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2012年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含详解(名师指导)



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2012 年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含详解



学(理工农医类)(名师、专家指导)
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共

60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1
x <0

(2)设集合 A={x| x ? 1

},B={x|0<x<3=,那么“m ? A”是“m? B”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128 (4)函数 f(x)=x3+sinx+1(x ? R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2
4

(5)某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 5 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是
16 96 192

256

A. 6 2 5

B. 6 2 5

C. 6 2 5

D. 6 2 5

(6)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为

6

2 6

15

10

A. 3

B.

5

C.

5

D.

5

(7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么不同的选派方案 种数为 A.14 B.24 C.28 D.48

(8)若实数 x、y 满足 A.(0,1)

?x ?

y

y ?1? 0 ,

则 x 的取值范围是 C.(1,+ ? ) D.

B.

? 0,1?

?1, ? ? ?

(9)函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象,则 m 的值可以为
? ?

A. 2

B. ?

C.- ?

D.- 2

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(10)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3a c ,则角 B 的值为
? ? ?
5?

?

2?

A. 6

B. 3

C. 6 或 6

D. 3 或 3

x

2 2

?

y b

2 2

?1

(11)又曲线 a 值范围为 A.(1,3)

(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取

B.

? 1, 3 ?

C.(3,+ ? )

D.

? 3, ? ? ?

(12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (13)若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答) x=1+cos ?

(14)若直线 3x+4y+m=0 与圆

y=-2+sin ?

( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围是

.

(15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是
a

.

(16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈R,都有 a+b、a-b, ab、 b 称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 ①整数集是数域; ③数域必为无限集; 其中正确的命题的序号是
F ? a ? b 2 a,b ? Q

∈P(除数 b≠0) ,则

?

? 也是数域.有下列命题:

②若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域; ④存在无穷多个数域. .(把你认为正确的命题的序号填填上)
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3 , ? 1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 4 cos A sin x ( x ? R ) 的值域. (18) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小;
3

AQ

(Ⅲ)线段 AD 上是否存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 2 ?若存在,求出 Q D 明理由. (19) (本小题满分 12 分)
f (x) ? 1 3 x ? x ?2
3 2

的值;若不存在,请说

已知函数

.
( a n , a n ?1 ? 2 a n ?1 )
2

(Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn,其中 a1=3.若点

(n∈N*)在函数 y=f′(x)的

图象上,求证:点(n,Sn)也在 y=f′(x)的图象上; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间(a-1,a)内的极值. (20) (本小题满分 12 分) 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科 目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证
2

书.现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 3 ,科目 B 每次考试
1

成绩合格的概率均为 2 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的数学期望 E ? . (21) (本小题满分 12 分)
x
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

如图、椭圆 a

的一个焦点是 F(1,0) 为坐标原点. ,O

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(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动,值有 值范围. (22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)记 f(x)在区间
OA
2

? OB

2

? AB

2

,求 a 的取

? 0 , ? ? (n∈N*)上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx.
an ? an?2 ? c an?2

(Ⅲ)如果对一切 n,不等式
a1 ? a1 a 3 a2a4 ? ???? a 1 a 3 ???a 2 n ? 1 a 2 a 4 ???a 2 n ?

恒成立,求实数 c 的取值范围;

(Ⅳ)求证:

a2

2an ? 1 ? 1.

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数 学(理工类) 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)若复数 ( a ? 3 a ? 2 ) ? ( a ? 1) i 是纯虚数,则实数 a 的值为
2

A.1

B.2

C.1 或 2

D.-1

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2 解:由 a ? 3 a ? 2 ? 0 得 a ? 1或 2 ,且 a ? 1 ? 0 得 a ? 1 ? a ? 2 (纯虚数一定要使虚部不为 0)

A ? {x |

x x ?1

? 0}

(2)设集合

, B ? { x | 0 ? x ? 3} ,那么“m? A”是“m ? B”的 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件
x ? 0

解:由 x ? 1

得 0 ? x ? 1 ,可知“ m ? A ”是“ m ? B ”的充分而不必要条件
a1 ? 1, a 5 ? 1 6

(3)设{an}是公比为正数的等比数列,若 A.63 B.64
a1 ? 1, a 5 ? 1 6
3

,则数列

{a n }

前 7 项的和为

C.127

D.128
S7 ? 1? 2
7

解:由

及{an}是公比为正数得公比 q ? 2 ,所以

1? 2

? 127

(4)函数 f ( x ) ? x ? sin x ? 1( x ? R ) ,若 f ( a ) ? 2 ,则 f ( ? a ) 的值为 A.3 B.0
3

C.-1

D.-2

解: f ( x ) ? 1 ? x ? sin x 为奇函数,又 f ( a ) ? 2 ? f ( a ) ? 1 ? 1 故 f (? a ) ? 1 ? ?1 即 f (? a ) ? 0 .
4

