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高中数学复习学(教)案(第23讲)两角和与差的正弦、余弦、正切



题目 第四章三角函数 两角和与差的正弦、余弦、正切 高考要求 1 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、 余弦、正切公式 2 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证 明 知识点归纳 1 和、差角公式
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sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;
ta n ? ? ta n ?
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ta n ( ? ? ? ) ?

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1 ? ta n ? ta n ?

2 二倍角公式
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sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;
cos 2 ? ? cos
2

? ? sin
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2

? ? 2 cos

2

? ? 1 ? 1 ? 2 sin

2

? ;

ta n 2 ? ?
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2 ta n ?
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1 ? ta n ?
2

3 降幂公式
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sin ? cos ? ?

1 2

sin 2 ? ; sin

2

? ?

1 ? cos 2 ? 2

; cos ? ?
2

1 ? cos 2 ?
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2

4 半角公式
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sin

?
2

? ?

1 ? cos ? 2 1 ? cos ? 1 ? cos ?



cos

?
2

? ?

1 ? cos ? 2



ta n

?
2

? ?

?

s in ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ?
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s in ?

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5 万能公式
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2 ta n s in ? ? 1 ? ta n
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?
2
2

1 ? ta n

2

? ?
2 ; ta n ? ?

2 ta n 1 ? ta n

?
2
2
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?
2

; cos ? ?
1 ? ta n
2

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?
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2

6 积化和差公式
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sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?
cos ? cos ? ?

1 2 1 2
1 2

[sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? )] [sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? )] ;
[cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )]




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sin ? sin ? ? ?

1 2

[cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )]

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7 和差化积公式
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sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ? ?
2

cos

? ? ?
2

; ; ;
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sin ? ? sin ? ? 2 cos cos ? ? cos ? ? 2 cos

? ? ?
2

sin

? ? ?
2

? ? ?
2

cos

? ? ?
2

cos ? ? cos ? ? ? 2 sin

? ? ?
2

sin

? ? ?
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2

8 三倍角公式:
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sin3 ? = 3 sin ? ? 4 sin ?
3
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cos3 ? = 4 cos ? ? 3 cos ?
3

9 辅助角公式: a s in x ? b c o s x ?
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a ? b ? s in ? x ? ?
2 2

?

其 中 s in ? ?
2

b a ?b
2

,os ? ? c
2

a a ?b
2

两角和与差的三角函数, 二倍角公式是高考的重点内容之一, 同时也是 三角部分中后继学习的基础,最重要的是多数考生得分的主要阵地之一 如 2005 年全国高考巻(Ⅰ)理科第(7) (11)题,文科第(6) (11)考查两 角和与差及倍角公式 , 且得分率是相当高的; 再如 2005 年全国高考巻 (Ⅲ) 文理科第 (8) 也是得分率比较高的; (7) 题, 而且在 2005 年全国高考巻 (Ⅱ) 文科卷第(17)题以大题出现 这些都足以说明和、差、倍角的三角函数的 重要地位 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切 公式 在学习时应注意以下几点: (1)不仅对公式的正用逆用要熟悉,而且
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对公式的变形应用也要熟悉; (2)善于拆角、拼角,如 ? ? ?? ? ? ? ? ? ,
2 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?,? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 等; 2 (3) 注意倍角的相对性;

(4)要时时注意角的范围; (5)化简要求; (6)熟悉常用的方法与技巧, 如切化弦,异名化同名,异角化同角等 从近年高考的考查方向来看,这部分常常以选择题和填空题的形式出 现,有时也以大题的形式出现,分值约占 5% 因此能否掌握好本重点内容, 在一定的程度上制约着在高考中成功与否 题型讲解
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( 例 1 已知 sin ? ? sin ? ? 1, ? ? cos ? ? 0 ,求 cos ? ? ? )的值 cos

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分析:因为 ? ? ? )既可看成是 ? 与 ? 的和,也可以 ( 因而可得到下面的两种解法
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看作是

? ? ?
2

的倍角,

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解法一:由已知 sin ? +sin ? =1 ①2+②2 得 2+2cos ( ? ? ? )? 1

① , cos ? +cos ? =0 ∴ cos ( ? ? ? )? ?
1 2



①2-②2 得 cos2 ? +cos2 ? +2cos( ? ? ? )=-1 即 2cos( ? ? ? ) s ( ? ? ? )? 1 〕=-1 〔o c ∴ cos ?? ? ? ? ? ? 1 解法二:由①得 2 sin 由②得 2 cos ④÷③得 cot
? ? ?
2

? ? ?
2 cos

cos

? ? ?
2

?1 ③

? ? ?
2

? 0



? ? ?
2

? 0,
2

1 ? tan ? cos ?? ? ?

