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2015届高考数学大一轮复习 课时训练38 合情推理与演绎推理 理 苏教版



课时跟踪检测(三十八)
第Ⅰ组:全员必做题

合情推理与演绎推理

1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的 小前提是________.(填写序号) 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“ = ”类比得到“

ac a bc b

a·c a = ”. b·c b

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是________. 3.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则

S1 S2

1 = ,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积 4 为 V2,则 =________. 4. (2014·南通一模)设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4),
4 a1 a2 a3 a4 P 是该四边形内任意一点,P 点到第 i 条边的距离记为 hi,若 = = = =k,则 ? (ihi)

V1 V2

1

2

3

4

i=1

2S = .类比上述结论,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4),Q 是该三

k

棱锥内的任意一点,Q 点到第 i 个面的距离记为 Hi,则相应的正确命题是:若 = = = 1 2 3 4 =k,则________. 5.将正奇数按如图所示的规律排列,则第 21 行从左向右的第 5 个数为________. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ? 21 23 25 27 29 31 ? ?

S1 S2 S3 S4

6.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按下图所标边长,由勾股定理有:c =a +b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截 面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧
1
2 2 2

面面积,S4 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

7.若{an}是等差数列,m,n,p 是互不相等的正整数,则有:(m-n)ap+(n-p)am+(p -m)an=0,类比上述性质,相应地,对等比数列{bn},有__________________. 8.(2013·湖北高考)在平面直角坐标系中,若点 P(x,y)的坐标

x,y 均为整数,则称点 P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则
称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为 S,其内部的格点 数记为 N,边界上的格点数记为 L.例如图中△ABC 是格点三角形,对 应的 S=1,N=0,L=4. (1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S,N,L 分别是________; (2)已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c,其中 a,b,c 为常数.若某格点多 边形对应的 N=71,L=18,则 S=________(用数值作答). 9.(2014·盐城期末)现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个 平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为 a 4 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部公的体积恒为 ________. 10.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: (1)sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°; (2)sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°; (3)sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°; (4)sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°; (5)sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a2

第Ⅱ组:重点选做题 1.观察下列算式:
2

1 =1, 2 =3+5, 3 =7+9+11, 4 =13+15+17+19, ?? 若某数 m 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2 013”这个数,则 m=________. 2. (2013·苏北四市二模)对于问题: “已知关于 x 的不等式 ax +bx+c>0 的解集为(- 1,2),解关于 x 的不等式 ax -bx+c>0”,给出如下一种解法: 解:由ax +bx+c>0的解集为 -1, , 2 得a -x +b -x +c>0的解集为 -2, , 2 即关于x的不等式ax -bx+c>0的解集为 -2, 参考上述解法,若关于 x 的不等式 于 x 的不等式 1? ?1 ? x+b ? <0 的解集为?-1,- ?∪? ,1?,则关 3? ?2 ? x+a x+c ?
2 2 2 3 3 3 3

3

k



kx bx+1 + <0 的解集为____________________. ax+1 cx+1

答 第Ⅰ组:全员必做题



1.解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论. 答案:② 2.解析:①②正确,③④⑤⑥错误. 答案:2 3.解析:正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,

V1 1 故 = . V2 27
答案: 1 27

4.解析:平面四边形面积计算方法 14 S= ? (aihi) 2i=1 1 = (kh1+2kh2+3kh3+4kh4) 2 1 4 = k ? (ihi), 2 i=1

3

4 4 2S 14 所以结论 ? (ihi)= 正确, 由此类比到空间图形, 则由锥体体积公式 V= ?SiHi 得 ? k 3i=1 i=1 i=1

3V (iHi)= .

k

4 3V 答案: ? (iHi)=

i=1

k

5.解析:前 20 行共有正奇数 1+3+5+?+39=20 =400 个,则第 21 行从左向右的 第 5 个数是第 405 个正奇数,所以这个数是 2×405-1=809. 答案:809 6.解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边, 可得 S1+S2+S3=S4. 答案:S1+S2+S3=S4 7.解析:设{bn}的首项为 b1,公比为 q, 则 bp ·bm ·bn =(b1q
0 2 2 2 2 2 2 2 2

2

m-n

n- p

p-m

p-1 m-n

)

·(b1q

m-1 n-p

)

·(b1q

n-1 p-m

)

=b1·q =1. 答案:bp ·bm ·bn =1 8.解析:(1)由定义知,四边形 DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成, 其内部格点有 1 个,边界上格点有 6 个,S 1 ? 2 ? =a·0+b·3+c, ?1=a·0+b·4+c, ? ?3=a·1+b·6+c, 1=79. 答案:(1)3,1,6 (2)79 9.解析:如图,易证△OAB≌△OCD,则两个正方形重叠部分的面积 为 S= × = ,类比到正方体,两个重叠部分的体积 V= × × = . 2 2 4 2 2 2 8 答案:
四 边 形 DEFG

0

m-n

n-p

p-m

= 3.(2) 由 待 定 系 数 法 可 得 ,

a=1, ? ? 1 ? ?b= , 2 ? ?c=-1,

1 当 N=71,L=18 时,S=1×71+ ×18- 2

a a a2 a3
8

a a a a3

10.解:(1)选择(2)式,计算如下: sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15° 1 1 3 =1- sin 30°=1- = . 2 4 4
2 2

4

3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α ·cos(30°-α )= . 4 证明如下: 法一:sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) = sin α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) - sin α (cos 30°·cos α + sin 30°sin α ) 3 2 3 1 3 1 2 2 2 =sin α + cos α + sin α cos α + sin α - sin α cos α - sin α 4 2 4 2 2 3 2 3 3 2 = sin α + cos α = . 4 4 4 法二:sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) = 1-cos 2α 1+cos 60°-2α + 2 2 -sin α ·(cos 30°cos α +sin 30°sin α )
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 3 1 2 = - cos 2α + + (cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )- sin α cos α - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = - cos 2α + + cos 2α + 2 2 2 4 3 3 1 sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α ) 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α - + cos 2α = . 4 4 4 4 第Ⅱ组:重点选做题 1.解析:某数 m 按上述规律展开后,等式右边为 m 个连续奇数的和,观察可知每行的 最后一个数为 1=1 +0,5=2 +1,11=3 +2,19=4 +3,?,所以第 m 行的最后一个数为 m
2 2 2 2 2 2 2 3

+(m-1).因为当 m=44 时,m +(m-1)=1 979,当 m=45 时,m +(m-1)=2 069,所以 要使等式右边含有“2 013”这个数,则 m=45. 答案:45 2.解析:不等式

kx bx+1 + <0 ax+1 cx+1

1 +b x 可化为 + <0, 1 1 +a +c

k

x

x

1? ?1 ? 1 ? 故 ∈?-1,- ?∪? ,1?, 3? ?2 ? x ? 即 x∈(-3,-1)∪(1,2), 从而

kx bx+1 + <0 的解集为 ax+1 cx+1
5

(-3,-1)∪(1,2). 答案:(-3,-1)∪(1,2)

6



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