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高三数学查漏补缺专题训练不等式



高三数学查漏补缺专题训练:不等式

一、选择题 1. 设 b ? a ? 0 ,且 P ?
a?b a 2 ? b2 ,Q ? , M ? ab , N ? ,R ? , 1 1 1 1 2 2 ? ? a 2 b2 a b

2

2

则它们的大小关系是( A. P ? Q ? M ?

N ? R C. P ? M ? N ? Q ? R

) B. Q ? P ? M ? N ? R D. P ? Q ? M ? R ? N

2. 若 x ? 1 ,则函数 y ? x ?
A. 16 C. 4 B. 8 D.非上述情况

1 16 x ? 的最小值为( x x2 ? 1



3. a, b, c ? R ? ,设 S ?

a b c d ? ? ? , a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b

则下列判断中正确的是( ) 0 ? S ? 1 1 ? S ? 2 A. B. C. 2 ? S ? 3 D. 3 ? S ? 4

4. 若 log x y ? ?2 ,则 x ? y 的最小值是(
A. C.



33 2 2
3 2

B. D.

23 3 3
2 3

3

2

5. 若 a, b ? R ? ,且 a ? b, M ?
A. M ? N B. M ? N

a b ? , N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是 b a
C. M ? N D. M ? N

1 1 1 6. 设 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有( a b c 1 1 A. 0 ? M ? B. ? M ? 1 C. 1 ? M ? 8 D. M ? 8 8 8



7. 设不等的两个正数 a , b 满足 a3 ? b3 ? a 2 ? b2 ,则 a ? b 的取值范围是(
A. (1, ??) B. (1, )



4 3

C. [1, ]

4 3

D. (0,1)

8. 设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是(
A. P ? Q ? R C. Q ? P ? R B. P ? R ? Q D. Q ? R ? P



9. 若 x ? (??,1) ,则函数 y ?
A.最小值 1 B.最大值 1

x2 ? 2 x ? 2 有( 2x ? 2
C.最大值 ?1



D.最小值 ?1 )

10. 设 a ? b ? c, n ? N ,且
A. 2 B. 3

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是( a?b b?c a?c C. 4 D. 6

二、填空题 11. 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 3 , 若 f ( x) ? t 恒成立, 则 t 的取值范围是 12. 若 x, y, z 是正数,且满足 xyz ( x ? y ? z ) ? 1 ,则 ( x ? y)( y ? z ) 的最小值为______。 13. 已知 ?1 ? a, b, c ? 1 ,比较 ab ? bc ? ca 与 ?1 的大小关系为 14. 若 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最大值是
. 。

三、解答题 15. 如图,O 为数轴的原点, A, B, M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与
原点的距离, y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?

16. 求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值。

17. 已知 a ? b ? c ? d ,求证:

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b ?c c ?a a ?d

18. 如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。

答案
一、选择题 1. A 解析: R 为平方平均数,它最大 1 16 x 1 16 2. B 解析: y ? x ? ? 2 ? x? ? ? 2 16 ? 8 x x ?1 x x? 1 x a b c d ? ? ? 3. B 解析: a ?b?c b?c ?d c ?d ?a d ?a ?b a b c d a?b?c?d ? ? ? ? ? ?1 a?b?c?d b?c?d ?a c?d ?a?b d ?a?b?c a?b?c?d a a c c b b d d ? ? ? ? 即 S ? 1, , , , a?b?c a?c c?d ?a a?c b?c?d b?d d ?a?b d ?b a c c a b d d b ? ? ? ?1, ? ? ? ?1 得 a?b?c c?d ?a a?c a?c b?c?d d ?a ?b d ?b b?d a b c d ? ? ? ? 2 ,得 S ? 2 ,所以 1 ? S ? 2 即 a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b 4. A
解析:由 log x y ? ?2 得 y ? 而x? y ? x?

1 , x2

1 x x 1 x x 1 1 3 ? ? ? 2 ? 33 ? ? 2 ? 33 ? 3 2 2 x 2 2 x 2 2 x 4 2

5. A

解析:? a ? b,?

a b ? b ? 2 a, ? a ?2 b b a

?

a b a b ? b? ? a ? 2 b ? 2 a ,即 ? ? b? a b a b a
a?b?c a?b?c a?b?c (b ? c)(a ? c)(a ? b) ? 1)( ? 1)( ? 1) ? a b c abc

6. D

解析: M ? (

?

8 ab bc ac ?8 abc

7. B

解析: a ? ab ? b ? a ? b,(a ? b) ? (a ? b) ? ab ,而 0 ? ab ?
2 2 2

( a ? b) 2 4

所以 0 ? (a ? b) ? (a ? b) ?
2

4 ( a ? b) 2 ,得 1 ? a ? b ? 3 4

8. B

解析:? 2 ? 2 ? 2 2 ? 6,? 2 ? 6 ? 2 ,即 P ? R ;

又?

6 ? 3 ? 7 ? 2,? 6 ? 2 ? 7 ? 3 ,即 R ? Q ,所以 P ? R ? Q
( x ? 1)2 1 x ?1 1 1? x 1 ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

9. C 10. C

解析: y ?

解析:?

a ?c a ?c a ?b ?b ?c a ?b ?b ?c b ?c a ?b ? ? ? ? 2? ? ?4 a ?b b?c a ?b b?c a ?b b ?c 1 1 4 1 1 n ? ? ? ? ? ,而 恒成立,得 n ? 4 a ?b b?c a ?c a?b b?c a?c

二、填空题
7? ? 11. ? ? ?, ? 2? ?

12. 2
解析: ( x ? y)( y ? z) ? xy ? y 2 ? yz ? zx ? y( x ? y ? z) ? zx ? 2 y(x ? y ? z )zx ? 2

13. ?

解析:构造单调函数 f ( x) ? (b ? c) x ? bc ? 1 ,则 f (1) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 ,

f (?1) ? (?1 ? b)(?1 ? c) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 , f ( x) ? 0 恒成立,
所以 f (a) ? (b ? c)a ? bc ? 1 ? 0 ,即 ab ? bc ? ca ? ?1

14.

3

解析: (1? a ?1? b ?1? c )2 ? (12 ?12 ?12 )(a ? b ? c) ? 3

三、解答题 15. 解析:
(Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30 (Ⅱ)依题意, x 满足

?4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70, ? ?0 ? x ? 30
解不等式组,其解集为 [9, 23] 所以

x ?[9, 23]

16. 解析:函数的定义域为 [5, 6] ,且 y ? 0

y ? 3? x ? 5 ? 4 ? 6 ? x

? 32 ? 42 ? ( x ? 5) 2 ? ( 6 ? x ) 2 ?5

ymax ? 5

17. 证明:? a ? b ? c ? d ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? d ? 0
?( 1 1 1 1 1 1 ? ? )(a ? d ) ? ( ? ? )[( a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d )] a ?b b?c c ?a a ?b b ?c c ?a

? 33
?

1 1 1 ? ? ? 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) ? 9 a ?b b ?c c ?a

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b?c c ?a a ?d

18. 解析:? x ? 3 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? ( x ? 4) ? 1

?( x ? 3 ? x ? 4 )min ? 1
当 a ? 1 时, x ? 3 ? x ? 4 ? a 解集显然为 ? , 所以 a ? 1



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