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2015-2016学年江西省临川区第一中学高一5月月考数学(解析版)



江西省临川区第一中学 2015-2016 学年高一 5 月月考数学

一、选择题:共 12 题
1.已知 a>0,b<-1,则下列不等式成立的是

A.a>-错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。 源。>-错误!未找到引用源。>a 用源。>a 【答案】A

B.错误

!未找到引用

C.-错误!未找到引用源。>错误!未找到引

D.-错误!未找到引用源。>a>错误!未找到引用源。

【解析】由 b<-1,可知 0<错误!未找到引用源。<-错误!未找到引用源。<1,又 a>0,所以 a>-错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。,故选 A.

2.等差数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,则前 9 项和错误!未

找到引用源。 A.错误!未找到引用源。 用源。 【答案】C 【解析】本题主要考查等差数列的性质.由等差数列的性质得错误!未找到引用源。,则 前 9 项和错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.故选 C. B.错误!未找到引用源。 C.错误! 未找到引

D.错误!未找到引用源。

3.过空间一点作平面,使其同时与两条异面直线平行,这样的平面

A.不一定有 【答案】A

B.只有一个

C.至多有两个

D.有无数个

【解析】本题考查空间点、线、面的位置关系.若过点 A 与直线错误!未找到引用源。 的平面与直线错误! 未找到引用源。 平行时, 这样的平面不存在, 故过空间一点作平面, 使其同时与两条异面直线平行,这样的平面不一定有,故选 A.

4.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1

的半圆,则该几何体的体积是

A.错误!未找到引用源。 用源。 【答案】D

B.错误!未找到引用源。 C.错误! 未找到引

D.错误!未找到引用源。

【解析】本题主要考查三视图及空间几何体的体积.依题意,该几何体为两半圆锥的组合 体,其底面半径为,高为错误!未找到引用源。,故体积为错误!未找到引用源。,故 选 D.

5.a,b,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:

①若 a∥M,b∥M,则 a∥b;②若 b 错误!未找到引用源。M,a∥b,则 a∥M; ③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b. 其中正确命题的个数有 A.0 个 【答案】B 【解析】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系.由 a,b 表示两条直线,M 表示平 面,知:①若 a∥M,b∥M,则 a 与 b 相交、平行或异面,故①错误;②若 b 错误!未 找到引用源。M,a∥b,则 a∥M 或 a?M,故②错误;③若 a⊥c,b⊥c,则 a 与 b 平行、 相交或异面;故③错误;④若 a⊥M,b⊥M,利用线面垂直的性质可得 a∥b,故④正确. 综上正确的命题只有④,故选 B. B.1 个 C.2 个 D.3 个

6.已知四棱锥的俯视图是边长为 4 的正方形及其对角线(如图), 主视图与左视图都是边

长为 4 的正三角形,则其全面积是

A.错误!未找到引用源。 【答案】D

B.错误!未找到引用源。 C.32 D.48

【解析】本题考查三视图及空间几何体的全面积.由题意几何体是一个四棱锥,其侧面 三角形的高为 4,底面是边长为 4 的正方形,几何体的表面积为 4× × 4× 4+4× 4=48.故选 D.

7.不等式错误!未找到引用源。的解集是

A.(0,2)

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。 【答案】A

D.错误!未找到引用源。

【解析】本题考查绝对值不等式的性质及分式不等式的解法.由不等式错误!未找到引 用源。可得错误!未找到引用源。,解得错误!未找到引用源。,故选 A.

8.设 x,y 满足错误!未找到引用源。,则 z=x+y

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值 【答案】B

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

【解析】本题主要考查简单线性规划问题.不等式组错误!未找到引用源。所表示的区 域如下图,z=x+y 可以转化为 y=?x+z,求 z 的最值,即等价于求 y=?x+z 与 y 轴交点的纵 坐标的最值.观察图象可得,当 y=?x+z 经过点 A(2,0)时,z=x+y 达到最小值 2,无最大值. 故选 B.