? ? ?
2 ? ? ? ? 2

cot cot

2

? ? ?
2 ? ? ? 2

?1 ? ?1 ?1

??
1 ? tan
2

2

点评:此题是给出单角的三角函数方程,求复角的余弦值,易犯错误是利用 方程组解 sin ? 、cos ? 、 sin ? 、 cos ? ,但未知数有四个,显然前景并 不乐观,其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系 本题关键在 于化和为积促转化, “整体对应”巧应用
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ta 例 2 已知 ta n ? , n ? 是 方 程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的 两 个 实 根 根 , 求
2

2 sin

2

??

??

? ? 3 sin ? ?

? ? ? co s ?? ? ?

? ? co s ??
2

? ? ?的 值

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分析:由韦达定理可得到 ta n ? ? ta n ? 及 ta n ? ? ta n ? 的 值 , 进而可以求出
ta n ? ? ? ?
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? 的值,再将所求值的三角函数式用 tan ??

? ?

? 表示便可知其值

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解法一:由韦达定理得 tan ? ? tan ? ? 5, ? ? tan ? ? 6 tan 所以 tan ?? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? 5 1? 6

?

? ?1.

原式 ?

2 s in

2

??

? ?

? ? 3 s in ? ?
s in
2

? ?

? co s ??
2

? ? ? ?

? ? co s ??
2

? ?

?

??

? ?

? ? co s ?? ??1
?

?
? 3

?

2 ta n

2

??

? ? ta n
2

? ? 3 ta n ? ? ??
? ?

? ?

2 ? 1 ? 3 ? ? ?1? ? 1 1?1

??1

解法二:由韦达定理得 tan ? ? tan ? ? 5, ? ? tan ? ? 6 tan 所以 tan ?? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? 5 1? 6

?

? ?1.

于 是 有 ? ? ? ? k? ?

3 4

? ?k ? Z

?

3 ? 3 3 ? 3 ? 3 1 ? 2 ? 2 ? 原 式 ? 2 s in ? k ? ? ? ? ? s in ? 2 k ? ? ? ? ? c o s ? k ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 3 4 ? 2 2 ? 4 ? 2 2 ? ? ?

点评: (1)本例解法二比解法一要简捷,好的解法来源于熟练地掌握知识的 系统结构,从而寻找解答本题的知识“最近发展区” (2)运用两角和与差 角三角函数公式的关键是熟记公式, 我们不仅要记住公式, 更重要的是抓住 公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等 抓住公式的结构特征 对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征, 有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结 构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点 (3)对公式的逆用公 式,变形式也要熟悉,如
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cos ?? ? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ? sin ? ? cos ? , tan ?? ? ?

??1 ?

tan ? tan ?

??

tan ? ? tan ? ,

tan ?? ? ? ? tan ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? , tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? tan ? tan ? ? tan ?? ? ? ?。

例 3 化简下列各式 (1)
1 2 ? 1 2 1 2
2

?

1

? ? 3? ?? cos 2 ? ? ? ? ? ,? ? ? , 2 ? ? 2 ? 2 ?? ?
2

(2)

cos

? ? sin
2

?

?? ? 2 cot ? ? ? ? cos ? 4 ?

?? ? ?? ? ? ? 4 ?

分析: 若注意到化简式是开平方根和 2 ? 是 ? 的二倍, (1)

?是

?
2

的二倍,

以及其范围不难找到解题的突破口; (2)由于分子是一个平方差,分母中的 角
?
4 ?? ?

?
4

?? ?
3? 2

?
2

,若注意到这两大特征, ,不难得到解题的切入点
1 2 1 2

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解: (1)因为

? ? ? 2 ? ,所以

?

cos 2 ? ? cos ? ? cos ? ,

又因

3? 4

?

?
2

? ? ,所以

1 2

?