(5)某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 5 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是
16 96 192

256

A. 6 2 5

B. 6 2 5
4

C. 6 2 5

D. 6 2 5
2 2

96 2 ? 4 ? ? 1 ? P (k ? 2) ? C 4 ? ? ? ? ? B ( 4, ) 625 ?5? ?5? 5 , 解:独立重复实验

(6)如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=1,则 BC1
6 2 6
D1 A1 B1 C1

与平面 BB1D1D 所成角

的正弦值为

A. 3
15

B.
10

5

D A B

C

C. 解:连
A1 C 1

5

D.
B1 D 1

5



交与 O 点,再连 BO,则
O C1 B C1

? O B C1

为 BC1 与平面 BB1D1D 所成角.

D1
C O S ? O B C1 ?

C1 O B1 C



O C1 ?

2



B C1 ?

5

A1 D

B A 数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷,全免费下载

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? C O S? O B1 C?

2 5

?

10 5

(7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么不同的选派方案 种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 解:6 人中选 4 人的方案
C6 ? 15
4

种,没有女生的方案只有一种,

所以满足要求的方案总数有 14 种
?x ? y ?1 ? 0 ? x ?0 (8)若实数 x、y 满足 ?
y

则 x 的取值范围是 C.(1,+ ? ) D.

A.(0,1)

B.

? 0,1?
y ? x ?1 x

?1, ? ? ?

解:由已知

y ? x ?1

? 1?

1

y

,x

x ,又 x ? 0 ,故 x 的取值范围是 (1, ?? )
'

(9)函数 f ( x ) ? co s x ( x ? R ) 的图象按向量 ( m , 0 ) 平移后,得到函数 y ? ? f ( x ) 的图象, 则 m 的值可以为
? ?

A. 2

B. ?

C.- ?

D.- 2

? 解: y ? ? f ( x ) ? sin x ,而 f ( x ) ? co s x ( x ? R ) 的图象按向量 ( m , 0 ) 平移后

?

得到

y ? cos( x ? m )

,所以

cos( x ? m ) ? sin x

,故 m 可以为 2 .
2 2 2

(10)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若 (a + c -b )tan B =
? ? ?
5?

3ac

,则角 B 的值为

?

2?

A. 6

B. 3

C. 6 或 6
(a + c -b )
2 2 2

D. 3 或 3
3 co s B 2 sin B 即 3 co s B 2 sin B

解: 由 (a + c -b )tan B =
? sin B = 3

2

2

2

3ac

=

co s B =


?

2ac
2?

2 ,又在△中所以 B 为 3 或 3

x

2 2

?

y b

2 2

?1

(11)双曲线 a

(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值 B.

范围为 A.(1,3)

? 1, 3 ?

C.(3,+ ? )

D.

? 3, ? ? ?

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解: 如图, 设
e? 2c 2a ?

P F2 ? m
2


2

? F1 P F2 ? ? (0 ? ? ? ? )
2

, P 在右顶点处 ? ? ? , 当

m ? ( 2 m ) ? 4 m co s ? m

?

5 ? 4 co s ?

e ? ? 1, 3 ? ∵ ? 1 ? cos ? ? 1 ,∴

另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前 取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定 a 与 c 的关系。 (12) 已知函数 y ? f ( x ), y ? g ( x ) 的导函数的图象如下图,那么 y ? f ( x ), y ? g ( x ) 图象可能是

者可以

解:从 导函数的图 象可知两个 函数在
x0



斜率相同,可 以排除 B 答 案,再者导函 数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出 y ? f ( x ) 的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢, 排除 AC,最后就只有答案 D 了,可以验证 y=g(x)导函数是增函数,增加越来越快.

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第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (13)若 解:令
( x ? 2) ? a 5 x ? a 4 x ? a 3 x ? a 2 x ? a 1 x ? a 0
5 5 4 3 2

,则

a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ?