9.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC、△ACD、△ADB 的面积分

别为错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、,则该三棱锥外接球的表面积为 A.2π 【答案】B 【解析】本题主要考查补形问题、球的表面积计算,意在考查考生的空间想象能力.依题 意,错误!未找到引用源。,解得错误!未找到引用源。,而三棱锥 A-BCD 可补成一个长 方体,该三棱锥与该长方体的外接球是同一个球,故外接球的半径 R=错误!未找到引用 源。=,所求表面积 S 球=4πR2=6π. B.6π C.4 错误!未找到引用源。π D.24π

10.若 x,y∈R,且 2x2+y2=6x,则 x2+y2+2x 的最大值为

A.14 【答案】B

B.15

C.16

D.17

【解析】本题主要考查二次函数在区间上的最值.由 x、y 满足 2x2+y2=6x,y2=?2x2+6x0, 则错误!未找到引用源。,令 u=x2+y2+2x,则 u=?x2+8x=?(x?4)2+16,故当 x=3 时,u 有最 大值为:?1+16=15.故选 B.

11.已知 Δ 错误!未找到引用源。,若存在 Δ 错误!未找到引用源。,满足错误!未

找到引用源。,则称错误!未找到引用源。是 Δ 错误!未找到引用源。的一个“友好” 三角形.则在满足下列条件的三角形,存在“友好”三角形的是 ①错误!未找到引用源。;②错误!未找到引用源。;③错误!未找到引用源。. A.① 【答案】B 【解析】本题主要考查正弦定理及新定义.①若存在“友好”三角形,则错误!未找到引用 源。,显然不成立,故①不存在“友好”三角形;②若存在“友好”三角形,则错误!未找 到引用源。,利用正弦定理得错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,成立, 故②存在“友好”三角形;③存在“友好”三角形,则错误!未找到引用源。,利用正弦定 理得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。,不能构 成三角形,故③不存在“友好”三角形;综上,存在“友好”三角形的只有②.故选 B. B.② C.③ D.均不存在

12.已知 a,b∈R,函数错误!未找到引用源。,若对任意错误!未找到引用源。,有错误!

未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的最大值为 A.错误!未找到引用源。 用源。 【答案】D 【解析】本题主要考查简单的线性规划问题.由函数错误!未找到引用源。,若对任意错 误!未找到引用源。,有错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,即错误!未 找到引用源。①,设错误!未找到引用源。,得直线 l:错误!未找到引用源。即错误!未 找到引用源。,由错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。,故直线 l 过点错误! 未找到引用源。,根据不等式组①作出可行域,可得直线 l 的斜率错误!未找到引用源。, 由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。,由错误!未找到引用源。得错误! 未找到引用源。,故得错误!未找到引用源。,解得错误!未找到引用源。,即错误!未找 到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。,故选 D. B.错误!未找到引用源。 C.错误! 未找到引

D.错误!未找到引用源。

二、填空题:共 4 题
13.已知等比数列错误!未找到引用源。,公比 q=3,且其前错误!未找到引用源。项

和错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。_________. 【答案】6 【解析】本题主要考查等比数列的前 n 项和公式.利用等比数列求和公式可得错误!未 找到引用源。,得错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。.故填 6.

14.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=4,AB=AD=2,M、N 分别为 AC、DD1 的中点,

则异面直线 DM 与 CN 所成的角为_________. 【答案】错误!未找到引用源。 【解析】本题主要考查异面直线所成的角.建立空间直角坐标系错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到 引用源。,则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。, 设异面直线 DM 与 CN 所成的角为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,错 误!未找到引用源。.故填错误!未找到引用源。.