1 2

cos ? ? sin

?
2

? sin

?
2



所以,原式= sin (2)原式=

?
2
cos 2 ? ? cos 2 ? ?? ? ?? ? 2 sin ? ? ? ? cos ? ?? ? ? 4 ? ? 4 ?

?? ? 2 tan ? ? ? ? cos ? 4 ? cos 2 ?

2

?? ? ?? ? ? ? 4 ?

=

?? ? sin ? ? 2? ? ? 2 ?

?

cos 2 ? cos 2 ?

?1

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点评: (1) 在二倍角公式中,两个角的倍数关系, 不仅限于 2 ? 是 ? 的二倍, 要熟悉多种形式的两个角的倍数关系, 同时还要注意 2 ? , ? ? , ? ? 三个
4 4

?

?

角的内在联系的作用,cos 2 ? ? sin ?
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??

? ?? ? ?? ? ? 2 ? ? ? 2 sin ? ? ? ? cos ? ?? ? ? 2 ? ? 4 ? ? 4 ?

是常用的三角变换 (2)化简题一定要找准解题的突破口或切入点,其中的 降次,消元,切割化弦,异名化同名,异角化同角是常用的化简技巧
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(3)公式变形 cos ? ?

sin 2 ? 2 sin ?

,cos ? ?
2

1 ? cos 2 ? 2

, sin 2 ? ?
2

1 ? cos 2 ?
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2
x 的值。

3 17 7 sin 2 x ? 2 cos ?? ? 例 4 若 cos ? ? x ? ? , ? ? x ? ? , 求 5 12 4 1 ? tan x ? 4 ?
??

分析:注意 x ? ? 下的两种解法 解法一:由
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? ? ?? ? ? ? x?? , 及 2x ? 2? ? x?? 的两变换,就有以 4 2 ? 4 ? ? 4 ?

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17 12

? ? x ?

7 4

? ,得

5 3

? ? x?

?
4

? 2?

3 4 ?? ? ?? ? 又 因 cos ? ? x ? ? , in ? s ? x? ? ? . 5 5 ? 4 ? ? 4 ?

?? ? ? ? 2 ? ? ? ?? ? ?? ? cos x ? cos ?? ? x ? ? ? ? cos ? ? x ? cos ? s in ? ? x ? s in ? ? , 4 4 10 ? 4? ? 4 ? ? 4 ? ?? 4
7 2

从 而 s in x ? ?

, n x ? 7. ta

10

原式 ?

2 s in x c o s x ? 2 s in 1 ? ta n x

2

x

?

? 7 2 ? ? ? 7 2 ? 2 ? 2?? ? ?? ? ?? 2?? ? 10 ? ? 10 ? 10 ? ? ? 1? 7
?? ? ? s in 2 x ? ta n ? ? x? ? 4 ?

2

? ?

28 75

.

解法二: 原 式 ?

2 s in x c o s x ? 1 ? ta n x ? 1 ? ta n x

? ?? ? ? 7 ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? 而 s in 2 x ? s in ? 2 ? ? x ? ? ? ? ? c o s 2 ? ? x ? ? ? ? 2 c o s ? ? x ? ? 1 ? ? ? 2? ? 4 ? ? 4 ? ? ? 4 ? ? 25

?? ? ta n ? ? x? ? ? 4 ?

?? ? s in ? ? x? ? 4 ? ?? ? cos ? ? 'x? ? 4 ?
7

? ?

4 3



所以,原式 ?

28 ? 4 ? ?? ? ? ? ? . 25 ? 3 ? 75
?? 3 ? ? 3 ? 的左边展开成 co s ? co s x ? sin sin x ? 再求 ? x? ? 5 4 4 5 ? 4 ?

点评:此题若将 c o s ?

cosx , sinx 的 值 , 就 很 繁 琐 , 把
??

?
4

? x 作为整体

,并注意角的变换

2· ?

