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第二章 随机变量及其分布 章末小结 课件(人教A选修2-3)



第 1 部 分

第 二 章

章 末 小 结

核心要点 归纳

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1.离散型随机变量的分布列 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,

>x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率
P(X=xi)=pi,则X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

有时为了简单起见,也用等式P(X=xi)=pi,i=1, 2,…,n表示X的分布列. 返回

(2)求随机变量的分布列的步骤可以归纳为:
①明确随机变量X的取值; ②准确求出X取每一个值时的概率; ③列成表格的形式. [说明] 已知随机变量的分布列,则它在某范围内取

值的概率等于它取这个范围内各个值时的概率之和.

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(3)离散型随机变量的分布列的性质: ①pi≥0,i=1,2,…,n; ② ?pi=1.
i=1 n

[说明]

分布列的两个性质是求解有关参数问题的依据.

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2.条件概率与独立事件 (1)条件概率:一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A) P?AB? >0,称 P(B|A)= 为在事件 A 发生的条件下,事件 B P?A? 发生的条件概率. P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率. (2)条件概率的性质: ①0≤P(B|A)≤1; ②如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A).

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(3)事件的相互独立性:设 A,B 为两个事件,如果 P(BA) =P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立.如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立.

[说明]

利用公式P(A|B)=P(A)和P(AB)=P(A)P(B)说

明事件A,B的相互独立性是比较困难的,通常是直观判断 一个事件的发生与否是否影响另一个事件的发生. 注意辨析独立事件与互斥事件,独立事件强调一个事

件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,互斥事
件则是强调两个事件不能同时发生. 返回

3.离散型随机变量的均值与方差
(1)均值、方差:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn

P

p1

p2



pi



pn

则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机 变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取 值的平均水平.

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称 D(X)= ? (xi-E(X))2pi 为随机变量 X 的方差, D?X?
i=1

n

为随机变量 X 的标准差. (2)均值与方差的性质: 若 Y=aX+b, 其中 a, b 为常数, X 是随机变量, 则 Y 也是随机变量, 且 E(aX+b)=aE(X)+b, D(aX+b)=a2D(X).

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4.几种常见的分布列 (1)两点分布:如果随机变量X的分布列具有下表的形

式,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.
X 0 1

P

1- p

p

两点分布又称0-1分布、伯努利分布.

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(2)超几何分布: 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件{X=k}发生的概率为
n-k Ck MCN-M P(X=k)= ,k=0,1,2,…,m,即超几何分布的分布 Cn N

列为 X P 0
n-0 C0 C M N-M Cn N

1
n-1 C1 C M N-M Cn N

… …

m
n-m Cm C M N-M Cn N

其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.

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[注意]

解决超几何分布的有关问题时,注意识别模型,

即将试验中涉及的事物看成相应的产品、次品,得到超几何 分布的参数 n,M,N. (3)二项分布:一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p, 那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为
k k P(X=k)=Cn p (1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量 X

服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率.两点 分布是当 n=1 时的二项分布, 即两点分布是二项分布的特殊 形式.

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[说明]

若随机变量X~B(n,p),则需明确在n次独立

重复试验中,每次试验的两种结果中哪一个结果出现k次.
(4)二项分布的均值与方差: ①两点分布:若随机变量X服从参数为p的两点分布, 则E(X)=p,D(X)=p(1-p). ②二项分布:若随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,

D(X)=np(1-p).

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5.正态分布 (1)正态分布:一般地,如果对于任何实数 a,b(a<b),
b 随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=? ? φμ,σ(x)dx, 则称随机变量 X ?
?

a

服从正态分布.正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正 态分布常记作 N(μ,σ2).

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(2)正态分布的3σ原则:若随机变量X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,
P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的 随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ 原则.

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