15.在△ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,若 c=1,且错误!未找到引

用源。,则△ABC 的周长 l 的取值范围是_________ 【答案】2<l≤3 【解析】本题主要考查余弦定理.△ABC 中,由余弦定理可得:错误!未找到引用源。, 由错误! 未找到引用源。 , 则错误! 未找到引用源。 , 化简可得: 错误! 未找到引用源。 , 由错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。,得:b+c2(当且仅当 b=c 时,取等 号).故 a+b+c 错误!未找到引用源。3,再由任意两边之和大于第三边可得:b+c>a=1, 故有 a+b+c>2,则△ABC 的周长的取值范围是(2,3],故填错误!未找到引用源。.

16.如图,在长方形错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,错误!未找到引

用源。,为线段错误!未找到引用源。上一动点,现将沿错误!未找到引用源。折起, 使点在面错误!未找到引用源。上的射影错误!未找到引用源。在直线上,当错误!未 找到引用源。从错误!未找到引用源。运动到错误!未找到引用源。,则错误!未找到 引用源。所形成轨迹的长度为

【答案】错误!未找到引用源。 【解析】本题主要考查曲线的轨迹及弧长的求法.由题意,D′K⊥AE,所以 K 的轨迹是 以 AD′为直径的一段圆弧 D′K,设 AD′的中点为 O,由长方形 ABCD′中,AB=错误!未 找到引用源。,BC=1,则∠D′AC=错误!未找到引用源。,则∠D′OK=错误!未找到引 用源。=错误!未找到引用源。 ∴K 所形成轨迹的长度为错误!未找到引用源。× 错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。.故填错误!未找到引用源。.

三、解答题:共 6 题
17.如图,圆 O 为三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 的外接圆,AC 是圆 O 的直径,PA⊥BC,

点 M 是线段 PA 的中点.

(1)求证:BC⊥PB; (2)设 PA⊥AC,PA=AC=2,AB=1,求三棱锥 P-MBC 的体积. 【答案】(1)证明:∵AC 是圆 O 的直径,∴BC⊥AB, 又 PA⊥BC,∴BC⊥面 PAB,∴BC⊥PB. (2)由(1)知 BC⊥面 PAB,∴BC⊥PA,

又 PA⊥AC,∴PA⊥面 ABC,∴PA⊥AC. 故错误!未找到引用源。× 错误!未找到引用源。. 【解析】本题主要考查线线垂直及空间几何体体积计算.(1)利用线线垂直证得 BC⊥面 PAB,从而证得 BC⊥PB;(2)由(1)知 BC⊥面 PAB,∴BC⊥PA,又 PA⊥AC,故 PA⊥ 面 ABC,得 PA⊥AC.利用两棱锥体积相减即可求得所求体积.

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足

(2a-c)cosB=bcosC. (1)求内角 B 的大小; (2)设错误!未找到引用源。=(sinA,cos2A),错误!未找到引用源。=(4k,1)(k>1),错 误!未找到引用源。· 错误!未找到引用源。的最大值为 5,求 k 的值. 【答案】(1)∵(2a?c)cosB=bcosC,∴(2sinA?sinC)cosB=sinBcosC 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA∵0<A<π, ∴sinA≠0. ∴cosB=12∵0<B<π, ∴B=错误!未找到引用源。. (2)m 错误!未找到引用源。n=4ksinA+cos2A=?2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,错误!未找到引 用源。), 设 sinA=t,则 t∈(0,1]. 则 m 错误!未找到引用源。n=?2t2+4kt+1=?2(t?k)2+1+2k2,t∈(0,1], ∵k>1,∴t=1 时,m 错误!未找到引用源。n 取最大值.依题意得,?2+4k+1=5,∴k=错 误!未找到引用源。. 【解析】本题主要考查正弦定理的应用,平面向量的坐标运算.(1)先根据正弦定理将边 的关系转化为正弦值的关系,再由两角和与差的正弦公式和诱导公式求出 cosB 的值, 最后确定角 B 的值.(2)先根据向量数量积的运算表示出 m 错误!未找到引用源。n,再 运用余弦函数的二倍角公式将 2A 化为 A 的关系,最后令 t=sinA,转化为一个一元二次 函数求最值的问题.

19.如图,多面体 AED—BFC 的直观图及三视图如图所示,M,N 分别为 AF,BC 的中

点.

