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【试题及答案】清北学堂2014年暑假物理竞赛模拟试题四



清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

清北学堂 2014 暑假物理竞赛模拟练习题(四) 命题人:方小敏教授
1. 质量为 m,半径为 R 的半圆柱体如图置于光滑的水平面上,在其光滑的半圆柱面上,搁 有一个与传动装置连接的, 只能沿竖直方向运动的直杆, 直杆以恒定的加速度 a 向下做匀加 速运动, 当运动到图示位置 (杆与圆柱面的接触点 P

对应的半径与竖直方向的夹角为θ) 时, 杆的速度为 v, 试求此时杆对半圆柱体的压力 N。

2. 一测力计由质量为 m 的外壳和质量也为 m,劲度系数为 k 的弹簧构成,如图置于光滑 的水平面上,用水平恒力 F 拉测力计的外壳,试求测力计的示数。

3. 在一根长为 L=42cm 开口向上的直管中,用一段长 h=4cm 的水银封闭了一定质量的理想 气体,气柱的长度为 l1 = 19cm. 现将此管顺时针方向转动 900,再将管口封闭,并沿管长的 水平方向做匀加速运动,为使管内两部分气柱的长度相同,试问直管应向什么方向加速? 并求出加速度 a 的值。已知此过程温度 T 不变,大气压 P0=76cmHg.

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清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

4. 两块厚度均为 d 的无限大平面带电层紧靠在一起,两带电层各带有体密度为-ρ和+ρ的 电荷, 一质量为 m、 电量为-e 的粒子, 以初速度 v0、 沿与平面成α角的方向向正电荷层运动。 试问: (1) 为使粒子进不了负电荷层,则 v0 应小于何值? (2) 若 v0 满足(1)中的条件,则粒子从进入正电荷层到出正电荷层共需多少时间? 并求出进、出点之间的距离 l .

5. 一条直导线MN和半径为a的导体圆环叠放在光滑的水平面上,直导线固定而圆环可 以自由移动,开始圆环的圆心O与直线的距离为a/2,两者之间电接触良好,整个空间存在 一竖直方向的匀强磁场, 磁感应强度为B0。 磁场的磁感应强度在极短的时间内迅速变为零, 试求磁场刚变为零时圆环的速度v。 已知直导线和圆环是用同一电阻丝制成, 其单位长度的 质量为m0,电阻为r0.

6. 一圆柱形的薄壁玻璃容器浮于水面上,容器底的水深为 h,横截面的直径为 d,容器内 底的正中有一物点 A,如图所示。人眼位于容器壁外水面的上方,斜向下去看物点 A,发现 人眼在某些位置将看不到物点 A,试求此“盲区”的范围(用人眼和 B 点的连线与竖直方向 的夹角θ表示) ,已知水的折射率 n=4/3.

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清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

7. 两个质量均为 m 的物块 A、B 用劲度系数为 k 的轻弹簧连接,而 A 用一根绳悬于天花板 的 O 点,如图所示,在 B 上施加一向下的恒力 F=nmg, 达平衡后撤去此力,在以后的向上运 动过程中,当 A 与天花板相碰时,弹簧第一次达到最大伸长,且伸长量为 5mg/k, 试求: (1) n 的值; (2) A 碰天花板时的速度 vA; (3) 绳的长度 l . .

参考答案
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清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

1 解: 设此时半圆柱体的速度和加速度分别为 VR , aR,取半圆柱体为参照系,p 点的相对 ‘ 速度和相对加速度分别为 VP ,aP’, 由相对运动,得 VP = VP’ + VR VP = V VP’ = V/sinθ (1) ’ ’ ’ aP = ap + aR=aPn + aPt + aR (2) aP’= VP’2/R = 将(2)式的各矢量沿半径 OP 方向投影 aPcosθ = aRsinθ + aPn’∴aR = actgθ 由半圆柱体受力得 Nsinθ = maRN = ( acosθ ) (3)

2 解: 整体运动加速度 a = F/2m 将弹簧分成 n 个等分(n→∞)每份的劲度系数 k’ = nk , 质量为Δm= m/n 当弹簧的总伸长为Δx 时 , 从左至右各小段的伸长各为Δx1,,Δx2,Δx3?…, K’Δx1=Δma Δx1 = Δma/k’ K’Δx1-k’Δx2 =Δma Δx2 = 2Δma/k’ … ’ Δxn = nΔm/k ∴Δx = Δx1+Δx2+…+Δxn = (1+2+…+n)Δma/k 测力计的示数即是弹簧与外壳连接处的弹力 F ’ F = k Δx = ma/2 = F/4 3 解:下部气体 V1 = L1S 转过 900 后
‘ ’ ’