? ? ? x? ? ? 2 x, 运用二倍角公式,问题就公难为易,化繁为简 所以 2 ? 4 ?
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在解答有条件限制的求值问题时, 要善于发现所求的三角函数的角与已知条 件的角的联系,一般方法是拼角与拆角,如 2 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ,
2 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?,? ? ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? 2 ?? ? ? 2 2

?? ? ,
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? ? ?? ? ? ? ? ? , ? ? ?? ? ? ? ? ? , ? ? ?? ? ? ? ? ? , ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 等
a sin

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?
5

? b cos ? b sin

?
5

例 5 已知正实数 a,b 满足
a cos

?
5

?
5

? tan

8? 15

,求

b a

的值。

分析:从方程 的观点考虑,如果给等式左边的分子、分母同时除以 a,则 已知等式可化为关于 的方 程,从而可求出由
a b b a
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,若注意到等式左边的分
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子、分母都具有 a sin ? ? b cos ? 的结构,可考虑引入辅助角求解
sin

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?
5

? ?

b a b a

cos sin

?
5

sin ? cos

8 15 8 15

?
?

解法一:由题设得
cos

?
5

?
5

?

b a

sin ? cos

8 15 8 15

? ? cos ? ? cos

?
5

? cos ? sin

8 15 8 15

? ? sin ? ? sin

?
5

?
5

?
5

?

? ? ? 8 sin ? ? ? ? 5 ? ? 15 ? ? ? 8 cos ? ? ? ? 5 ? ? 15

? tan

?
3

?

3.

解法二: 因 为 a s in
?
5

?
5

? b cos

?
5

?

?? ? 2 2 a ? b s in ? ? ? ?, ? 5 ?

a cos

? b s in

?
5

?

b ?? ? 2 2 a ? b cos ? ? ? ? , 其 中 ta n ? ? , a ? 5 ?

8? ?? ? 由 题 设 得 ta n ? ? ? ? ? ta n . 15 ? 5 ? 所以 b

?
5

? ? ? k? ?

8 15

? , 即 ? ? k? ?

?
3





? ? ? ? ? ta n ? ? ta n ? k ? ? ? ? ? ta n a 3 ? 3 ?
ta n

3.

?
5

?

b a

解法三: 原 式 可 变 形 为 :
1? b a
ta n

ta n

?
5

? ta n

8 15

?,

?
5

令 ta n ? ?

b a

,则有

8 ?? ? ? ta n ? ? ? ? ? ta n ?, ? 15 ? 5 ? 1 ? ta n ? ? ta n 5 8 15

? ta n ?

由此可? ?

?
5

? k? ?

?

?k

? Z ? , 所 以 ? ? k? ? 3, 即 b a ?

?
3

,k ? Z ?

?

? ? ? ? 故 ta n ? ? ta n ? k ? ? ? ? ? ta n 3 ? 3 ?

3

点评:以上解法中,方法一用了集中变量的思想,是一种基本解法;解法 二通过模式联想,引入辅助角,技巧性较强,但辅助角公式
a sin ? ? b cos ? ? a
2

?b

2

b? ? 或 sin ?? ? ? ? , 其 中 ta n ? ? ? , a sin ? ? b cos ? ? a? ?

?

a ?b
2

2

a ? ? c o s ? ? ? ? ? , 其 中 ta n ? ? ? ? 在历年高考中使用频率是相当 b ? ?

高的,应加以关注;解法三利用了换元法,但实质上是综合了解法一和解法 二的解法优点,所以解法三最佳 例 6 试求 cos2730+cos2470+cos730cos470 的值 分析:由于本题非常对称,且两角之和为 1200,所以可以构造对偶式, 又因其形式与余弦定理相似,所以构造三角形利用正余弦定理求值 解法一: 设 x= cos2730+cos2470+cos730cos470,y=sin2730+sin2470+sin730sin470, 则 x+y=2+cos260 ①;
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x-y=cos1460+cos940+cos1200=2cos1200cos260 ? 2 ? ? cos 26 于是①+②,得 2x= ,即 x ?
2 3 3 4 3 4 . .

1

0

?

1 2

.



故 cos2730+cos2470+cos730cos470=

解法二:由于原式=sin2170+sin2430-2sin170sin430cos1200, 构造三角形 ABC,使 A=170,B=430,C=1200,其外接圆半径为 1, 于是由正弦定理,有 a=sin170,b=sin430,c=sin1200 ? 2 , 再由余弦定理,得 a2+b2-2abcosC=c2,即
? 3 ? ? sin 17 +sin 43 -2sin17 sin43 cos120 = ? ? 2 ? ? ?
2 0 2 0 0 0 0
2

3

?

