怎样做才可以做好;③需要分类还 是分步.运用分类计数原理和分步计数原 理,关键在于①②两方面,认真分析题 意,设计合理的求解程序是求解问题的 关键.

2.如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事,即类与类之间是相互 独立的,即分类完成,则选用分类计数原 理;如果完成一件事要经历几个步骤(即 几步),且只有当这些步骤都做完,这件 事才能完成,即步与步之间是相互依存、 相互连续的,即分步完成,则选用分步计 数原理. 3.排列与组合的本质区别在于排列不 仅取而且排,即与顺序有关,而组合只取 出一组即可,与顺序无关.

4.注意排列数公式、组合数公式有连 乘形式与阶乘形式两种,
m 公式 An =n(n-1)· (n-m+1), …·

m! n! n! m m 而公式 An = ,Cn = 常用于 m !(n ? m)! (n ? m)!

= n(n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? m ? 1) 常用于计算, C
m n

证明恒等式.



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