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几种不同类型的函数模型题型及解析



几种不同类型的函数模型题型及解析
1.在定义域(0,+∞)内随着 x 的增大,增长速度最快的是( )A.y=100 B.y=10x C.y=lgx D.y=e 分析:本题考察对数函数、指数函数与幂函数的增长差异,直接根据常数函数、正比例函数、指数函数、对数函 数的增长差异,得出结论 x 解:由于函数 y=100 是常数函数,函数 y=2x 是正比咧函数,函数 y=e 是

指数函数,函数 y=lgx 是对数函数, 由于指数函数的增长速度最快,所以选 D 2 x x 2.在区间(3,+∞)上,随着 x 的增大,增长速度最快的函数( )A y=x B y=2 C y=2x D y=log2 分析:本题考察对数函数、指数函数与幂函数的增长差异,在同一坐标系画出四个函数的图象,比较图象上升的 平缓程度,可得答案. 2 x x 解:在区间(3,+∞)上,①y=x ,②y=2 ,③y=2x,④y=log2 的 x 图象如右图所示,由图可知 y=2 的函数值随着 x 的增大增长速度最 快,所以选 B
x

3.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( ) 100 x A.y=100x B.y=log100x C.y=x D.y=100 分析:由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当 x 越来越大时,底 数大于 1 的指数函数增长最快. 解:由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当 x 越来越大时,函数 x y=100 增长速度最快.所以选 D 4.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则沙漠增加数 y(万公顷)关于年数 x 的函数关系较为近似的是( ) A.y=0.2x B. C. D.y=0.2+log16x

分析:利用所给函数,分别令 x=1,2,3,计算相应的函数值,即可求得结论. 解:对于 A,x=1,2 时,符合题意,x=3 时,y=0.6,与 0.76 相差 0.16;对于 B,x=1 时,y=0.3;x=2 时,y=0.8; x=3 时,y=1.5,相差较大,不符合题意;对于 C,x=1,2 时,符合题意,x=3 时,y=0.8,与 0.76 相差 0.04, 与 A 比较,符合题意;对于 D,x=1 时,y=0.2;x=2 时,y=0.45;x=3 时,y<0.7,相差较大,不符合题意;故 选C 5.假设你有一笔资金用于投资,现在有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报 40 元;方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元;方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回 报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案? 解: 设第 x 天所得回报是 y 元, 则方案一可以用函数 y=40(x∈N*)进行描述; 方案二可以用函数 y=10x (x∈N*) 进行描述;方案三可以用函数 y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.

三个函数,第一个是常数函数,后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行 分析.作出三个函数的图象如图所示.由图可以看出,从每天回报看,在第一天到第三天,方案一最多,在第四

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天,方案一、二一样多,方案三最少,在第五天到第八天,方案二最多,第九天开始,方案三比其他两个方案所 得回报多得多,经验证到第三十天,所得回报已超过 2 亿元,∴若是短期投资可选择方案一或方案二,长期的投 资则选择方案三.根据以上的分析,是否应作这样的选择: 投资 5 天以下选方案一,投资 5~8 天选方案二,投 资 8 天以上选方案三? 6.某皮鞋厂从今年 1 月份开始投产,并且前 4 个月的产量分别为 1 万双,1.2 万双,1.3 万双,1.37 万双.由于 产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时接受定单不至于过多或过少,需要 估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加 设备和工人.假如你是厂长,将会采取什么办法估算以后几个月的产量? 分析:首先根据月份和产量作出图象,然后根据图象的形状,选择合适的函数模型进行模拟 解:作出图象如图.

方案一:(一次函数模拟)
?3a+b=1.3 ?a=0.1 ? ? 设模拟函数为 y=ax+b,将 B、C 两点的坐标代入函数式,有? ,解得? . ? ? ?2a+b=1.2 ? b= 1 所以得 y=0.1x+1.此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会月月上升 1000 双,这是不太可能的. 方案二:(二次函数模拟)

a+b+c=1 ? ? 设 y=ax +bx+c, 将 A、 B、 C 三点坐标代入, 有?4a+2b+c=1.2 ? ?9a+3b+c=1.3
2

a=-0.05 ? ? , 解得?b=0.35 ? ?c=0.7

, 所以 y=-0.05x

2

+0.35x+0.7.由此法计算 4 月产量为 1.3 万双,比实际产量少 700 双,而且,由二次函数性质可知,产量自 4 月份开始将月月下降(图象开口向下,对称轴 x=3.5),不合实际. 方案三:(幂函数模拟) 设 y=a x+b,将 A,B 两点的坐标代入有 ?a≈0.48 ?a+b=1 ? ,解得? ,所以 y=0.48 x+0.52.当 x=3 时,y=1.35;当 x=4 时,y=1.48.与 ? ? ?b≈0.52 ? 2a+b=1.2 实际产量差距较大. 方案四:(指数函数模拟) x 2 3 设 y=ab +c,将 A,B,C 三点的坐标代入,得 ab+c=1,ab +c=1.2,ab +c=1.3,解得 a=-0.8,b=0.5,c=1.4. x 4 所以 y=-0.8×0.5 +1.4.把 x=4 代入得 y=-0.8×0.5 +1.4=1.35. x 比较以上四个模拟函数,以指数函数模拟误差最小,因此选用 y=-0.8×0.5 +1.4 作模拟函数 7.已知光线每通过一块某种玻璃,其强度变为原来的 50%.现把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为 a,通过 x 块玻璃后强度为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并注明定义域; (2)至少通过多少块玻璃后, 光线强度减弱到原来的 1%以下? 分析: (1)由题设条件得到 y=a(50%) =a( ) ,x∈N . (2)由 y=a(50%) =a( ) <a?1%,知( ) <
x x * x x x



由此能求出至少通过 7 块玻璃后,光线强度减弱到原来的 1%以下. 解: (1)∵光线每通过一块某种玻璃,其强度变为原来的 50%.现把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强 度为 a,通过 x 块玻璃后强度为 y.∴y=a(50%) =a( ) ,x∈N . (2)∵y=a(50%) =a( ) <a?1%,∴( )
x x x * x x



,∵( ) <

7

<( ) ,x∈N ,∴x≥7.所以至少通过 7 块玻璃后,光线强度减弱到原来的 1%以

6

*



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