3 4

.

故 cos2730+cos2470+cos730cos470=

3 4

.

点评: 在三角函数中, 同一个角的正弦与余弦、 正切与余切分别互为对偶式, 它们之间存在着某些特定的关系, 利用这种对偶式, 可以巧妙求出某些三角 函数的值 同时仔细观察和这种类比能力是高考必考查的能力之一,通过仔 细观察寻找到解题的突破口,通过类比,知识与能力得以提升
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例 7 是否存在锐角 ? 和 ? ,使 ?1 ?? ? 2 ? ?

2 3

? ? ;2 ? tan

?
2

tan ? ? 2 ?
明理由。

3 ,

同时成立?若存在,求出 ? 和 ? 的值;若不存在,请说

分析:欲求角 ? , ? ,则应先求出其三角函数值,由题意条件可知,应求
?
2 , ? 的正切值
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解法一:

?
2

?

?
3

? ?, 代 入

ta ? 2 ?中 得 : n ?

??

? ? ? ? ta n ? ? 2 ? ? 3 ?

3,



3 ? ta n ? 1? 3 ta n ?

? ta n ? ? 2 ?

3, ta n ? ? ?
2

?

3 ? 3 ta n ? ? 2 ?

?

3 ? 0,

由 此 解 得 , n ? ? 1, 或 ta n ? ? 2 ? ta

3,

当 ta n ? ? 1时 , 又 因 为 锐 角 , 所 以 ? ? 当 ta n ? ? 2 ? 3时 , 代 入 ? 2 ? 中 得 ta n

?
4

, 并 代 入 ?1 ? 得 ? ?

?
6



?
2 ?

? 1,

由于?为锐角,所以

?
2

为锐角,故

?
2

?
4

? ? ?

?
2

,这与已知矛盾,

所以 存在 ? ?

?
6

,? ?

?
4

满足条件

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? ta n ? ?? ? 2 解法二:由 ? 1 ? 得 , ? ? ? , 所 以 ta n ? ? ? ? ? ? 2 3 ? 2 ? 1 ? ta n ? ta n ? 2

?

?

ta n

?

3,

将 ? 2 ? 代 入 上 式 , 得 ta n 所 以 ta n

?
2

? ta n ? ? 3 ?
2

3, 3 x? 2?

?
2

, n ?是一元二次方程x ? 3? ta 3,

?

?

3 ? 0的 两 根 。

? x 1 ? 1, x 2 ? 2 ? 若 ta n

?
2

? 1, 但 由 于 0 ?

?
2

?

?
4

,所以这是不可能的。

从 而 ta n

?
2

? 2?

3, n ? ? 1, ta

因 为0 ? ? ?

?
2

,所以? ?

?
4

, 并 代 入 ?1 ? 中 , 得 ? ? ,? ?

?
6



故,存在这样的锐角? ?

?
6

?
4

.

点评: 三角函数条件式本身就是方程的形式, 在进行三角变换时要重视方程 的思想方法并会灵活运用 一般地,若知道 ta n ? ? ta n ? , 及 ta n ? ta n ? ,
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则 由 韦 达 定 理 ,tan ? , ? 是某二次方程的两根,这往往与公式 T ? ? ? 有 tan

必然的联系; 若已知 sin ? cos ? 及 sin ? ? c o s ? , 则 sin ? , o s ? 是 某 二次方程的 c 两根 这 往 往 与 s in ? ? c o s ? ? 1 有联系,在解题时可充分利用这些联系,
2 2

列方程求解未知数,另外,解方程组的消元法也是常用的三角变换,当已知 条件中有某角时,而所求中没有该角时,常常可以用消元法求解,当求解两 个角或其函数值时,可以用消去一角,先求出另一角,其一般方法是代入消 元或借助同角三角函数关系式 值得一提的是凡是求某角,基本上是先求出 其三角函数值,再求角
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? 例 8 已知 a ? ? sin ? , o s ? c
? ? 1 a ?b ? 2

? ,b

?

? ? c o s ? ,in ? s

?,

? ? b ? c ? ? 2 cos ? ,? , 0
52
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,a ?c

? ?

?

1 3

,求证: cos 2 ??
?