(用数字作答)

x ? 1得 a 5 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? a1 ? a 0 ? ? 1 a 5 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? a1 ? 3 1

x ? 0得 a0 ? ?32 ,令 x ? 0 得

所以

? x ? 1 ? co s ? ? y ? ? 2 ? sin ? (14) 若直线 3 x ? 4 y ? m ? 0 与圆 ? ( ? 为参数)没有公共点,

则实数 m 的取值范围是 解:圆心为 (1, ? 2 ) ,要没有公共点,根据圆心到直线的距离大于半径可得
d ? 3 ? 1 ? 2 ? (?4) ? m 3 ?4
2 2

? r ?1

,即

m?5 ?5

( ? , m ? - ? , 0)( 10, + ? )

(15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 解:依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.
2r ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 , S ? 4? r 2 ? 9?
a

(16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈R,都有 a+b、a-b, ab、 b 称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 ①整数集是数域; ③数域必为无限集; 其中正确的命题的序号是
1 ?Z

∈P(除数 b≠0) ,则

F ? a ? b 2 a,b ? Q

?

? 也是数域.有下列命题:

②若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域; ④存在无穷多个数域. .(把你认为正确的命题的序号填填上)

解:①对除法如 2 ②取

不满足,所以排除,

M ? a ? b 2 a, b ? Q
3

?

? ,对乘法

3

2? 2 ?
3

3

4 ? M , ③④的正确性容易推得。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3 , ? 1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 4 cos A sin x ( x ? R ) 的值域.

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解: (Ⅰ) 由题意得 m ?n ?

3 sin A ? co s A ? 1,

2 sin ( A ?

? 6

) ? 1, sin ( A ?

? 6

)?

1 2

.

A?

?
6

?

?
6

,A?

?
3

由 A 为锐角得

co s A ?

1 2

,

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知

f ( x ) ? co s 2 x ? 2 sin x ? 1 ? 2 sin x ? 2 sin s ? ? 2 (sin x ?
2

1 2

) ?
2

3 2

.

所以
sin x ? ? ? 1,1 ?
sin x ? 1

3

因为 x∈R,所以

,因此,当

2 时,f(x)有最大值 2 .

3? ? ? 3, ? 2? ? 当 sin x ? ? 1 时, f ( x ) 有最小值-3,所以所求函数 f ( x ) 的值域是 ?

(18) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小;
3

(Ⅲ) 线段 AD 上是否存在点 Q, 使得它到平面 PCD 的距离为 2 ?
AQ QD

若存在,求出

的值;若不存在,请说明理由.

解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 P A D ? 平面 ABCD=AD, P O ? 平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 BO,在直角梯形 ABCD 中、BC∥AD,AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形,所以 OB∥DC. 由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1,AO=1, 所以 OB= 2 , 在 Rt△POA 中,因为 AP= 2 ,AO=1,所以 OP=1,

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PG

?

1 2

?

2 2
2

, ? P B O ? arctan

2 2

.

在 Rt△PBO 中,tan∠PBO=

BC

a rc ta n

所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是

2 . 3

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 2 .
S ?DQC ? 1 2 x

设 QD=x,则

,由(Ⅱ)得 CD=OB= 2 ,
OC ? OP
2 2

在 Rt△POC 中, P C ?
S ?PCD ? 3 4

?

2,

?( 2 ) ?
2

3 2

,

所以 PC=CD=DP,

AQ

?

1 3

由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2,所以存在点 Q 满足题意,此时 Q D 解法二: (Ⅰ)同解法一.
???? ???? ??? ?

.

O O (Ⅱ)以 O 为坐标原点, O C 、 D、 P 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意,

易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
1,) P ? ? 所以 C D= ( ? 1, 0 , B= (1, 1, 1) .
6

????

??? ?

所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos 3 ,
3

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 2 , 由(Ⅱ)知
??? ? ???? C P ? ( ? 1, 0,1), C D ? ( ? 1,1, 0 ).

设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).
??? ? ? n ?C P ? 0 , ? ? ???? ? n ?C D ? 0 , ?

则 取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).
???? Q (0, y , 0 )( ? 1 ? y ? 1), C Q ? ( ? 1, y , 0 ),

? ? x0 ? z0 ? 0, ? ? x 0 ? y0 ? 0, x ? y0 ? z0 所以 ? 即 0 ,
?????? C Q ?n n ?1 ? y

?

3 2

?

3 2

,





,得

3

1

5

AQ ?

1 2

, QD ?

3 2,

解 y=- 2 或 y= 2 (舍去),此时

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AQ

?

1 3.