=

=

P1 = P0 + d = 80cmHg

P1 = P0 = 76cmHg V1’ = L1’S 由玻意尔定律,得 P1V1=P1’V1’ L1’ = 20cm 原上部气体此时的长度 L2’= 18cm ‘ 管封闭后应向右加速,才能使其长度变成 L2’’ = 19cm ‘ ‘ P0V2=P2’’V2’’’ P2 = 72cmHg ‘ ’ ‘ ’ ‘ ’ ‘ P0V1 =P1 V1 P1 =80cmHg ' ' 对水银柱(P1-P2 )S =ρdSa a= =2g=19.6m/s


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清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

4解: (1) 如图取坐标轴x,由高斯定律可求得x处的电场强度为 E(x)=4πkρx 粒子在正电荷层中运动方程为 -4πkρex=m + x=0

ω=

初条件:

x0=0



=v0sinα

振动的振幅为

A=



要求到不了负电荷层,应 A≦d

∴ v0≦

(2)

t=T/2=

l=v0cosαt=
5解: 设磁场变化的时间为Δt,变化率k=B0/Δt 图中θ=π/3 ε1=2πa k/3 ε2=πa k/3 ε3=
2 2

a k



R1=4πar0/3 R2=2πar0/3 R3= 等效电路如图所示:由基尔霍夫定律,得 I1=I2+I3 I1R1+I2R2=ε1+ε2 I1R1+I3R3=ε1+ε3

ar0

(1) (2) (3)

由以上三式可解得:

I1=

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清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

I2=

在 adc 上任取一小段,长Δl=aΔθ,受安培力Δf1=I1l , 方向如图,有对称性可知 adc 段所受的合力 F1 必沿 x 方向

F1=

=

=I1

=I1

同理,a’bc’段所受合力 F2 沿-x 方向 F2= I2 而 aa’,cc’两段所受的合力为零,因此,整个圆环所受的合力 F=F1+F2=(I1-I2) 由动量定理,得 FΔt = mv v=FΔt/m = a

6 解: 光从角 B 上方能直接射出,而射向角 B 下方的光有 tgα1=2h/d sinα1=

由折射定律:

sinα1=nsinβ1

sinβ1=

要光能从水面射出,则应满足: sinα2=conβ1= ≦

1可得:



h≧

d

(1) 若 h≧

d,则射到角 B 处的光能从水面射出,射出时的折射角为β2

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清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

nsinα2=sinβ2

sinβ2= π/2 –α1≦θ≦β2

“盲区”的范围为:
(2) 若 h<

d, 则射到角 B 处的光不能从水面射出,发生全反射,

“盲区”的范围为: π/2 –α1≦θ<π/2 7 解: (1) 未加 F 力时,弹簧伸长量 x0=mg/k 加上 F 力后,弹簧又伸长了 x=F/k 撤去力后,当 A 开始上升时,弹簧压缩了 x1=mg/k 由机械能守恒,得 2 2 2 -mgg(x0+x)+k(x0+x) /2 =mgx+kx1 /2+mv0 /2 V0= g

当 A 开始向上运动时,质心的速度为 vC0=v0/2, 在质心系中, A 相对质心的速度 ’ v =-vCo,与 A 连接的半根弹簧的形变量 xA =-mg/2k,直到 A 碰天花板时, 形变量为 xA=5mg/2k, 由机械能守恒,得:
’ Ao

2k

+ m

= 2k

n =

(2) 质心系中,A 做简谐振动,ω=

振幅 A=5mg/2k, 初始条件: xA0 =-mg/2k



Cos?=

= ?=0.436π

=

=1.436π

此时质心的速度 vC=vC0-gt=0.39g

,

∴vA=vC=0.39g , A 相对质心的位移ΔxA’=6mg/2k ,

(3) 质心的位移 ΔxC=vC0t - - gt2 = 11.92

A 相对地面的位移 ΔxA=ΔxC +ΔxA’=8.96

∴绳长 L=ΔxA=8.

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