? ? ? ? tan ? ? cot ? =

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9

分析: 由题意首先将向量 c 的坐标求出, 再由数量积寻找角 ? ? ? , ? ? 的 ? 三角函数值 ? 证明:设 c 的坐标为(x,y) ,则
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? ? ? cos ? ? x ? 2 cos ? b ? c ? ? c o s ? ? x, in ? ? y ? ? ? 2 c o s ? , ? ? ? s 0 s in ? ? y ? 0 ? ? x ? cos ? ? ? ,所以 ? y ? ? sin ?

? c

=( cos

? , sin ? ?

) ,

所以 a ? c ? ? sin ? , ? ? ? ? cos ? , sin ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? , cos ? 而a ?c ?
? ? ? ? 1 3

? ?

,所以 sin ??

? ?

??

1 3

, 1 2

又因 a ? b ? s in ? c o s ? ? c o s ? s in ? ? s in ? ? ? ? ? ?
则 cos 2 ?? ? ?
sin ?? ? ? sin ?? ?

??1?

2 sin

2

??

? ?

??

7 9

.
tan ? cot ? ? 1 tan ? cot ? ? 1 2 3

所以

? ? ??

sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

?

?

, tan ? cot ? ? 5 ?



故 cos 2 ?? ? ? ? ? tan ? ? cot ? =

7 9

? 5 ?

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所以原题得证

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点评: 求值、 化简、 证明是三角函数中最常见的题型, 其解题一般思路为 “五 遇六想”即:遇切割,想化弦;遇多元,想消元;遇差异,想联系;遇高

次,想降次;遇特角,想求值;想消元,引辅角 “五遇六想”作为解题经 验的总结和概括, 操作简便, 十分有效 其中蕴含了一个变换思想 (找差异, 抓联系,促进转化) ,两种数学思想(转化思想,和方程思想) ,三个追求 目标(化为特殊角的三角函数值,使之出现相消项或相约项) ,四种变换 方法(切割化弦法,消元降次法,辅助元素法) 学生练习
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1 设 ? ABC 中,cos A ?
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3 5

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, B ? sin

5 13

, 则 cos C 的值是

( )
16 65

A
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56
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B-
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56 65 1

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C-
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16 65

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D

56
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或-

65

65

2 函数 y=
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2 ? sin x ? cos x

的最大值是( )
4
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A

2
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?1

2

B1 ?
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2 2

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C4
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D

3 3

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3 求 下 列 各 式 的 值 : 1 ) tan340+tan260+ (
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3 tan 34

0

tan 26

0

, 2) (

sin 50

0

?1 ?

3 tan 10

0

?

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4 已知 cos ?? ? ? ? ?
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4 5

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, ?? ? ? ? ? ? cos

4 5

,且

? 分 ? ? ? ? ? ? 2? , ? ? ? ? ? ? , 2 2
3

别求 cos 2 ? 和 cos 2 ? 的值

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5

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观 察

sin100+sin200+sin300+ ? +sin2000=

2 sin 105

0

sin 100
0

0



sin 10 2 s in 1 0 2 s in 9 6 s in 1 2
0 0 0

sin120+sin240+sin360+?+sin1920= 规律相同的一个等式
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, 写出一个与以上两式

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? x 2 6 已 知 s i n , s i n,
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?, s 差 数 列 , c o 成

? , i nx, s i?n 等 比 s 列 ,求 s 成 c o 数

c o s 2 x 的值
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7 已知 f ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? , 其 中 ? 、 ? 是 适 合
2 2 2
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0 ? ? ? ? ? ? ,的常数,试问 ? 、 ? 为何值时,

f ?? ?为与 ? 无关的定值

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参考答案:
1 .C . ? cos A ? 3 5 , ? ; sin A ? 4 5 16 65
故 cos B ? ? 12 13 ?舍 ?,所以选
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, 由 sin B ?

5 13

得 cos B ? ?

12 13

, 当 cos B ?

12 13

时,

cos C ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ?

.当 cos B ? ?

12 13

时,有

cos A ? cos B ? 0 .

C.

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2 .B . y ? 2 ?

1 ? 2 2? sin x ? ? 2 ? ? cos x ? ? 2 ? 2 1 2 ? 2

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1

? ? ? ? 2 ? cos sin x ? sin cos x ? 4 4 ? ?
2 2 .

