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8.1 椭圆



第八章 §8.1
一、选择题(每小题 7 分,共 35 分)

圆锥曲线方程 椭 圆
)

x2 y2 1.设 P 是椭圆 + =1 上的点,若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( 25 16 A.4
2

B.5
2

C.8

D.10 )

x y 2.已知椭圆 + =1,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 3.已知椭圆 B.5 C.7 D.8

x +y 4

2

2

= 1 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ,点 M 在该椭圆上,且 MF1 ? MF 2 =
) C. 3 3 ) D. 3

0,则点 M 到 y 轴的距离为( 2 3 A. 3 2 6 B. 3

x2 y2 4 4.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( 9 4+k 5 A.-21 19 C.- 或 21 25 B.21 19 D. 或 21 25
2 2

y 5.(2010·福建)若点 O 和点 F 分别为椭圆 x +
4
意一点,则 OP ? FP 的最大值为( A.2 B.3 ) C.6

3

= 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任

D.8

二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 6.方程为 x
2 2

a

+

y b

2

2

=1

(a>b>0)的椭圆的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ,D 是它短轴

上的一个端点,若 3DF 1 = DA + 2 DF 2 则该椭圆的离心率为________. 7.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________. 10 x2 y2 ,则 m=________. 8.若椭圆 + =1 的离心率为 5 m 5 3 ,且 G 上一点到 G 的两个 2

x2 y2 9.已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的左、右焦点,弦 AB 过 F1,若△ABF2 的周长为 8, k+2 k+1 则椭圆的离心率为________. 三、解答题(共 41 分) 10.(13 分)求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦距为 8,离心率为 0.8; (2)经过两点( 6,1),(- 3,- 2). 11. 分)已知椭圆的两焦点为 F1(-1,0)、 2(1,0), 为椭圆上一点, 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (14 F P 且 (1)求此椭圆的方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2 的面积. 3 x2 y2 12.(14 分)设 A、B 分别为椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左、右顶点,?1,2?为椭圆上一点,椭 ? ? a b 圆长半轴的长等于焦距. (1)求椭圆的方程; (2)设 P(4, (x≠0), x) 若直线 AP, 分别与椭圆相交异于 A, 的点 M, 求证: BP B N, ∠MBN 为钝角, 答案 1.D 2. D 3. B 4. C 5. C 6. 1 5 7. x2 y2 + =1 36 9 25 8. 3 或 3 9. 1 2

10. 解(1)若焦点在 x 轴上, x2 y2 设方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b 4 依题意得 c=4,e= ,∴a=5,b=3. 5 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 9 若焦点在 y 轴上,同理可求得椭圆的标准方程为 x2 y2 + =1. 9 25 因此,所求椭圆的标准方程为 x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1. 25 9 9 25 (2)设椭圆方程为 Ax2+By2=1 (A>0,B>0 且 A≠B). ∵椭圆经过点( 6,1)、(- 3,- 2),
? ?6A+B=1, ∴? 解得 ?3A+2B=1, ?

?A=9, ? 1 ?B=3.

1

x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 9 3

点评

第(1)易错点是,易忽略对焦点所在的坐标轴进行分类讨论.第(2)避免讨论的方法是

将方程设为 Ax2+By2=1 (A>0,B>0 且 A≠B),用待定系数法求解. 11. 解(1)依题意得|F1F2|=2, 又 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=4=2a.∴a=2,c=1,b2=3. x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)设 P 点坐标为(x,y),∵∠F2F1P=120°, ∴PF1 所在直线的方程为 y=(x+1)·tan 120°, 即 y=- 3(x+1).

?y=- 3(x+1), ? 解方程组?x2 y2 ? 4 + 3 =1, ?

并注意到 x<0,y>0,

?x=-5, 可得? 3 3 ?y= 5 .
1 3 3 3 3 = . ∴ S ?PF1F2 = |F1F2|· 2 5 5 12. (1)解 依题意得,a=2c,b2=a2-c2=3c2, x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1, 4c 3c 3 将?1,2?代入,得 c2=1, ? ? x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)证明 由(1)知,A(-2,0),B(2,0), 3 设 M(x0,y0),则-2<x0<2,y2= (4-x2), 0 0 4 6y0 由 P,A,M 三点共线,得 x= , x0+2 6y0 6y2 5 → → → → 0 BM=(x0-2,y0), BP=?2,x +2?,BM·BP=2x0-4+ = (2-x0)>0, ? ? x0+2 2 0 即∠MBP 为锐角,则∠MBN 为钝角. 点评 本题证明∠MBN 为钝角,可转化为证其补角为锐角,即求两向量的数量积大于 0,将 数量积用椭圆上点的坐标来表示,利用椭圆上点的坐标的范围判断正负.

8



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