所以存在点 Q 满足题意,此时 Q D

(19) (本小题满分 12 分)
f (x) ? 1 3 x ? x ?2
3 2

已知函数 (Ⅰ)设
n

.
n

? a ? 是正数组成的数列,前 n 项和为 S
(n, S n )
'

,其中

a1 ? 3

.若点

( a n , a n ?1 ? 2 a n ?1 )
2

(n∈N*)在函数 y ? f ( x )
'

的图象上,求证:点

也在 y ? f ( x ) 的图象上;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ( a ? 1, a ) 内的极值.
f (x) ? 1 3
?

x ? x ? 2,
3 2

解:(Ⅰ)证明: 因为 由点
( a n , a n ? 1 ? 2 a n ? 1 )( n ? N )
2

所以 f ( x ) ? x ? 2 x ,
' 2
2 2

' a ? 2 a n ?1 ? a n ? 2 a n 在函数 y ? f ( x ) 的图象上, n ? 1

( a n ? 1 ? a n )( a n ? 1 ? a n ) ? 2( a n ? a n ? 1 ) a n ?1 ? a n ? 2

, 又
n
1

a n ? 0 ( n ? N ),
? 3, d ? 2

?

所以



?a ? 是 a
2

的等差数列

所以 故点

S n ? 3n ?

n ( n ? 1) 2

? 2=n ? 2n

' 2 S ? f ?( n ) ,又因为 f ( n ) ? n ? 2 n ,所以 n ,

(n, S n )

也在函数 y ? f ( x ) 的图象上.
'

2 ? ? (Ⅱ)解: f ( x ) ? x ? 2 x ? x ( x ? 2) ,令 f ( x ) ? 0, 得 x ? 0 或 x ? ? 2 .

? 当 x 变化时, f ( x ) ﹑ f ( x ) 的变化情况如下表:

x f′(x) f(x) 注意到

(-∞,-2) + ↗ ,从而

-2 0 极大值

(-2,0) ↘

0 0 极小值

(0,+∞) + ↗

( a ? 1) ? a ? 1 ? 2

a ? 1 ? ? 2 ? a , 即 ? 2 ? a ? ? 1时 , f ( x )的 极 大 值 为 f ( ? 2 ) ? ?

2 3 ,此时 f ( x ) 无极小值;

①当

②当 a ? 1 ? 0 ? a , 即 0 ? a ? 1时 , f ( x ) 的极小值为 f (0) ? ? 2 ,此时 f ( x ) 无极大值; ③当 a ? ? 2 或 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1时 , f ( x ) 既无极大值又无极小值.
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(20) (本小题满分 12 分) 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科 目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证
2

书。现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 3 ,科目 B 每次考试
1

成绩合格的概率均为 2 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的数学期望 E ? . 解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 件
B1 A1

, “科目 A 补考合格”为事件

A2

; “科目 B 第一次考试合格”为事

, “科目 B 补考合格”为事件

B2 A1 ?B1 A1

(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为
P ( A1 ?B1 ) ? P ( A1 ) ? P ( B1 ) ? 2 3 ? 1 2 ? 1

,注意到



B1

相互独立,



3.
1

答:该考生不需要补考就获得证书的概率为 3 . (Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得
P (? ? 2 ) ? P ( A1 ?B1 ) ? P ( A1 ?A 2 )
? 2 3 ? 1 2 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 9 ? 4 9 .

P (? ? 3) ? P ( A1 ?B1 ?B 2 ) ? P ( A1 ?B1 ?B 2 ) ? P ( A1 ?A2 ?B 2 )
? 2 3 ? 1 2 ? 1 2 ? 2 3 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 3 ? 2 3 ? 1 2 ? 1 6 ? 1 6 ? 1 9 ? 4 3 ,

P (? ? 4 ) ? P ( A1 ?A2 ?B 2 ?B 2 ) ? P ( A1 ?A 2 ?B1 ?B 2 )
? 1 3 ? 2 3 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 3 ? 2 3 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 18 ? 1 18 ? 1 9 ,

E? ? 2 ?

4 9

? 3?

4 9

? 4?

1 9

?

8 3

.



8

答:该考生参加考试次数的数学期望为 3 .

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(21) (本小题满分 12 分)
x
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

如图、椭圆 a

的一个焦点是 F(1,0) 为坐标原点. ,O 形,求椭圆的 任意转动,值

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角 方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 有
OA
2

? OB

2

? AB

2

,求 a 的取值范围.

解:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点, 因为△MNF 为正三角形,
OF ? 3 2 MN 1? 3 2b ? , 解 得 b= 3 . 2 3

所以

,

x

2

a ? b ? 1 ? 4,
2 2

?

y

2

? 1.

因此,椭圆方程为 4

3

(Ⅱ) 设

A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ).

(ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,
OA
2

? OB

2

? 2a , AB
2 2

2

? 4 a ( a ? 1),
2 2

因 此 , 恒 有 OA

? OB

2

? AB .