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1

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0

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3 (1)? tan 60
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? tan 34

?

0

? 26

0

??

tan 34

0

? tan 26
0

0 0

1 ? tan 34
0

,而 tan 60

0

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3,

tan 26
0

?

3 ?

3 tan 34
0

0

tan 26
0

0

? tan 34 3 tan 34

? tan 26 , tan 26
0

所以 tan 34

? tan 26

? 3
0

0

?
0

3.

? 2 ?原式
? cos 40

? 0 ? cos 40 ? 1 ? ? ?
0

sin 10 cos 10

0 0

? cos 40 ? ? ? ?
0 0

?cos 10

0

?
0

3 sin 10

0

?

cos 10

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0

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0

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?

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sin 80 sin 80

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3?

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? ? ? ? ? ? 2 ? , ? ? ? ? ? ? , sin ?? ? ? ? ? ? 1 ? cos ? 2 2

2

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3 5


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4

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2 sin

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? sin

n 2

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5 sin sin ? ? sin 2 ? ? ? ? sin n ? ?
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sin ?
2

6 由已知, 2 sin 2 x ? sin ? ? cos ? , sin
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x ? sin ? cos ? ,
2

? ? 2 sin 2 x ? ? ? sin ? ? cos ?
2

?

2

,即 4 sin
2

2

2 x ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ? 2 sin

x, 1? 8 33 .

4 1 ? cos

?

2

2 x ? 1 ? 1 ? cos 2 x , cos 4
2

?

2 x ? cos 2 x ? 2 ? 0 ,由此解得, cos 2 x ? 0 ? 2 sin
2

又 cos 2 x ? 1 ? 2 sin

x ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ,,所以 1? 8 33 .

x ? sin 2 ? ? 1,

? 0 ? 1 ? sin 2 ? ? 1,即 0 ? cos 2 x ? 1, cos 2 x ? ?

2 2 2 7(Ⅰ)设 f ?? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?与 ? 无关且为定值,
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则 f ?0 ? = f ?? ? ? ? f ?? ? ? ? f ?
2

?? ? ?. ? 2 ?
2

于是 sin ? sin
2

? ? sin
2

2

? ? sin
2

2

? ? sin
??

??

??

??

sin

2

? ? sin

2

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cos

2

? ? cos

2

?

? ? sin

? ? sin

??

??
3 2

3 4

.又 0 ? ? ? ? ? ? ,故 0 ? ? ? ? ? ? ,

? sin ? ? sin ? ? sin ? ? ? ?

??

, ? ? ?

?
3

,? ?

2? 3



(Ⅱ)若 ? ?

?
3

,? ?

2? 3

时, f ?? ? ? sin

2

? ? 2? ? 2 ? 2 ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ?
? ? ? ?
2

?1 3 ? s in ? ? ? s in ? ? cos ? ? 2 2 ?
2

? ? 1 3 cos ? ? ? ? ? s in ? ? ? ? 2 2 ? ?

2

3 3 ?1 ? 2 2 2 ? s in ? ? 2 ? s in ? ? c o s ? ? ? ? 为 定 值 ? , 4 2 ? 4 ? ?当? ?

?
3

,? ?
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2? 3

时 , f ?? ? 为 与 ? 无 关 的 定 值 。

课前后备注

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(1)已知: ? ? k ? ( k ? Z ), 求证 : tan (2)已知: sin ? ? 解: (1) ? ? ? k ? , ?
?
2 ?

?
2

?

1 ? cos ? sin ?
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;

4 5

, 求 tan(

?
2

?

?
4

) 的值

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k? 2

,k ? Z
2

? ta n

?
2

s in ? cos
4 5

? ?
2 ?

2 s in 2 s in

?
2

?
2

cos
3 5

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2

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1 ? cos ? s in ?

.

2
( 2 ) ? s in ? ?

,? c o s ? ? ?

.

当 cos ? ?

3 5

时 , s in ? ?

4 5

时 , ta n (

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2

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4

ta n ) ?

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2

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1 ? ta n

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2

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1 3

.

当 cos ? ? ?

3 5

时 , s in ? ?

4 5

时 , ta n (

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2

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4

ta n ) ?

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2

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1 ? ta n

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2

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1 3

.



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