(1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A—CDEF 的体积. 【答案】(1)由多面体 AEDBFC 的三视图知, 三棱柱 AED?BFC 中,底面 DAE 是等腰直 角三角形,DA=AE=2,DA⊥平面 ABEF, 侧面 ABFE,ABCD 都是边长为 2 的正方形. 连接 EB,则 M 是 EB 的中点, 在△EBC 中,MN∥EC, 且 EC?平面 CDEF,MN?平面 CDEF, ∴MN∥平面 CDEF. (2)因为 DA⊥平面 ABEF,EF?平面 ABEF,∴EF⊥AD, 又 EF⊥AE,所以,EF⊥平面 ADE, ∴四边形 CDEF 是矩形, 且侧面 CDEF⊥平面 DAE 取 DE 的中点 H,∵DA⊥AE,DA=AE=2,∴AH=错误!未找到引用源。, 且 AH⊥平面 CDEF. 所以多面体 A?CDEF 的体积 V=错误!未找到引用源。SCDEF 错误!未找到引用源。AH= 错误!未找到引用源。DE 错误!未找到引用源。EF 错误!未找到引用源。AH=错误! 未找到引用源。. 【解析】本题主要考查直线与平面平行的判定,由三视图求面积、体积.(1)由多面体 AEDBFC 的三视图知,侧面 ABFE,ABCD 都是边长为 2 的正方形,由三角形中位线的 性质得:MN∥EC,从而证得 MN∥平面 CDEF.(2)先证四边形 CDEF 是矩形,利用面面 垂直的性质证明并求出棱锥的高,代入体积公式计算棱锥的体积.

20.如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪, 图中 DE 把草坪

分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上.

A x D B y C

E

(1)设 AD=x (x≥0),DE=y,求用 x 表示 y 的函数关系式,并求函数的定义域; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?如果 DE 是 参观线路,则希望它最长,DE 的位置又应在哪里?请予证明. 【答案】(1)中,依余弦定理有错误!未找到引用源。 整理得错误!未找到引用源。 ① 又错误!未找到引用源。,即② ②代入①得错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。 ∵x≤2,且错误!未找到引用源。,∴1≤x≤2 所以函数的定义域是[1,2], 错误!未找到引用源。. (2)如果 DE 是灌溉水管,错误!未找到引用源。 由基本不等式取等条件有:当且仅当,即 x ? 错误!未找到引用源。时“=”成立,此时 DE∥BC,且错误!未找到引用源。 如果 DE 是参观线路,记错误!未找到引用源。,可知 函数在错误!未找到引用源。上递减,在错误!未找到引用源。上递增, 故错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。为 AB 中线或 AC 中线时,错误!未找到引用源。最长。 (2) 如果错误!未找到引用源。是水管,当时,错误!未找到引用源。最短. 如果 DE 是参观线路,则 DE 为 AB 中线或 AC 中线时,DE 最长错误!未找到引用源。. 【解析】本题主要考查三角函数的实际应用题;余弦定理;基本不等式;函数的单调性、函 数的最值. (1)两个变量 x,y 均在△ADE 中,找两者间的关系,想到余弦定理即可.但是发 现还有边 AE 存在,得先定 AE.由面积相等,可得到 AE 与 x 的关系.消掉 AE 即可得到解 析式.注意实际问题中有意义的变量的取值范围,必需求函数的定义域.D 在 AB 上, 可知判断自变量的范围是错误!未找到引用源。. (2) 若 DE 是水管,根据(1)中的解析式,观察形式,直接利用均值不等式即可求得最小值. 若 DE 是参观线路,则要求其尽可能的长,所以要讨论函数的单调性进而求最大值即可.