2

(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时,
x ? m y ? 1, 代 入 x a
2 2 2
2 2

?

y b

2 2

? 1,

设直线 AB 的方程为:
2 2 2 2

整理得 ( a ? b m ) y ? 2 b m y ? b ? a b ? 0,
2

所以

y1 ? y 2 ? ?
2

2b m a ?b m
2 2
2

2

2

, y1 y 2 ?
2

b ?a b
2 2

2 2

a ?b m
2 2

因为恒有 即

OA

? OB

? AB

,所以 ? AOB 恒为钝角. 恒成立.
1

??? ??? ? ? O A ?O B ? ( x1 , y1 ) ?( x 2 , y 2 ) ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0
y1 y 2? ( m y?1 ) ( m y 1 )? ? 1 2
2 2 2 2

x1 x 2 ?

1

y y ( ? 2
2

m 1) ?

y 2? y

(m 1 y ?

2

)y 1 ?

? ?

( m ? 1)( b ? a b ) a ?b m
2 2 2 2 2 2 2 2 2

?
2

2b m
2 2 2

2

2 2

a ?b m ? 0.

?1

?m a b ? b ? a b ? a a ?b m
2
2 2

2

又 a ? b m ? 0 ,所以 ? m a b ? b ? a b ? a ? 0 对 m ? R 恒成立,
2 2 2 2 2 2 2 2

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即 m a b ? a ? b ? a b 对 m ? R 恒成立,当 m ? R 时, m a b 最小值为 0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 a ? b ? a b ? 0 , a ? b ( a ? 1) ? b ,

2

2

2

4

2 因为∵ a ? 0, b ? 0,∴ a ? b ? a ? 1 ,即 a ? a ? 1 ? 0 ,

2

2

a ?

1? 2

5

a ?

1? 2

5

a ?

1? 2

5

解得



(舍去),即
( 1? 2 5 , ?? )

,

综合(i)(ii),a 的取值范围为 (22) (本小题满分 14 分)

.

已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? x (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

? 0 , n ? (n∈N*)上的最小值为 b n 令 a n ? ln(1 ? n ) ? bn (Ⅱ)记 f ( x ) 在区间
an ? an?2 ? c an?2

①如果对一切 n,不等式
a1 ? a1 a 3 a2a4 ? ???? a 1 a 3 ???a 2 n ? 1 a 2 a 4 ???a 2 n ?

恒成立,求实数 c 的取值范围;

②求证: 解:

a2

2an ? 1 ? 1.

(I)因为
'

f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? x

,所以函数定义域为

( ? 1, ? ? )

f (x) ?
'

1 1? x

?1 ?

?x 1? x 。

,且

由 f ( x ) ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 , f ( x ) 的单调递增区间为 ( ? 1, 0) ; 由 f ( x ) ? 0 <0 得 x ? 0 , f ( x ) 的单调递增区间为(0,+ ? ).
'

b ? f ( n ) ? ln (1 ? n ) ? n (II) 因为 f ( x ) 在 [0 , n ] 上是减函数,所以 n



a n ? ln(1 ? n ) ? b n ? ln(1 ? n ) ? ln(1 ? n ) ? n ? n

.
n?2 2 n?2 ? n

an?2 ( an?2 ?

an ) ?

n ? 2( n ? 2 ?

n) ?


2 n?2 ? 1.

>

n?2 ?

n?2

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n ? 2( n ? 2 ?

n ) ? lim

2 1? 1? 2 n?2

x? ?

?1

又 lim 因此 c ? 1 ,即实数 c 的取值范围是 ( ?? ,1] .
1 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1.

,

② 由① 知

2n ? 1

1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1)

因为[ 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ( 2 n )
?

]2

1?3 3 ?5 5 ?7 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) 1 1 ? 2 ? 2 ?? ? ? < , 2 2 2 4 6 (2n) 2n ? 1 2n ? 1 1?3 ?5 ?? ?( 2 n ? 1) 1 2n ? 1 <



所以 2 ?4 ?6 ?? ?( 2 n )
1 ? 1?3 2 ?4 ?? ?

2n ? 1 ?

2 n ? 1 (n ? N*),

1?3 ?5 ?? ?( 2 n ? 1) 2 ?4 ?6 ?? ?( 2 n )

则2
3?


2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1

1?

5?

3 ?? ?

2a ? 1 ?



a1 a2

?

a1 a 3 a2an

?? ?

a1 a 3 ? a 2 n ?1 a2a4 ? a2n

< 2 a n ? 1 ? 1( n ? N )
*

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