21.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=n-an,n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设 cn=-2nan+2n,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,试比较 Tn 与 4 的大小. 【答案】∵Sn=n?an,∴Sn?1=n?1?an?1(n>1). 两式相减,得 an=错误!未找到引用源。an?1+错误!未找到引用源。, ∴an?1=错误!未找到引用源。(an?1?1).从而{an?1}为等比数列,首项 a1?1=?错误!未找 到引用源。,公比为错误!未找到引用源。. ∴an?1=?错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)n?1=?(错误!未找到引用源。)n, ∴an=?(错误!未找到引用源。)n+1. (2)证明:由(1)知 an=?(错误!未找到引用源。)n+1. ∵cn=?2n(?(错误!未找到引用源。)n+1)+2n=2n(错误!未找到引用源。)n, ∴Tn=2[(错误!未找到引用源。)+2× (错误!未找到引用源。)2+3× (错误!未找到引用 源。)3+…+n× (错误!未找到引用源。)n]. 从而错误!未找到引用源。Tn=2[(错误!未找到引用源。)2+2× (错误!未找到引用 源。)3+3× (错误!未找到引用源。)4+…+n× (错误!未找到引用源。)n], 两式相减,得错误!未找到引用源。Tn=2[错误!未找到引用源。+(错误!未找到引用 源。 )2+(错误! 未找到引用源。 )3+(错误! 未找到引用源。 )4+…+(错误! 未找到引用源。 )n?n 错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)n+1]. ∴Tn=4× 错误!未找到引用源。[1?(错误!未找到引用源。)n]1??4n(错误!未找到引用 源。)n+1=4?(2n+4)(错误!未找到引用源。)n. ∴Tn<4. 【解析】本题主要考查数列与不等式的综合.(1)n=1 时,a1=错误!未找到引用源。,由 Sn=n-an,得 Sn?1=n?1?an?1(n>1),由此推导出{an-1}为等比数列,首项 a1?1=?错误! 未找到引用源。,公比为错误!未找到引用源。.,从而 an=?(错误!未找到引用 源。)n+1.(2)cn=?2n(?(错误!未找到引用源。)n+1)+2n=2n(错误!未找到引用源。)n,由 此利用错位相减法求和即可证明 Tn<4.

22.已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用

源。. (1)求数列错误!未找到引用源。的通项公式; (2)记错误!未找到引用源。,若对于一切的正整数,总有错误!未找到引用源。成立, 求实数错误!未找到引用源。的取值范围. (3)设错误!未找到引用源。为数列的前错误!未找到引用源。项的和,其中错误!未 找到引用源。,若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立, 试求正实数错误!未找到引用源。的取值范围.

【答案】 (1)当 n>2 时,an=Sn?Sn?1=(错误! 未找到引用源。 n2+错误! 未找到引用源。 n)?[错 误!未找到引用源。(n?1)2+错误!未找到引用源。(n-1)]=3n, 又∵S1=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=3 满足上式, ∴an=3n; (2)由(1)可知错误!未找到引用源。=, ∵T1=错误!未找到引用源。=9,T2=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,T3= 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,T4=错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。, 且当 n 错误!未找到引用源。4 时,Tn?Tn+1=错误!未找到引用源。=>0,即 Tn 错误!未找 到引用源。T4=错误!未找到引用源。, ∴当 n=2 或 3 时,Tn 取最大值为错误!未找到引用源。, ∴m 错误!未找到引用源。. (3)错误!未找到引用源。, 将错误!未找到引用源。代入,化简得,错误!未找到引用源。(﹡) ∵错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。, 所以(﹡)化为错误!未找到引用源。, 整理得错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。对一切的正整数错误!未找到 引用源。恒成立, 易知错误!未找到引用源。随的增大而增大,且, ∴错误!未找到引用源。. 【解析】本题主要考查数列的性质.(1)当 n≥2 时,利用 an=Sn-Sn-1 计算可知 an=3n,进而 计算可得结论;(2)通过(1)可知错误!未找到引用源。=,通过计算可知当 n=2 或 3 时 Tn 取最大值为错误!未找到引用源。,进而可得结论.(3),由错误!未找到引用源。, 得得错误!未找到引用源。.



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